IEFG針對(duì)環(huán)形域內(nèi)的Poisson方程的精確度研究

凌建國(guó),王麗萍

(1.晉中師范高等專(zhuān)科校 晉中 030619; 2.太原科技大學(xué) 數(shù)學(xué)系 030027)

IEFG針對(duì)環(huán)形域內(nèi)的Poisson方程的精確度研究

凌建國(guó)1,王麗萍2

(1.晉中師范高等專(zhuān)科校 晉中 030619; 2.太原科技大學(xué) 數(shù)學(xué)系 030027)

基于移動(dòng)最小二乘插值法的基礎(chǔ)上,對(duì)提出的插值型無(wú)單元Galerkin方法(IEFG)在環(huán)形域內(nèi)的勢(shì)問(wèn)題的精確度的研究.IEFG方法運(yùn)用于工程計(jì)算時(shí),可以直接施加邊界條件,通過(guò)對(duì)誤差進(jìn)行分析表明,IEFG方法在運(yùn)用于工程計(jì)算時(shí),確實(shí)也提高了計(jì)算精度.

無(wú)網(wǎng)格方法；移動(dòng)最小二乘法；插值型無(wú)單元Galerkin方法(IEFG)；權(quán)函數(shù)；形函數(shù)

勢(shì)問(wèn)題是科學(xué)和工程科學(xué)的重要內(nèi)容之一.本文是針對(duì)勢(shì)問(wèn)題的Poisson方程展開(kāi)的研究.本章中,IEFG方法是在傳統(tǒng)的無(wú)單元Galerkin(EFG)方法基礎(chǔ)上,對(duì)基函數(shù)進(jìn)行了單位正交化,與EFG相比,該方法中,形函數(shù)具有插值特性,且邊界條件可以直接施加,計(jì)算形式更加簡(jiǎn)便,計(jì)算精度更高等優(yōu)點(diǎn).通過(guò)對(duì)環(huán)形域內(nèi)的Poisson方程的精確度研究,表明IEFG較EFG有更高的計(jì)算精度.

1 移動(dòng)最小二乘法

定義區(qū)域Ω上的函數(shù)u(x),已知其在域內(nèi)N個(gè)節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xN的函數(shù)值,取函數(shù)

(1)

為函數(shù)u(x)的逼近函數(shù).這里pi(x)是基函數(shù),ai(x)是相應(yīng)的系數(shù).定義如下泛函,它表示點(diǎn)x的緊支域內(nèi)各點(diǎn)處誤差的加權(quán)平方和:

(2)

其中ω(x-xI)是具有緊支集特性的權(quán)函數(shù),xI(I=1,2,…,n)為點(diǎn)x的緊支域內(nèi)的節(jié)點(diǎn).

系數(shù)ai(x)(i=1,2,…,m)的選擇總是使泛函取極小值,

(3)

(4)

其中矩陣A(x)和B(x)分別為

(5)

(6)

可得

(7)

這樣,逼近函數(shù)uh(x)的表達(dá)式為

(8)

其中Φ(x)為形函數(shù)

(9)

這樣,當(dāng)u(x)為二元函數(shù)時(shí), 逼近函數(shù)uh(x)的表達(dá)式為

(10)

(11)

2 移動(dòng)最小二乘插值法

把基函數(shù)p1(x)≡1在x點(diǎn)單位化為

(12)

(13)

(14)

這時(shí)可以證明

(15)

所以逼近函數(shù)經(jīng)過(guò)插值節(jié)點(diǎn).

3 勢(shì)問(wèn)題的插值型無(wú)單元Galerkin方法(IEFG)

考慮二維poisson方程

(16)

(17)

(18)

其中Ω是問(wèn)題的所在區(qū)域,Γ為Ω的邊界,且有

Γ=Γu∪Γq,Γu∩Γq=Φ;

(19)

式(16)、(17)、(18)的等效積分弱形式為

(20)

將式(10)代入式(20),得

(21)

其中,

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

環(huán)形域上的泊松方程的狄利克雷問(wèn)題

(29)

狄利克雷邊界條件:

(30)

這個(gè)問(wèn)題的解析解為

(31)

如圖1所示,在環(huán)形域內(nèi)沿著半徑方向布置了101*11個(gè)節(jié)點(diǎn),圖2和圖3分別給出了不同布點(diǎn)下,環(huán)形域內(nèi)的解析解和數(shù)值解.隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加,數(shù)值解與解析解也越接近.通過(guò)圖4可知,權(quán)函數(shù)半徑固定時(shí),隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加,相對(duì)誤差范數(shù)也越小.

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論證明的有效性,圖5給出了權(quán)函數(shù)影響域半徑與相對(duì)誤差范數(shù)之間的關(guān)系,即節(jié)點(diǎn)分布固定時(shí),權(quán)函數(shù)半徑r越小,相對(duì)誤差范數(shù)也越小,計(jì)算結(jié)果越精確.但注意,r充分小,也應(yīng)保證影響域的并集覆蓋整個(gè)區(qū)域,否則也會(huì)影響數(shù)值解的精確度.

圖1 節(jié)點(diǎn)分布

圖2 解析解和數(shù)值解的對(duì)比

圖3 解析解和數(shù)值解的對(duì)比(51*11個(gè)節(jié)點(diǎn))

圖4 相對(duì)誤差范數(shù)和影響半徑之間的關(guān)系

圖5 相對(duì)誤差范數(shù)和節(jié)點(diǎn)分布之間的關(guān)系

4 結(jié)論

針對(duì)Poisson方程的誤差分析表明,該誤差與權(quán)函數(shù)的影響域半徑和節(jié)點(diǎn)分布密切相關(guān).數(shù)值解與解析解的誤差范數(shù)的上界與權(quán)函數(shù)的影響域半徑密切相關(guān),權(quán)函數(shù)的影響半徑的值越小,誤差值就越小,數(shù)值越精確.但注意,r充分小,也應(yīng)保證影響域的并集覆蓋整個(gè)區(qū)域,否則也會(huì)影響數(shù)值解的精確度.通過(guò)數(shù)值算例表明,IEFG在提高計(jì)算精度方面比傳統(tǒng)的無(wú)單元Galerkin(EFG)方法更有效.

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IEFG Study the Accuracy of the Circular Poisson Equation in the Domain

Ling Jianguo1， Wang Liping2

(1.Jinzhong Teachers’College, Jinzhong 030619;2.Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030027, China)

To study that method (IEFG)’s the domain of the potential problems in the ring the accuracy ,which is based on moving least square interpolation method,IEFG method applied to engineering calculation, and it can be directly applied boundary conditions.IEFG method applied to engineering calculation, does improve the calculation accuracy ,through the error analysis.

meshless method； the moving least squares method； interpolation type Galerkin method(IEFG)； no unit weight function； the form of a function

2015-01-26

凌建國(guó)(1974-),男,山西晉中人,碩士,晉中師范高等專(zhuān)科學(xué)校講師,主要從事偏微分方程及工程數(shù)值計(jì)算研究.

1672-2027(2015)02-0017-04

O242

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