基于遺傳算法的錐齒輪優(yōu)化設(shè)計

張 慧 李吉祥 徐 博

（太原重型機械集團有限公司）

錐齒輪傳動轉(zhuǎn)速范圍較大、承載能力較強，因此被廣泛應(yīng)用于各種機械傳動設(shè)備。對錐齒輪進行優(yōu)化設(shè)計，減小其質(zhì)量和體積，延長使用壽命在其設(shè)計過程中非常重要。但是按照錐齒輪設(shè)計的標準系列方法不能夠很好地解決目前的問題。由于錐齒輪傳動的優(yōu)化設(shè)計是混合了離散變量的非線性優(yōu)化問題，遺傳算法（簡稱GA）借鑒生物進化過程自然選擇與遺傳機制，使問題的解不斷改進的一種智能搜索算法，具有廣泛的適應(yīng)性，尤其適合處理復雜參數(shù)和非線性優(yōu)化問題。因此，遺傳算可以應(yīng)用于錐齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計中。

一、錐齒輪優(yōu)化設(shè)計模型的建立

1.建立目標函數(shù)

由于錐齒輪的體積大小直接影響到加工和裝配，為了使結(jié)構(gòu)更加緊湊，減小齒輪重量，節(jié)約生產(chǎn)材料和成本，因此選用錐齒輪體積之和作為設(shè)計的目標函數(shù)

式中：da1——小錐齒輪齒頂圓直徑；

da1——大錐齒輪齒頂圓直徑；

βm——齒寬中心螺旋角；

R——錐齒輪外錐距；

ΨR——齒寬系數(shù)；

Rm——錐齒輪的平均錐距。

2.確定設(shè)計變量

錐齒輪傳動的獨立變化參數(shù)有小錐齒輪齒數(shù)Z，大端模數(shù)m，齒寬系數(shù)ΨR，中點螺旋角βm。故取設(shè)計變量為：x=（βm，Z1，m，ΨR）T=（x1，x2，x3，x4）T

3.建立約束條件

（1）齒面接觸強度約束

計算接觸應(yīng)力σH與許用接觸應(yīng)力［σH］之間的關(guān)系：

（2）齒根彎曲強度約束

齒輪的計算彎曲應(yīng)力σF與許用彎曲應(yīng)力［σF］之間的關(guān)系

m——錐齒輪的模數(shù)；u——齒數(shù)比；

K——齒輪安全系數(shù)；YFS——錐齒輪齒形系數(shù)；

（3）設(shè)計變量的邊界條件

①齒輪中點螺旋角的上、下限約束條件

15°≤βm≤40°

②小錐齒輪的齒數(shù)約束條件

13≤Z1≤Z1max

③齒輪模數(shù)約束條件

2≤m≤8

④齒寬系數(shù)約束條件

0.25≤ΨR≤0.3

由以上可得錐齒傳動的數(shù)學優(yōu)化模型為：

（4）適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造

外點懲罰函數(shù)法是常用的一種懲罰函數(shù)方法，其基本的原理是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成為等價參數(shù)目標函數(shù)，即式子中：用G［gm（x）］=來定義全域，當?shù)c在可行域內(nèi)時，有g(shù)m（x）≥0懲罰函數(shù)不受懲罰，否則gm（x）<0，懲罰函數(shù)受懲罰。為在優(yōu)化的過程中隨著迭代次數(shù)K 的增大而在不斷變化的參數(shù)，即懲罰因子?？梢?，外點懲罰函數(shù)就是將懲罰函數(shù)在可行域的外部逐漸逼近要求約束問題的最優(yōu)化解的過程，按照該方法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)。

v（x）=f（x）+p（x）

式中：x——染色體；

f（x）——目標函數(shù)；

p（x）——懲罰項。

本文錐齒輪優(yōu)化目標為體積和最小，相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)為：

當x 可行時p（x）=0

當x 不可行時p（x）=-r1［g（x）］2-r2［g2（x）］2＜0

取錐齒輪齒面的接觸懲罰因子r1=1，彎曲條件的懲罰因子r2=0.5

二、程序與仿真結(jié)果

1.錐齒輪遺傳優(yōu)化算法框圖

圖1 錐齒輪遺傳算法程序框圖Fig.1 Bevel gear genetic algorithm block diagram.

2.優(yōu)化設(shè)計適應(yīng)度M-文件

定義適應(yīng)度函數(shù)M-文件

function［sol，y］=GA_mp（sol，options）

%設(shè)計變量；中點螺旋角x（1）；小錐齒輪齒數(shù)z=x（2）；大端模數(shù)m=x（3）；齒寬系數(shù)x（4）。

x（1）=sol（1）；x（2）=sol（2）；x（3）=sol（3）；x（4）=sol（4）；

%目標函數(shù)

u=3；%齒數(shù)比

ha=1；%齒高系數(shù)

d1=x（2）*x（3）/2；%小錐齒輪分度圓直徑

d2=u*d1；%大錐齒輪分度圓直徑

R=d1*sqrt（1+u^2）；%外錐距

Rm=R*（1-0.5*x（4））；%平均錐距

da1=（x（2）+2*ha）*x（3）；%小錐齒輪齒頂圓直徑

da2=（x（1）*u+2*ha）*x（3）；%大錐齒輪齒頂圓直徑

f=pi/4*x（4）*R*（Rm/R）^2*（da1+da2）^2/cos（x（1）*pi/360）；%目標函數(shù)體積

%以某種型號錐齒輪減速器為例，設(shè)置初始種群

bounds=［15 45；13 17；2 10；0.25 0.3］；

initPop=initializega（50，bounds，'A_mp'，［］）；

K=1.5；T1=45.1；u=3；

3.優(yōu)化計算結(jié)果

****錐齒輪傳動遺傳算法最優(yōu)解*****

中點螺旋角： β=18.7282

小齒輪齒數(shù)：z1=18.7282

齒輪的模數(shù)：m=2.0000 mm

齒寬系數(shù)： ψ=0.2500

錐齒輪體積：V=164768.5135 mm^3

經(jīng)過運算確定小齒輪的齒數(shù)：z1=19

模數(shù)：m=2

齒形系數(shù)：ψ=0.25

****湊整解性能約束值****

齒面接觸強度約束函數(shù)值

g1y=595.7808 Mpa

齒根彎曲強度約束函數(shù)值

g2y=248.7019 Mpa

此時在滿足承載能力的條件下，最小體積為V=164768.5135 mm^3，充分節(jié)省材料成本。

4.適應(yīng)度函數(shù)線圖

圖2 錐齒輪遺傳算法優(yōu)化過程圖Fig.2 Bevel Gear genetic algorithm optimization process diagram.

本文建立了錐齒輪傳動過程中多維非線性約束的數(shù)學優(yōu)化模型，通過懲罰函數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，利用Matlab 中的遺傳算法工具箱編程計算得到了錐齒輪傳動的體積和最優(yōu)解，同時繪制出遺傳過程中個代適應(yīng)度平均值線圖，更直觀地描繪出遺傳算法的搜索過程，從而為錐齒輪傳動減速器的設(shè)計過程中節(jié)約金屬材料，縮短研發(fā)周期，降低生產(chǎn)成本提供了理論參考和借鑒。

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