空間兩條直線共面定理的應用

周　明

(亳州師范高等?？茖W校 教育系，安徽 亳州 236800)

?

空間兩條直線共面定理的應用

周明

(亳州師范高等專科學校 教育系，安徽 亳州 236800)

摘要空間兩條直線有共面和異面兩種位置關系，對于兩條直線位置關系的判定，通常的方法是判定兩條直線所通過已知點構成的矢量與兩條直線的方向矢量的混合積是否等于零。若混合積等于零，則兩直線共面，若混合積不等于零，則兩條直線異面。但對于直線的一般方程而言，此判定方法比較繁瑣，不易解決實際問題。利用兩條直線共面定理可以判定直紋曲面上直母線間的位置關系，更好地幫助研究直紋曲面的性質。

關鍵詞直線；共面；異面；直母線

1兩條直線共面定理

定理1若兩條直線

證明因為通過l1的任意平面和通過l2的任意平面為：

(1)

(2)

其中λ1,λ2與λ3,λ4都是不全為零的任意實數(shù),因此兩條直線l1與l2共面的充要條件是式(1)和式(2)表示同一平面。

即

λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)

且m≠0

化簡得

所以

(3)

又因為λ1,λ2與λ3,λ4不全為零，所以式(3)有非零解的充要條件是：

而m≠0,因此兩直線l1與l2共面的充要條件是

定理2兩條直線

異面的充要條件是

證明由定理1可得證。

2兩條直線共面定理的應用

定理3兩條直線

異面的充要條件為

證明因為兩直線l1與l2的方向矢量{X1,Y1,Z1}與{X2,Y2,Z2}不可能全為零，不妨設Z1Z2≠0,則兩直線l1與l2的方程可改寫為

整理得

所以

+Z1Z2(Y1Z2-Y2Z1)(x2-x1)-Z1Z2(X1Z2-X2Z1)(y2-y1)

而Z1Z2≠0,所以l1與l2異面的充要條件為

定理4單葉雙曲面上異族的任意兩直母線必共面[2]

因為

所以 l1與l2共面。

定理5單葉雙曲面上同族的任意兩直母線總是異面的

且ω1∶μ1≠ω2∶μ2

因為

而ω1∶μ1≠ω2∶μ2

所以

即 l1與l2異面。

定理6雙曲拋物面上異族的任意兩直母線必相交[3]

因為

所以 l1與l2共面。

定理7雙曲拋物面上同族的任意兩直母線總是異面直線[4]

且μ1≠μ2。

因為

而μ2≠μ1, 所以D≠0，即l1與l2異面。

由此可見，利用兩條直線共面或異面定理，很容易判定空間任意兩直線的位置關系，特別是對直紋曲面直母線的位置關系的判定帶來方便，以便更好地研究直紋曲面的性質。

參考文獻:

[1]呂林根，徐子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社，2006:135.

[2]尤承業(yè).解析幾何[M].北京:北京大學出版社，2004:117.

[3]紀永強.空間解析幾何[M].北京:高等教育出版社，2003:218.

[4]黃寶國.空間解析幾何[M].上海:復旦大學出版社，2004:78.

編輯王菊平

The use of the space of two straight lines coplanar theorem

ZHOU Ming

(Department of Education, Bozhou Teachers College, Bozhou 236800, Anhui, China)

AbstractTwo straight lines have coplanar and different planes in space, the usual method of determine the relationship between the location of the two straight lines is whether two straight lines by vector consisting of known points in the direction of the vector of mixed product is equal to zero. If mixed product equal to zero, the two lines coplanar, if mixed product is not equal to zero, the two lines in different planes. But for general equation of straight line, this determination method is tedious, not easy to solve practical problems. The coplanar theorem of two straight lines can be used to determine on a ruled surface of the positional relationship between the straight generatrix, to better help the study of properties of the ruled surface.

Key wordsstraight line; coplanar; different planes; straight generatrix

基金項目安徽省自然科學研究項目(KJ2013B153，KJ2013Z218)；安徽省教學研究項目(2012jyxm595)；數(shù)學教育省級特色專業(yè)項目(20101184)；省級精品資源共享課程項目(2015gxk089)；省級教學團隊項目(2015jxtD048)。

作者簡介周明，男，安徽蒙城人，副教授，碩士，主要研究方向為幾何學。

收稿日期2015-04-31

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.02

中圖分類號O182

文獻標志碼A

文章編號1003-8078(2015)06-0004-06