一類快速收斂于歐拉常數(shù)的序列

高　猛，鄭德印

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

一類快速收斂于歐拉常數(shù)的序列

高猛，鄭德印

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：確定了一個(gè)收斂于歐拉常數(shù)γ且含p+1個(gè)參數(shù)的序列，給出了這些參數(shù)間的遞推關(guān)系，也給出了p=7時(shí)的逼近序列和階.

關(guān)鍵詞：歐拉常數(shù)；Bell多項(xiàng)式；逼近

0引言

(1)

它的收斂速度是 n-5，誤差 wn-γ 滿足不等式

(2)

最近，Yang[3]使用指數(shù)型部分Bell多項(xiàng)式和 γn的完全漸近展開式， 解決了這一問(wèn)題。但是逼近 γ 的序列和誤差界沒有找到. 本文使用普通型部分Bell多項(xiàng)式，得到了 p 個(gè)系數(shù) ai(i=0,1,…,p) 的一個(gè)遞推關(guān)系，對(duì) p=7 給出了逼近 γ 的序列和誤差界，其收斂速度是 n-9.

為了表達(dá)本文結(jié)果，首先介紹一些記號(hào)和結(jié)論.

(3)

或者，等價(jià)地使用如下的單變量無(wú)窮級(jí)數(shù)展開式：

(4)

(5)

定義2普通型對(duì)數(shù)多項(xiàng)式Ln(x1,x2,…,xn) 由下面的展開式確定：

(6)

因?yàn)?/p>

所以，L1(x1)=x1，且當(dāng)n≥2 時(shí)，

(7)

(8)

定義3[4]48Bernoulli數(shù)Bn由下面的展開式給出：

(9)

容易算出，B0=1,B1=-1/2,B2=1/6,B4=-1/30,B6=1/42,B8=-1/30, …；B2k+1=0,k=1,2,….

眾所周知，Weierstrass公式[5]聯(lián)系著伽馬函數(shù)Γ(z) 和歐拉常數(shù)γ：

(10)

因?yàn)锽1=-1/2，B2k+1=0 (k=1,2,…)， 所以又有

(11)

對(duì)于Digamma函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有

引理1([7，Theorem 9])設(shè)n為非負(fù)整數(shù)，x是任意正實(shí)數(shù)，則對(duì)Digamma函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有不等式：

(12)

1快速逼近歐拉常數(shù)

再由式(6)和(11)，有

(13)

明顯地，A1=-a0-B1. 令A(yù)1=0，則a0=-B1=1/2. 在式 (13) 中，讓Am=0(m=2,3,…)，則得序列 {ai}i≥0的遞推關(guān)系為:

(14)

令m=2,3,…,8，則有

由a0=1/2，從第一個(gè)等式開始，可以依次算出a1,a2,…,a7的值.因此，有如下定理.

(15)

收斂于歐拉常數(shù)γ， 且收斂速度是n-9.

定理 1 中的 {zn}n≥1比式 (1) 中的 {wn}n≥1更好， 精度對(duì)比見表 1.

2誤差zn-γ的界

下面考慮誤差zn-γ的更高階的估計(jì).

定理2設(shè) {zn}n≥1是由式 (15) 定義的序列，則當(dāng)n≥5 時(shí)，有

(16)

證明首先證明式(16) 的左半不等式，為此，對(duì)x>0，作輔助函數(shù)

求F(x) 的導(dǎo)數(shù)，并使用不等式(12)，則當(dāng)x≥5 時(shí)，有

最后一個(gè)不等式小于零，可由下面的Mathematica程序驗(yàn)證.

fd[x_]:=pu[x]-D[la[x]+dd[x],x]

fd[x]/.x→y+5//ExpandNumerator//Factor;

Refine[%<0,Assumptions→y>=0].

程序運(yùn)行結(jié)果是“True”. 因此，當(dāng)n≥5 時(shí)，序列

類似地，對(duì)式 (16) 的右半不等式的證明，作輔助函數(shù)

求G(x) 的導(dǎo)數(shù)，并用式 (12)，則當(dāng)x≥3 時(shí)，有

最后的不等式大于零，可由下面的Mathematica程序驗(yàn)證.

fu[x_]:=pd[x]-D[la[x]+up[x],x]

fu[x]/.x→y+3//ExpandNumerator//Factor;

Refine[%>0,Assumptions→y>=0].

所以，(zn-γ) 與它的上界的差為

這意味著常數(shù) 3129858701/7235260956 是這類上界中最好的數(shù)字. 這完成了定理的證明.

□

參考文獻(xiàn):

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A Class of Sequence Fastly Converged in the Euler Constant

GAO Meng, ZHENG Deyin

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:This paper determined a sequence with p+1 parameters which was converged in the Euler constant γ, obtained the recursive relation between the parameters, and gave the approximation sequence order when p=7.

Key words:Euler constant; Bell polynomial; approximation

第14卷第1期2015年1月杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章編號(hào):1674-232X(2015)01-0092-05

中圖分類號(hào):O157.1MSC2010: 41A60；41A25；57Q55

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.017

通信作者：鄭德印(1964—)，男，副教授，主要從事組合數(shù)學(xué)、超幾何級(jí)數(shù)、特殊函數(shù)研究.E-mail：deyinzheng@hznu.edu.cn

收稿日期：2014-04-16