ω-超廣義函數(shù)中加權(quán)函數(shù)的一些性質(zhì)

陳丫丫

(太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 太原 030001)

ω-超廣義函數(shù)中加權(quán)函數(shù)的一些性質(zhì)

陳丫丫

(太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 太原 030001)

討論構(gòu)造ω-超可微函數(shù)和ω-超廣義函數(shù)的偽解析和非-偽解析兩類加權(quán)函數(shù)的一些性質(zhì),給出了加權(quán)函數(shù)的一個存在條件．

加權(quán)函數(shù);Young共軛;偽解析和非-偽解析

在ω-超可微函數(shù)和ω-超廣義函數(shù)的研究中,加權(quán)函數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)起著非常重要的作用．本文通過對于偽解析和非-偽解析兩類加權(quán)函數(shù)的討論,給出了它們的一個存在性條件．這些結(jié)果可以被用于ω-超可微函數(shù)和ω-超廣義函數(shù)的研究中．

我們先給出本文所涉及到的一些基本概念和記號:

定義1 1)設(shè)ω是[0,∞)→[0,∞)上的連續(xù)的單增偶函數(shù),如果滿足:

(H1)存在正數(shù)K,使得對于所有的t≥0,有ω(2t)≤K(1+ω(t));

(H3)ω(t)=Ο(t),t→∞;

(H4)φ:[0,∞)→[0,∞),φ(t)=ω(et)為凸函數(shù),

2)設(shè)ω為一加權(quán)函數(shù),如果ω滿足

則稱ω是偽解析的.否則,稱之為非-偽解析的.

稱之為φ的Young共軛為.

例1 下面的函數(shù)都是加權(quán)函數(shù):

1)ω(t)=tα,0<α≤1.

2)ω(t)=(log(1+t))β,β>1.

3)ω(t)=t(log(1+t))-β,β>0.

4)ω(t)=|t|.

其中1)當0<α≤1,3)當β>1時和2)是非偽解析的;3)當0<β<1時和4)是偽解析的加權(quán)函數(shù).

例2 1)設(shè)ω1=max(t-1,0),t∈[0,∞),則ω1是一個偽解析的加權(quán)函數(shù).因為φ1(x)=ω1(ex)=ex-1,x≥0,可得

我們已經(jīng)知道,對于每個開集Ω?Rn,ω-超可微函數(shù)空間ε{ω1}(Ω)E}與實解析函數(shù)空間Α(Ω)也是拓撲同構(gòu)的,而ε{ω1}(Ω)與整函數(shù)空間H(Cn)是拓撲同構(gòu)的[7].

注 在下面的討論中,只要不特別注明,則結(jié)論對于偽解析和非-偽解析兩類加權(quán)函數(shù)都是成立的.

接下來,我們來討論加權(quán)函數(shù)的性質(zhì):

引理1 對于上面定義1中的加權(quán)函數(shù)φ,容易驗證下列命題成立:

3)φ*(λx)≤λφ*(x),0≤λ≤1,x≥0.

引理2 設(shè)ω是一個加權(quán)函數(shù),那么:

證明 根據(jù)ω加權(quán)函數(shù)的定義,我們有:

引理3 設(shè)φ是定義1(δ)中所定義的函數(shù),那么,對其Young共軛φ*有

證明 首先,根據(jù)φ的定義和加權(quán)函數(shù)ω的性質(zhì)(α),可知存在L>1,使得:

由此

引理4 設(shè)ω是加權(quán)函數(shù),φ(x)由定義1(δ)所定義,K為(α)中所給,那么有:

1)φ(x+j)≤2jK2j(1+φ(x)),x≥0,j∈N;

2)對于每個k,l,m∈N,?μ∈N,C>0,使得:

3)對于每個k,l,m∈N,?μ∈N,C>0,使得:

證明

1)由定義2.1中的(α)以及φ的定義可得:

由此可以得出:

2)若k,l,m給定,由(1)可取K′,使得

由此可取μ∈N,使得μ≥2K′m,使對x≥k有:

所以

3)取充分大的μ,μ≥m,利用與(2)同樣的方法即可證得(3).

引理5 1)對任意的加權(quán)函數(shù)ω,存在常數(shù)L>0使得

其中ω1(t)由例2所給.由Young共軛定義可得

2)如果ω=ο(t),那么對于每個l∈N,存在常數(shù)Cl>0,使得

下面,我們來給出加權(quán)函數(shù)的一個存在性條件:

1、優(yōu)化財政支農(nóng)結(jié)構(gòu)，明確支農(nóng)資金重點投入領(lǐng)域。在確保糧食安全的基礎(chǔ)上，財政支農(nóng)資金重點向科技創(chuàng)新、產(chǎn)業(yè)融合、品牌營銷、農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級和綠色發(fā)展、農(nóng)村電商等農(nóng)商文旅融合的新產(chǎn)業(yè)新業(yè)態(tài)領(lǐng)域投入，以著力補齊農(nóng)村農(nóng)業(yè)發(fā)展短板，加快促進廣西農(nóng)業(yè)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，激發(fā)農(nóng)業(yè)農(nóng)村發(fā)展內(nèi)生動力。

定理 設(shè)ω是加權(quán)函數(shù).如果g:[0,∞)→[0,∞),滿足g(t)=ο(ω(t))(t→∞),那么,必然存在加權(quán)函數(shù)σ,滿足:

1)g(t)=ο(σ(t)),(t→∞);

2)σ(t)=ο(ω(t)),(t→∞);

如果存在R≥1,使得ω|[R,∞)是凹的,則σ|[R,∞)也是凹的.

證明 首先我們證明以下結(jié)論成立:如果ω|[R,∞)是凹的,則ω∈C′(R,∞).

另一方面,因為φ(x)=ω(ex)是凸的,因此有

所以,ω,φ是可微的,并且由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,ω′(t)還是連續(xù)的.

對于一般情形,假若ω?C1.那么,我們可取一個C1-函數(shù)χ≥0使之滿足Suppχ?(0,log2),并且∫χ=1.我們定義

于是,對于定義(2.1)(α)中的常數(shù)K,因為:

所以有φ(x)≤ψ≤K(1+φ(x)).

因為

和

以及

和

所以有

即ρ滿足定義2.1(β)和(γ).

又?x1,x2∈[0,1],λ+μ=1

所以,ψ(t)=ρ(et)是凸的.即ρ滿足定義1(δ).

設(shè)A,B>1,對充分大的t,有ω(At)

所以,ρ(At)=ψ(a+logt)≤Bψ(logt)=Bρ(t).既ρ滿足定義1(α)且

至此,我們可以假設(shè)對某個R有ω|[R,∞)∈C1.另外,還可以假設(shè)log(1+t)=ο(g(t)).注意到φ(0)=0,設(shè)x1=y1=z1=0,我們定義遞推序列{xn},{yn},{zn},使得x2>R,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

可以證明

(6)

由(5)和(4)可以得到

因為φ′單增,所以上式非負.另一方面,由(5)可得:

現(xiàn)在,我們定義ψ

由(4),(5)可知ψ∈C1,又由定義可見ψ還是凸的.下面,我們定義σ為

σ(t)=ψ(max(logt,0)).顯然,σ∈C1,

此外,當ω為凹函數(shù)時,由ψ的凸性,可知σ也是凹的.

下面,我們來證明σ即為所求.

首先,我們證明

(7)

對于x∈[yn,xn+1],(7)顯然成立.對于x∈[xn,yn],由(4)以及φ的凸性可得

由(2)和估計式(7)即得結(jié)論(1):g(t)=ο(σ(t)).

為了證明(2):σ(t)=ο(ω(t)),我們先來考慮yn≤x≤xn+1的情況.由(3),(6)可得

接下來考慮xn≤x≤yn.依據(jù)φ的凸性,得到

因此,當t→∞時,有ψ=ο(φ),從而σ(t)=ο(ω(t)),(2)得證.

為了證明(3),對給定的A>1,設(shè)a=logA,下面來估計ψ(x+a)-ψ(x):

對于[x,x+a],有以下五種情形

我們只需要考慮其中的兩種即可，其它情形皆類似.

情形一:xn≤x≤yn

再由(7)式即得

情形二:xn≤x

由此,對上述的σ,由(3)可推得其滿足定義1(α),由(2)可推出其滿足(γ),由(1)可推得其滿足(β),證畢.

[1] A.Beurling.Quasi-analyticaity and General Distributions[M].Stanford:AMS Summer Institute,1961

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Some Properties of Weight functions in ω-Ultra-distributions

Chen Yaya

(Department of Mathematics,Taiyuan College, Taiyuan 030001, China)

The properties of weight functions of quasianalitic and non-quasianalitic typeinω-ultra-distributions andω-ultra-differentiable functions are discussed, and one exestence condition for weight function is geiven.

weight function;Young conjugate;quasianalitic and non-quasianalitic

2015-01-15

山西省回國留學(xué)人員科研資助項目(2012-011).

陳丫丫(1982-)，女，山西陽泉人，碩士,太原學(xué)院講師.主要從事泛函分析研究.

1672-2027(2015)02-0011-06

O177

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