CPPI策略風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)優(yōu)化及實(shí)證

孫雨薇,王曉慧,周 明

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 中國精算研究院,北京 100081）

0 引言

在劇烈波動(dòng)的證券市場中，投資組合保險(xiǎn)策略能夠通過對組合類型以及組合頭寸的選擇，達(dá)到既將風(fēng)險(xiǎn)控制在一定范圍內(nèi)，又能夠使投資者繼續(xù)擁有資產(chǎn)增值的潛力，充分享受市場上漲收益的目的。在我國的金融市場中，投資組合保險(xiǎn)策略主要應(yīng)用于保本基金中。由于對未來市場的難以預(yù)測，投資者逐漸對保本型金融產(chǎn)品有了極大地迫切需求。對于既能夠控制風(fēng)險(xiǎn)又能保證投資收益的投資組合保險(xiǎn)策略的研究及探討，不僅有利于保本型基金的合理發(fā)展，還能夠滿足像保險(xiǎn)公司一類的投資機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)管理需求。

近幾年的保本基金的投資策略大多采用動(dòng)態(tài)投資組合保險(xiǎn)策略，其中CPPI策略居多。CPPI策略由Black&Jones在1987年提出，易于理解、操作簡單、運(yùn)用靈活，CPPI策略只需要簡單的設(shè)置參數(shù)就能達(dá)到投資組合保險(xiǎn)的目的，在我國保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)管理中，CPPI策略也逐漸被應(yīng)用。由于保險(xiǎn)公司以安全性、流動(dòng)性、盈利性作為運(yùn)營的基本原則，并且安全性為首要原則，因此，CPPI策略是當(dāng)前保險(xiǎn)公司進(jìn)行資產(chǎn)管理非常適合的選擇。自從CPPI策略被提出后，越來越多的學(xué)者開始討論如何優(yōu)化CPPI策略。

1 CPPI模型下最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)

CPPI投資組合保險(xiǎn)策略適用于那些需要降低向下風(fēng)險(xiǎn)以及獲取向上盈利潛力的投資者，該策略將投資資產(chǎn)分配到主動(dòng)性資產(chǎn)和保留性資產(chǎn)上，保留性資產(chǎn)保持可接受的最低收益率，而主動(dòng)性資產(chǎn)的預(yù)期收益相對保留性資產(chǎn)較高，兩者的關(guān)系是相對的。投資者在投資期初設(shè)定對投資策略的保本值以及風(fēng)險(xiǎn)偏好程度，在投資期內(nèi)，投資者可以根據(jù)投資市場的走勢情況以及資產(chǎn)相對價(jià)格變化對資產(chǎn)配置比例進(jìn)行調(diào)整，從而達(dá)到投資組合保險(xiǎn)的目的。

1.1 模型建立

在投資期初，投資者根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好以及初始資產(chǎn)，確定風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m以及投資組合在t時(shí)刻的保本值Ft。本文假定Ft的價(jià)值過程服從dFt=rFtdt，其中，r為無風(fēng)險(xiǎn)債券復(fù)合收益率；令Vt為投資組合在t時(shí)刻的總價(jià)值，定義投資組合價(jià)值與保本值之差為緩沖值，即Ct=Vt-Ft；投資者可選擇將緩沖值的m倍投資于風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)，這部分稱為組合的風(fēng)險(xiǎn)暴露，即Et=mCt；投資組合中剩余的資產(chǎn)Dt（Dt=Vt-Et）投資于無風(fēng)險(xiǎn)型資產(chǎn)。假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程St服從伊藤隨機(jī)微分方程：

其中，期初價(jià)格S0＞0，μ(t)表示瞬時(shí)期望收益率，σ(t)為瞬時(shí)波動(dòng)率，Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的唯一風(fēng)險(xiǎn)源。

基于上述模型，首先我們可以推導(dǎo)，在CPPI策略在下資產(chǎn)總值Vt滿足隨機(jī)微分方程為：

其中，μc=mtμt+( )1-mtrt，σc=mtσt。最后，基于假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程(1)和緩存值Ct的表達(dá)式（3），我們可以推導(dǎo)得到，在CPPI策略中采用乘數(shù)m，投資組合資產(chǎn)總價(jià)值Vt的表達(dá)式為

1.2 CPPI策略最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)求解

在本節(jié)中，我們將分別在投資長期增長率和冪效用函數(shù)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，探討投資者在期初如何選擇最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，從而使得超出保障部分的組合價(jià)值的投資長期增長率或者冪效用函數(shù)最大化。為了方便起見，我們假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)債券收益率rt、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的瞬時(shí)收益率μt與波動(dòng)率σt，在一個(gè)投資周期內(nèi)保持不變，分別為常數(shù)r，μ，σ。此外，為了盡量降低調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)引起的分析及交易成本，本文假定，投資者在某一確定的投資周期期初確定投資規(guī)模V0以及保本值F0，以及根據(jù)根據(jù)某種優(yōu)化準(zhǔn)則確定風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)。乘數(shù)在整個(gè)投資期內(nèi)不做任何調(diào)整。投資者可以通過事先研究證券市場的周期性，來確定自己的投資周期。

1.2.1 基于投資長期增長率的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)

投資長期增長率是投資者在評價(jià)投資績效時(shí)最直接、有效的評價(jià)指標(biāo)。首先，我們給出投資長期增長率得定義。假設(shè)用Xt表示某投資的資產(chǎn)盈余過程，則該投資的長期增長率定義為

以投資增長率為優(yōu)化目標(biāo)，尋找可使得CPPI策略的投資過程長期增長率最大的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，是我們需要解決的問題。根據(jù)投資組合資產(chǎn)總價(jià)值Vt的表達(dá)式（4）式可知，在CPPI策略下，投資組合資產(chǎn)總值包括兩部分，一部分為保本值Ft=F0ert，另外一部分為緩沖值Ct=Vt-Ft。保本值以固定收益率r累計(jì)，根據(jù)長期收益率的定義，

這部分與風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m無關(guān)。調(diào)解風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，可以改變的是緩沖值部分的長期收益率。因此，我們要解決的優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

結(jié)論1：可使得CPPI策略下投資緩沖價(jià)值過程的長期收益率達(dá)到最大的最優(yōu)乘數(shù)為

從結(jié)論1可以看出，通過最大化長期投資收益率，我們可以采用一個(gè)非常簡單的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)（7），它與證券市場的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格類似（通常，風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格定義為(μ-r)/σ，但也有部分學(xué)者將風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格直接定義為（7）式）。總之，結(jié)論1告訴我們一個(gè)簡單、明確的最優(yōu)乘數(shù)設(shè)定方案，在實(shí)務(wù)操作中簡單易行，且在該乘數(shù)下，緩沖值的長期收益率要確定高于無風(fēng)險(xiǎn)債券的收益率。這點(diǎn)充分體現(xiàn)出了最優(yōu)乘數(shù)CPPI策略進(jìn)行投資的優(yōu)越性。

以長期投資收益率為優(yōu)化目標(biāo)直接、明確，但不能有效反應(yīng)投資者不同的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。因此，在下節(jié)中我們引入可以體現(xiàn)投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的效用函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)。

1.2.2 基于冪效用函數(shù)的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常用效用函數(shù)U(x)來表示市場參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。常用的效用函數(shù)有兩種，一種為具有常數(shù)絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（CARA）的指數(shù)形式效用函數(shù)，另一種為具有常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（CRRA）的冪效用函數(shù)。為了使得結(jié)論和上文統(tǒng)一，我們這里采用CRRA效用函數(shù)，即投資者的效用函數(shù)為

其中，參數(shù)γ表示投資者的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。

從投資者期望效用函數(shù)最大化的角度來研究投CPPI策略下的最優(yōu)乘數(shù)問題。同樣的，由于保本部分是一個(gè)確定的函數(shù)，我們只考慮緩沖值部分的期望效用最大化。因此，優(yōu)化問題為：

其中T為投資周期的跨度。

結(jié)論2：在CRRA效用下，可使得CPPI策略中投資緩沖價(jià)值期末效用最大的最優(yōu)乘數(shù)為

對比結(jié)論1和2可知，考慮了投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的因素，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)發(fā)生了改變，與投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)成反比關(guān)系。風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越大，用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例就越低，這與直觀相符。特別的，當(dāng)投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ=0時(shí)，投資者效用函數(shù)為對數(shù)效用函數(shù)，最大化期望效用與最大化長期投資收益率的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)是一致的。換句話說，市場中風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ=0的投資者最終能夠獲得最高的投資收益率。這一點(diǎn)是尤其需要我們引起注意的。

結(jié)論3：過度風(fēng)險(xiǎn)厭惡（γ＜0）或風(fēng)險(xiǎn)厭惡不足（1＞γ＞0）均使得長期投資收益率降低。特別地，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡γ＞0.5時(shí)，緩沖值的長期收益率將低于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。

2 實(shí)證分析

本文選取上證綜合指數(shù)每日收盤數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)對CPPI策略及最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)的績效進(jìn)行實(shí)證分析，并且將不同經(jīng)濟(jì)形勢下的采取不同風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)的CPPI策略績效進(jìn)行比較，最后得出比較分析結(jié)果。共考慮三種市場走勢情況，即多頭時(shí)期、空頭時(shí)期以及震蕩時(shí)期。由于2006年年底至2008年年底的波動(dòng)幅度巨大，不具有一般性，因此，本章的實(shí)證分析將不選取該段時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)。其中，多頭時(shí)期選取1996～2000年的5年數(shù)據(jù)，空頭時(shí)期選取2001～2005年的5年數(shù)據(jù)，震蕩時(shí)期選取1998～2002年的5年數(shù)據(jù)。

2.1 參數(shù)估計(jì)

表1 市場不同時(shí)期的參數(shù)估計(jì)

2.2 不同時(shí)期的CPPI策略的績效比較

為了研究不同時(shí)期對CPPI策略的績效表現(xiàn)的影響程度，本文選取上證綜合指數(shù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)一采用目前市場常用的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m=3，最低保本數(shù)額為90%，即9000萬元，分析比較CPPI策略的收益率。

2.2.1 多頭時(shí)期的CPPI策略績效比較

1996年1月1日到2000年12月31日，上證綜合指數(shù)由555.29點(diǎn)幅漲至2073.48點(diǎn)，漲幅超過3倍。

表2 多頭時(shí)期CPPI策略的績效表現(xiàn)

如表2所示，多頭時(shí)期，股市價(jià)格持續(xù)上漲，收益率達(dá)到273.40%。CPPI策略采用“追漲殺跌”的操作方法，設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)越大，投資于風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的比例就越多。但是由于CPPI策略中無風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的配置，使得最終CPPI策略的期末收益率低于上證綜指的收益率，取得了124.70%的收益，失去了一部分上漲的收益。

2.2.2 空頭時(shí)期的CPPI策略績效比較

2001年1月1日到2005年12月31日，上證綜合指數(shù)由2073.48點(diǎn)下跌至1161.06點(diǎn)，下跌了44%。如表3所示，空頭時(shí)期，股市價(jià)格持續(xù)下跌，而CPPI策略由于無風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的比例以及保本數(shù)額的確定，使得CPPI策略在經(jīng)濟(jì)形勢極其惡劣的情況下，仍然能夠保持保本值。由于在投資期初設(shè)定了90%的最低保本數(shù)額，因此，在投資期內(nèi)CPPI策略的下跌程度絕對不會(huì)超過10%，期末收益率尤其接近無風(fēng)險(xiǎn)利率，很大程度上使投資者在暴跌的市場行情下能夠避免遭受巨大損失。

表3 空頭時(shí)期CPPI策略的績效表現(xiàn)

2.2.3 震蕩時(shí)期的CPPI策略績效比較

在震蕩時(shí)期，本文選取了1998年1月1日至2002年12月31日，上證綜合指數(shù)價(jià)格先上漲后下跌，從期初的1194.1點(diǎn)漲至最高點(diǎn)2218.03點(diǎn)，之后下跌至期末1357.65點(diǎn)，上漲13.70%。

表4 震蕩時(shí)期CPPI策略的績效表現(xiàn)

從表4可以看出，在上證綜合指數(shù)價(jià)格震蕩時(shí)期，由于上證綜指整體呈現(xiàn)出上升的趨勢，因此這個(gè)時(shí)期的CPPI策略價(jià)格也出現(xiàn)了上升。然而，上升的幅度小于上證綜指的上升幅度。

通過上述三種價(jià)格變化時(shí)期的CPPI績效比較，可以看出，CPPI策略作為投資組合保險(xiǎn)策略的一種，完全可以達(dá)到獲得向上收益、減小向下?lián)p失的效果，并且，在股市價(jià)格巨幅上升時(shí)，CPPI策略的收益率有限，低于股市價(jià)格上升幅度，但是當(dāng)股市價(jià)格巨幅下降時(shí)，CPPI策略的保本效果明顯，將資產(chǎn)總價(jià)值控制在最低保本限額。因此，CPPI策略確實(shí)是一種適用于穩(wěn)健型投資者的理想的投資組合保險(xiǎn)策略。

2.2.4 不同風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)下的CPPI策略的績效比較

在不同行情下，同樣統(tǒng)一設(shè)定最低保險(xiǎn)數(shù)額為90%，分別設(shè)定期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)為前文所求解的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)并選取最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)的周邊數(shù)值，進(jìn)行分析對比，從而研究不同的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)對CPPI策略的績效影響程度以及最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)的優(yōu)越性。仍然將期末收益率作為績效評價(jià)指標(biāo)。各種情況下的CPPI策略績效如表5所示：

由表5我們可以得出以下結(jié)論：在多頭時(shí)期，股市價(jià)格持續(xù)上升，期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)越大，CPPI策略捕捉向上收益的能力就越強(qiáng)，體現(xiàn)在CPPI策略的期末值越大，期末收益率有著一定程度的提高。當(dāng)期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)等于3.5時(shí)，CPPI策略的期末收益率最高，當(dāng)期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)高于或低于3.5時(shí)，CPPI策略的期末收益率均低于期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)等于3.5時(shí)的期末收益率。因此，在這段投資期，采用期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)為3.5作為最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，將會(huì)使得CPPI策略的期末收益率達(dá)到最大。

在空頭時(shí)期，股市價(jià)格持續(xù)下降，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者對股市的預(yù)期收益率低于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，較傾向于提高投資于無風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的比例，期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)越大，風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)乘以風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)后，價(jià)格下降的越多，投資者將遭受更大的損失。因此，在期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)為2時(shí)，CPPI策略的上升幅度最大，為6.78%，幾乎接近無風(fēng)險(xiǎn)利率。如果令期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)為1，CPPI策略的上升幅度會(huì)更大，但是，此時(shí)的CPPI策略將成為買入并持有策略，即在投資期內(nèi)，投資者將不會(huì)對風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的配置比例做出調(diào)整。因此，將期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)設(shè)定為2是這段時(shí)期的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)。并且，從表中可以看出，使用CPPI策略，投資者在投資期結(jié)束后的下跌幅度都將遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于上證綜合指數(shù)價(jià)格的下跌幅度，進(jìn)一步證明了CPPI策略在股價(jià)巨幅下跌的空頭市場是非常有效的。

表5 各個(gè)時(shí)期不同期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)下的CPPI策略績效

在震蕩時(shí)期，股市價(jià)格變動(dòng)幅度不大，本章的實(shí)證分析中選取的震蕩時(shí)期，期末收益率為正值，但是整體波動(dòng)不大。采用CPPI策略后，在股價(jià)上升時(shí)，累計(jì)收益率低于上證綜指累計(jì)收益率，在股價(jià)下跌時(shí)，采取CPPI策略也在一定程度上減小了資產(chǎn)價(jià)值下跌幅度。從表中可以看出，在這段震蕩時(shí)期，期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)為1.27為最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，期末收益率最高。

3 結(jié)論

固定比例投資組合保險(xiǎn)策略操作簡單、易于理解，目前在國內(nèi)的金融市場，尤其在保本基金中的應(yīng)用已經(jīng)非常廣泛。當(dāng)股市價(jià)格上升時(shí)，期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)越大，投資者對風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的投資比例越大，獲得的收益越多；當(dāng)股市價(jià)格下跌時(shí)，期初風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)越大，投資者遭受的損失就越大。還有一些問題需要今后進(jìn)一步研究探討。首先，本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)在期初設(shè)定后保持不變。我們可以借助動(dòng)態(tài)控制理論探討如何優(yōu)化動(dòng)態(tài)調(diào)整的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)；其次，本文僅分析了不同時(shí)期與不同風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)下的CPPI策略的績效，后續(xù)研究可以引入更多的參數(shù)，比如設(shè)置不同的保本率，分析比較不同參數(shù)對CPPI策略的績效影響程度，并且可以引入其他投資組合保險(xiǎn)策略，如買入并持有策略或者TIPP策略，與CPPI策略進(jìn)行分析比較。

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