幾何直觀，讓數(shù)學教學走向深刻

福建省教研室（350003） 羅鳴亮

希爾伯特說：“算術記號是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式?！薄皫缀沃庇^”是2011版《義務教育數(shù)學課程標準》提出的十個核心理念之一，課程標準對“幾何直觀”這樣解釋：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！庇纱丝梢?，課程標準對“幾何直觀”在教學中的作用十分重視，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義。

一、新——舊，聚焦“幾何直觀”

在實際教學中，對“幾何直觀”的理解，常被認為是舊酒裝新瓶，將之等同于“數(shù)形結(jié)合”。

細細研讀，從涉及的對象和解決問題的通道可得知兩者有重疊之處，但又不盡相同。數(shù)形結(jié)合包含“由形到數(shù)”和“由數(shù)到形”兩方面，幾何直觀借助圖形描述問題的范圍更寬廣，除了”圖形與幾何“領域中的問題，還涉及”數(shù)與代數(shù)“、“統(tǒng)計與概率”等，基本涵蓋了小學數(shù)學四大領域。“幾何直觀”主要借助于見到（或想象出來的）圖形的形象關系，對數(shù)學的研究對象（空間形式和數(shù)量關系）進行直接感知、整體把握。而這里的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，線段圖、運算符號、字母、文字等直觀符號相結(jié)合的圖示語言，想象中的圖示都可以看成是“幾何直觀”理念的體現(xiàn)。正如德國數(shù)學家克萊因所說：“數(shù)學的直觀是對概念、證明的直接把握?！币簿褪钦f，幾何直觀能力的培養(yǎng)對學生來說是至關重要的。

二、形——數(shù)，凸顯“幾何直觀”

培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀能力，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關系，依托具體的數(shù)學課程教學內(nèi)容，需要具體落實在課程內(nèi)容、課堂教學細節(jié)之中，使學生認識幾何直觀在數(shù)學學習中的意義和作用，同時也學會數(shù)學的一種思考方式和學習方式。

從一年級到四年級，學生在認識數(shù)的量上和把握數(shù)的質(zhì)上有了飛躍，這些知識的獲得對學生來說并非輕而易舉之事，尤其是如何準確地找到某個數(shù)的近似數(shù)，學生遇到的困難比較大。下面將以四年級“近似數(shù)”一課為例進行簡單呈現(xiàn)。

1．借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)和描述研究的問題，深化概念理解

幾何直觀是具體的，它與數(shù)學的內(nèi)容緊密相連。事實上，很多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念，如數(shù)、度量、函數(shù)，以至于高中的解析幾何等，都具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用它們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力。

課始，教師在黑板上反扣五個數(shù)字卡片，代表汽車價格的五位數(shù)，問：“這輛汽車的價格大約是80000元，它的價格可能是多少元？”讓學生自己猜測一個數(shù)，同時讓學生在數(shù)軸上找出這個數(shù)的位置。學生邊猜教師邊借助數(shù)軸讓學生直觀體會到近似數(shù)的意義及其內(nèi)在蘊藏的區(qū)間值。之后教師問學生：“結(jié)果好猜嗎？為什么不好猜？”引發(fā)爭執(zhí)。此時，一學生回答：“如果給我兩天，我就能猜出來。”教師追問：“為什么有的同學說不好猜，有的同學卻說給他兩天就能猜出來？”學生回答：“因為范圍很廣，所以不好猜，但時間充裕的話一定能猜出來。”

所謂近似數(shù)，它其實是歸類后的新數(shù)，我們可以理解為一個數(shù)段的代表數(shù)。在數(shù)軸上可以直觀地看到它們之間的距離跨度，近似數(shù)就是數(shù)軸上的一些“單位”，每個單位包含一定的數(shù)，對80000而言，它涵蓋了75000~85000這個區(qū)間，雖然很多，但也有一定的范圍。

在數(shù)與代數(shù)的學習中，用圖形描述數(shù)的關系，可以多角度地認識和理解知識，形成對知識、技能的貫通式認識和理解，逐步形成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識。

2．注重幾何直觀，尋求解決問題的思路，發(fā)展思維能力

幾何直觀與想象、邏輯、推理也是不可分的。它不僅僅是看到了什么？還是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學到的結(jié)合起來，通過思考、想象、猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴格證明結(jié)論奠定了基礎。

在“近似數(shù)”一課中，教師順勢提問：“我們課堂時間有限，所以怎么辦？”學生很自然想到要通過縮小范圍來知道結(jié)果，由此就產(chǎn)生了如何取近似數(shù)的需求。

本課中，在讓學生猜測汽車的價錢后，問：“汽車價格約8萬，這個數(shù)萬位可能是幾？”“為什么可能是7，也可能是8?！敝蠼沂敬鸢浮?，又問：“千位呢？”學生答：“可能是 5、6、7、8、9，不可能是 0、1、2、3、4。”此時教師反問道：“可以是4嗎？為什么不行？”再讓學生在數(shù)軸上找到74999，說明74999相對而言不接近80000更接近70000，它的近似數(shù)是70000不是80000，直觀揭示“四舍五入”的由來。通過對比，讓學生對近似數(shù)的認識更深刻！教師順勢揭示——74580！將學生剛從數(shù)軸上獲取的新知又弄混了，師給出解釋：“上課前一緊張把數(shù)字的順序弄混了，應該怎么調(diào)整呢？調(diào)整后的數(shù)又分別在數(shù)軸上的哪里呢？”之后，學生按照教師的提示語“高了、低了”逐步調(diào)整順序，很快找到正確答案：78450。

整個過程通過數(shù)字卡片在黑板上的反扣、翻動、移位，結(jié)合數(shù)軸引導學生感受為何規(guī)定“四舍五入”，知識復歸到它形成的過程狀態(tài)，這個狀態(tài)是鮮活的，培養(yǎng)了學生的興趣和數(shù)感。

不要把幾何直觀簡單地等同于能用圖描述問題的技能，幾何直觀更為深遠地表現(xiàn)為能夠借助圖形去思考的能力。教師在培養(yǎng)學生利用幾何直觀描述與分析問題的意識和能力時，要關注學生運用幾何直觀表征問題的過程，以及表征之后的反思與頓悟。沒有反思和頓悟，學生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得幾何直觀的能力，難以形成與之相應的數(shù)學思維模式。站在這個角度看，幾何直觀雖然是借助圖形展開思維活動，但明顯超越了圖形，走向了直觀，因此直觀思維才是它的核心和重點。

3．把握幾何直觀，理解和分析得到的結(jié)果，洞察數(shù)學本質(zhì)

課程標準提出：把握幾何直觀的價值，不僅僅在于“有助于探索解決問題的思路”，更為重要的是“幫助學生直觀地理解數(shù)學的本質(zhì)?！?/p>

課中，在出示汽車價格78450元后，教師又提出：“我女兒說，這輛汽車價格大約是78000元。她說的對嗎？”一波未平，一波又起，在辯論的氛圍中，最終達成共識。此時再次借助數(shù)軸讓學生清楚地認識到：78450在78000和79000之間，接近的是78000。正因為參照的標準不同，取值的范圍不同，所以近似數(shù)的估計結(jié)果也會不同。此時再追問：“把一個數(shù)精確到不同的位數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學生感受：精確到的位數(shù)越低，就越精確，在數(shù)軸上也可以體現(xiàn)為刻度稀疏和細密的差別。

幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學本質(zhì)的有力工具，利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學問題、探索解決問題的思路、預測結(jié)果。幾何直觀能力可以幫助學生較好地理解數(shù)學本質(zhì)，使學生體驗數(shù)學創(chuàng)造性工作的歷程，形成良好的思維品質(zhì)。教師應具有培養(yǎng)學生幾何直觀的自覺意識，以保護學生先天的幾何直觀的潛質(zhì)作為起點，以有效提升學生的幾何直觀水平作為重點，讓學生最終形成敏銳的洞察力和深厚的數(shù)學素養(yǎng)。