利用波利亞“怎樣解題表”提高習題教學價值

唐劍琴

（浙江省杭州市文海實驗學校）

喬治·波利亞（G.Polya，1887-1985 年）是美籍匈牙利數(shù)學家、教育家、數(shù)學解題方法論的開拓者，他通過自己數(shù)十年的教學與科研經驗，對解題過程進行了深入分析，致力于探索解題過程的一般規(guī)律，主要表現(xiàn)在他的解題表上。

一、波利亞的“怎樣解題表”

波利亞在“怎樣解題表”中將解題分為4 個步驟：（1）你必須理解題目。即明了未知量是什么？已知量是什么？條件是什么？題目所要求的是什么？（2）擬訂方案。找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系或者考慮輔助問題，并具體擬定一個求解的計劃。（3）執(zhí)行你的方案即實現(xiàn)求解計劃。（4）回顧檢查已經得到的解答，檢驗每一步驟。在這4 個步驟中，第一步是認識題目的過程，這一步是成功解決問題的前提。第二步主要是通過“已有的知識基礎和解題經驗，探索題目的解題思路”，這一步是解題的核心內容和關鍵環(huán)節(jié)。第三步雖然是整個解題的“主體”，但整個解題思路已經打開，只需要對題目的信息資源進行一次邏輯配置，因此這一步完成較為容易。由于第三步的完成就代表著整個題目解題的結束，因此很多老師和學生忽視了第四步，而第四步同樣是解題的關鍵。第四步中所說的“回顧”，即驗算所得到的解，并將結果和方法試著用于其他問題；此外，每一個階段又有一系列啟發(fā)性問句，譬如：未知數(shù)是什么？（在證明題中要求證什么），已知數(shù)據(jù)是什么？你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同、你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？你能用別的方法推導出這個結果嗎？通過對這些問題的回顧可以提高學生對題目的認知能力，進而提高他們的解題能力。

二、波利亞“怎樣解題表”在幾何教學中的應用舉例

題目：如圖1 所示，正方形ABCD 中，點E 是BC 中點，AE⊥EF，EF 與正方形的外角∠DCP 的平分線相交于點F。

圖1

求證：AE=EF

1.“弄清問題”階段，教會學生形成正確的審題方法

數(shù)學問題的給出是通過“數(shù)學語言”達到的。符號語言簡潔抽象，圖形語言直觀形象，而文字語言則通俗易懂。教師可以教學生利用數(shù)學語言的轉換來培養(yǎng)學生好的審題習慣，形成正確的審題方法。對于本題，要求他們盡量將題目中的已知條件直觀地體現(xiàn)在圖上，一看就能明白。這樣用簡潔明了的圖形呈現(xiàn)的視覺形象進行問題表征，能簡化看似復雜的問題，減輕工作記憶的負擔，稱之為標圖。另外，還要注意引導學生挖掘已知條件與所求問題之間的關系，特別是挖掘題目中的隱含條件。針對這一題目，我們首先要弄清題目中的題設和結論：題設1，四邊形ABCD 為正方形，學生應想到正方形的所有性質；題設2，E 是BC 中點，應想到BE=EC，且是BC 的一半；題設3，AE⊥EF，除想到∠AEF 是直角外，還應推出∠AEB+∠FEP=90°的關系；題設4，CF 為直角∠DCP 的角平分線，可推出∠DCF=∠PCF=45°；結論，AE=EF。為養(yǎng)成良好的解題習慣，學生應將上述題設在圖中做出標注，以方便對題目隱含條件的探索和利用。本題目中的BE=EC，AE⊥EF，∠DCF=∠PCF=45°都應在圖中做出標注，標注方法如圖2 所示。此外，上述4 個題設還蘊含著一些其他條件，學生在分析題設過程中應當盡可能找出這些隱含條件，并在圖中做出標注。如根據(jù)題正方形的性質可以看出∠AEB+∠BAE=90°的關系，而結合題設3 中的∠AEB+∠FEP=90°的關系，可以推出∠BAE=∠PEF 的關系。由此可見，在“弄清問題”階段，學生除弄清題設中的已知條件外，還應盡可能多地分析出已知條件所蘊含的“隱形條件”，這樣才能為下一步做好充分準備。

圖2

2.“擬訂計劃”階段，充分暴露思維過程，傳授解題策略

（1）“擬訂計劃”途徑探究

很多時候，解題的過程并不是從已知條件到問題目標，而是從問題目標層層向上反推的過程，這時教師應該引導學生考慮以前是否見過它？是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道一個可能用得上的定理？考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。能否利用它的結果或方法？為了利用它，是否引入某些輔助元素？能否用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中所有必要的概念？

上課時要善于向學生暴露思維過程。當學生問到某些較困難的問題時，一定要和學生共同思考，尋找解決問題的思想方法。著名數(shù)學家希爾伯特在哥尼斯堡大學學習時，他常常把自己置于危險境地，對要講的內容總是現(xiàn)想現(xiàn)推。這樣一來，就使得同學們有機會瞧一瞧高明的數(shù)學思維過程如何進行，數(shù)學家是如何接受挑戰(zhàn)的。俗話說：失敗乃成功之母，有時候，失敗的教訓往往能使成功的過程更加深刻。例如，本題可分析如下：

從結論出發(fā)：要證邊等，通常有哪些方法？（如果兩條邊在同一大三角形中，可以考慮等腰三角形“等角對等邊”性質，通過證明角等來證邊等；如果兩條邊在兩個不同三角形中，可以考慮通過證明三角形全等來證對應邊相等。）

學生經過簡單比較后，通常能發(fā)現(xiàn)本結論顯然適合尋找含AE 和EF 的兩組不同的三角形，通過證三角形全等的方法解題。從條件出發(fā)，以AE 為斜邊Rt△ABE 已經存在，引導學生思考應該尋找以EF 為斜邊的直角三角形，不難想到過F 點作BC 邊的垂線段FH，則可以得Rt△EFH，由“k”型相似，再證Rt△ABE≌Rt△EFH，從而具體擬定了一個求解的計劃。

其次，教師應指導學生對數(shù)學解題過程進行分析、歸納，把解題過程進行概括、提煉，形成數(shù)學學習最重要的內容——數(shù)學的思想和方法。指導學生理解和運用數(shù)學思想方法，傳授中學數(shù)學解題常用的解題策略：模式識別、問題轉化、以退求進、正難則反等等。例如本題輔助線FH 實際上與CD 平行，與題中的角平分線CF，等腰△FCH 組成了知二可以求證余一的基本圖形，因此輔助線的添法就可以有作BC 的平行線或作CF 的中垂線與BC 交于點H 三種不同的表述方法，雖是同一條線段，但因做法不同也就能起到活躍學生思維的作用。

（2）具體教學計劃

針對這一題目，可擬定如下教學計劃。首先，引導學生全面認識已知條件，讓學生對題干的已知量和所求量有一個深刻的認識，除題干中的已知量以外，還應引導學生在“弄清問題”階段所提及的隱含條件。其次，探索適合本題的解題方法，引導學生思考證明兩邊相等的方法，本題應引導學生轉變思維，由結論反推證明方法。最后尋找所確定解題方法的“充分條件”，完成解題；學生在確定通過證明三角形全等來證對應邊相等后，引導學生構造對應的三角形，即Rt△ABE 和Rt△EFH，而學生根據(jù)已知條件很容易證明Rt△ABE 和Rt△EFH 相似，因此，證明本題的關鍵就在于尋找證明兩直角三角形中的任意對應邊相等這一“充分條件”；在實際教學中，很多學生都會因找不出證明對應邊相等的方法而無法做出解答，造成這一現(xiàn)象的主要原因就是學生找到“Rt△ABE 和Rt△EFH 相似”這一條件后，沒有繼續(xù)探索這一條件所隱含的條件，即可通過BE=0.5AB 推出FH=0.5EH，進而結合CH=FH（FC 是平分線，三角形FCH 是等腰直角三角形）推出FH=EC=BE 這一關鍵條件。所以，當學生遇到困難時，可引導學生繼續(xù)探索隱含條件，進而推出所要求的結論。如圖3 所示：

圖3

3.“實現(xiàn)計劃”階段，明確解題思路，規(guī)范解題過程

清晰規(guī)范的解題思路是學生正確并迅速解題的關鍵，這就要求教師在教學過程中重視對學生“科學、嚴謹解題”品質的培養(yǎng)。另外，規(guī)范學生的解題思路，可以幫助學生認清題目所考查的知識點，進而加深學生對題目知識點及解題方法的印象，并提高學生的解題能力。因此，在平時的教學中，應嚴格按照規(guī)范的解題過程給學生講解解題思路，并且嚴格規(guī)范學生平時作業(yè)解答思路，鼓勵學生認真、合理地運算。幫助學生克服解題過程中的惰性，以防止學生養(yǎng)成不認真解題的習慣。例如，在本題中，在證明“Rt△ABE 和Rt△EFH 相似”時的思路都很清晰，但當證明“FH=BE”相等時，很多學生所表現(xiàn)的就是“明知FH=BE，卻不知怎樣用數(shù)學語言表達出來”，在解題實施過程中就會顯得“思路不嚴謹”，為此，教師應嚴格按照上述圖1 所示的解題思路，讓學生明白整個證明過程的“來龍去脈”。

4.“回顧”階段，加強解題后的反思教學

所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學問題后，通過對審題過程、解題思路、解題途徑、題目結論的反思來進一步暴露數(shù)學解題的思維過程，從而開發(fā)學習者的解題智慧，以達到事半功倍，提高中學生數(shù)學學科自我監(jiān)控能力的目的。教師可以在課堂小結時，適時地對某種數(shù)學思想方法的關鍵點或要素進行概括、強化和揭示，對它的內容、規(guī)律、運用等有意識地適度點撥。

（1）善用一題多解，加強解題方法的運用

在解題過程中，一些題往往有多解，通過一題多解的練習，一方面可以加強學生對題目理解，另一方面可以訓練學生對解題方法的運用能力，并通過不同的解題思路來尋找解題的最佳途徑和方法，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。通過一題多解的練習題，對鞏固知識、增強解題能力、提高學習成績大有益處。在問題解決之后，教師可根據(jù)情況進行適當?shù)囊活}多解、一題多變、多題組合，注意數(shù)學思想和方法的總結、提煉和升華，進一步拓展學生的思維平臺，優(yōu)化解題過程。不斷地引導學生進行解題后的反思，使學生完成自我意識、自我評價、自我調整的過程，提高中學生數(shù)學學科自我監(jiān)控能力。

例如，在本題中，要證明AE=EF，需要將這兩條邊放置在不同的三角形中，多數(shù)學生會想到放置在Rt△ABE 和Rt△EFH中，這種方式是將AE 所在的△ABE 固定，尋找相似的另一個△EFH。按照同樣的思路，可以將EF 所在的△EFH 固定，尋找另一個相似三角形。因此，需要做AB 的中點G，連接EG，如圖4 所示，這樣就將所求轉化成求證△AEG≌△ECF，學生很容易用找到∠GAE=∠CEF、AG=EC、∠AGE=∠ECF 這三個條件，進而證明已知結論。

還可以反過來推，要證明AE=EF,因為∠AEF=90°，則只需證明△AEF 是等腰直角三角形，也就是只需證明∠EAF=∠EFA=45°，題中出現(xiàn)正方形，容易想到對角線平分一組對角，就會出現(xiàn)45°角，所以如圖5 連接AC，同時想到CF 是外角平分線，所以∠ACF=90°，故A、E、C、F 四點共圓，且AF 為直徑，根據(jù)圓周角定理，∠AFE=∠ACB=45°，問題得以解決。

圖4

圖5

這樣通過改變解題方法，學生就會和之前的解題方法進行比較，如比較各種解題方法的簡易程度、優(yōu)缺點等，由此激發(fā)學生的學習興趣和愛好。

（2）從特殊到一般中滲透辯證思維

數(shù)學題目并不是固定不變的，某一類型題有時可以采用同樣的方法解答。學生在解題過程中，可以輕松解決一些“特殊化”的題目，而將這些“特殊化”的題目改成一般形式后，很多學生就會覺得無從下手，而這種“從特殊到一般”的題型正是近幾年考查學生解題能力的主要形式之一。因此，將“特殊化”的題目改成“一般性”的題目，可以使學生在解題過程中理解這種“從特殊到一般”的數(shù)學思維，進而提高解題能力。例如，本題可讓學生總結一下幾何證明題的一般方法，點E 運動過程中的幾種情況分類，如圖6，弱化條件，將“點E 是BC 的中點”弱化為“點E 是直線BC上任意一點”，其他條件都不變，則結論是否成立？

圖6

（3）善用一題多變，提高解題能力

在實際教學中，有一些隱含條件或關鍵條件很難想出，教師可以利用變式教學，將題設條件或結論作相應的變化，按照一定的梯度設置變式題，慢慢引導學生進行全面思考。如對那些鋪墊題、遷移題、深化題的練習，會使學生快速反饋，并能通過變式練習，將所學知識串成一線，聯(lián)成一體，從而激發(fā)學生的學習熱情，使學生達到充分感受學習數(shù)學的魅力。

例如，本題可以引導學生思考將題目的條件和結論做一互換，得到解決相關的問題，從而增強了學生的數(shù)學素質，提高了數(shù)學解題能力。

變式1：正方形ABCD 中，點E 是BC 中點，AE⊥EF，AE=EF，連接CF.

求證：CF 平分正方形的外角∠DCP。

還可以針對題目作出進一步的探索，如改變圖形的背景，將題目改為：如圖7 在△ABC 中，點E 是BC 上一動點，∠AEF=60度，AE=EF，連接CF。

求證：CF 平分△ABC 的外角∠DCP。

圖7

還可以讓學生自己反思和總結，圖形背景可不可以換成任意的正多邊形呢？你還能提出類似的問題并嘗試解決嗎？

在中學數(shù)學的解題教學中，教師不僅要傳授學生相關知識，還要重視學生解題能力的培養(yǎng)，不僅要培養(yǎng)學生解決一般問題的能力，還要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力、獨立思考能力和想象力。波利亞就主張選擇有代表性的題目，發(fā)掘各個側面的題目，通過不同的角度展開解題訓練。這樣才能在保證學生掌握基礎知識的同時，提高學生的學習興趣和學習效率。所以，教師積極學習波利亞解題理論，將波利亞的解題思想積極運用到教學實踐中，就可以避免孤立的知識教學和就題講題的教學方式，將知識概念化、系統(tǒng)化、結構化，幫助學生有效實現(xiàn)知識的整合和方法的遷移，激發(fā)他們的數(shù)學學習熱情。

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