一類修正的雙組份Dullin-Gottwald-Holm方程組解的爆破現(xiàn)象

楊 露，郭真華

(1.西北大學 數(shù)學學院; 2.西北大學 非線性中心, 陜西 西安 710069)

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·數(shù)理科學·

一類修正的雙組份Dullin-Gottwald-Holm方程組解的爆破現(xiàn)象

楊 露1,2，郭真華1,2

(1.西北大學 數(shù)學學院; 2.西北大學 非線性中心, 陜西 西安 710069)

為研究一類修正的雙組份DGH方程組的爆破現(xiàn)象，首先對該方程組的守恒量進行先驗估計; 然后研究了周期情形和非周期情形下, 給初值賦予一些條件, 得到的一些新的爆破結果。

修正的雙組份DGH方程組;周期情形和非周期情形;爆破

本文研究下面修正的雙組份DGH方程組的Cauchy問題[1-3]:

(1)

(3)

1 預備知識

為了文章的完整性,在這一部分將引入一些基本的定理和引理,由于證明過程類似,故省略其證明。利用文獻[7]的證明方法可得定理1。

類似于文獻[11]中定理4.1和定理4.2的證明,得到如下兩個定理。

(4)

考慮引入兩類特征線[10]:

(5)

和

(6)

qi,tx(t,x)=ux(t,qi(t,x))qi,x(t,x),i=1,2。

進一步積分得到

這表示對任意的t∈[0,T),qi,x(t,·): R→R (i=1, 2)是兩個微分同胚。

2 爆破現(xiàn)象

接下來的問題就是如果解只有在有限時間內存在的話, 那么當解爆破的時候它又有什么特點呢? 所以尋找一些充分條件尤其是初始值的充分條件來保證解在有限時間內爆破就顯得尤為重要。

2.1 非周期區(qū)域的爆破現(xiàn)象

在這一部分, 我們研究在非周期區(qū)域里解的爆破情況, 并通過改進得到一些新的爆破準則。

(7)

為了簡化后文中的表示式，記

(8)

下面介紹一個非常有用的引理,它揭示了方程(1)的能量守恒律。

?t∈[0,T)。

(9)

證 明 證明E(t)關于時間變量是守恒量。

由注1知, 最大存在期限T不依賴初值u0的正則性指標s的選取, 故不妨設s≥3。 在方程(1)的第1個方程兩邊同時乘以u(x,t)并且分部積分, 得到

(10)

同樣地, 對于方程(1)的第2個方程有如下的性質:

(11)

進一步計算得到

(12)

式(10)和(11)表明

(13)

因此,E(t)是守恒量。 證畢。

結合上述引理2以及Sobolev不等式, 得到

其中上式對任意的t∈[0,T)均成立。這表明u與v是有界的。

受文獻[12]啟發(fā), 下面是本文得到的第一個爆破結果。

若滿足

M(0)<

那么u(x,t)在有限時間內爆破。

證 明 結合稠密性定理以及文獻[12]的論證思想來獲得本定理的證明。 我們僅需要證明當s≥3時該定理成立。 本定理證明s=3的情況。

對方程(3)兩邊同時關于x求導, 有

(14)

(15)

進行簡單的計算, 有

(16)

式(16)的計算用到下面的性質

綜上所述, 得到關于M(t)的方程

(17)

運用式(8),式(17)變形為

(18)

式(18)以及以下性質運用了引理1,

(19)

利用引理2得到的u與v的最大模估計，得到

另一方面, 有Cauchy-Schwartz不等式

(20)

綜合上述一系列分析, 可得

本定理的假設和關于Riccati型方程的標準討論可以保證存在T,使得

證畢。

類似于文獻[14],得到如下結果。

(21)

那么方程(3)對應于初值X0的最大存在期限T是有限的, 即解爆破。

證 明 由式(15)可知

則對于幾乎處處(0,T)上,函數(shù)n(t)滿足方程

(22)

進而在點(ξ(t),t)處, 得到

|γ-A|‖u‖L∞(R)≤

(23)

上述式(23)第1步運用了引理1。

容易證明若滿足條件(21),上述Riccati型方程的解n(t)在有限時間內趨于-∞。

受到文獻[10]啟發(fā), 接下來是本文得到的關于爆破現(xiàn)象的一個主要定理。

m0(x0)=0,

(24)

且

(25)

那么方程(3)對應于初值X0的最大存在期限T是有限的, 即解爆破。

證 明 因為對于任意的t∈[0,T),由式(6)定義的q2(t,·)是實直線之間的一個微分同胚, 則存在一點x(t)∈R, 使得

q2(t,x3(t))=q1(t,x0),t∈[0,T)。

(26)

當t=0時,有

x3(0)=q2(0,x3(0))=q1(0,x0)=x0。

(27)

首先證明

ρ(t,q1(t,x0))=0,

(28)

m(t,q1(t,x0))=0

(29)

對于任意的t∈[0,T)均成立。

事實上,由方程(3)第2個方程可以推知

-ux(t,q2(t,x3(t)))ρ(t,q2(t,x3(t)))，

由于ρ0(x0)=0, 對上式積分并且運用式(27), 得到

ρ(t,q2(t,x3(t)))=

即ρ(t,q1(t,x0))=ρ(t,q2(t,x3(t)))=0, 對于任意的t∈[0,T)均成立。

另一方面, 結合式(5)和(28)以及方程(3)第一個方程, 可以推知

進而可知, 對于任意的t∈[0,T), 有m(t,q1(t,x0))=0。

為簡單起見,下文將用q1來代替q1(t,x0)。

定義V(t)=ux(t,q1(t,x0)), ?t∈[0,T),沿著軌道q1(t,x0), 運用式(28)與引理1,同時注意本定理條件γ=A, 式(15)可變形為

本文想要證明對任意的t∈[0,T),V(t)是嚴格遞減的, 即上式右邊是嚴格小于0。 為達到這個目的，需要證明下面的論斷。

證 明 用反證法證明該論斷。 若上述論斷的結論不成立, 則存在一個t0，使得有

而

進一步得到其微分形式

為了證明該論斷,現(xiàn)在考慮在點(t,q1(t,x0)),令

經過簡單的計算可得

(30)

式(30)右邊第1部分表明

結合方程(2)的第一個方程, 式(30)右邊第2部分表明

(v-vxx)vx)dξ=

運用下面的關系式

m(t,q1)=0=u(t,q1)-uxx(t,q1),

進而得到

因此結合上述一系列計算以及本論斷的假設, 式(30)變形為

這表明當t∈[0,t0)時I(t)是嚴格遞增的。 由連續(xù)性可知

(31)

類似于I(t)的證明,可以得到

因此由連續(xù)性可以保證

(32)

結合式(31)與(32), 得到

顯然矛盾。 因此有

所以V(t)=ux(t,q1(t,x0))是嚴格遞減的。 另一方面,

ux(t,q1(t,x0))=

論斷得證。

直接計算解上述不等式得

2.2 周期區(qū)域的爆破現(xiàn)象

在這一部分, 考慮周期區(qū)域上的爆破現(xiàn)象。 令S:=R/Z表示單位圓, 接下來將在S:=R/Z上進行討論, 即函數(shù)u(x,t)與v(x,t)要滿足

u(x,t)=u(x+1,t),v(x,t)=v(x+1,t), ?t∈[0,T)。

注意到本部分中對任意的函數(shù)f∈L2(S), 引入

其中[x]表示x的整數(shù)部分。容易推出

(33)

定義卷積運算

通過直接計算可以得到‖p‖L∞(S)=C1(C1在后文中出現(xiàn))。 我們將在本部分中描述周期區(qū)域與非周期區(qū)域爆破情況的不同。 受文獻[14-15]啟發(fā), 得到以下定理。

其中

那么方程(1)對應于初值X0的解在有限時間內爆破。

由文獻[16]推出如下形式Sobolev不等式

(34)

其中C0≈0.869<1是卷積問題(34)的最優(yōu)常數(shù)。 類似于在非周期區(qū)域情形下引理1的計算, 有

(35)

然而在S上, 卷積問題(34)無法精確找到最優(yōu)常數(shù)(詳見文獻[16])。

文獻[11]證明了

(36)

結合上述計算可得

|γ-A|‖p‖L∞(S)‖u‖L1(S)+

|γ-A|‖u‖L∞(S)≤

因此, 定理的條件保證了方程(1)對應于初值X0的解在有限時間內爆破。 證畢。

類似于文獻[14-15]的論證思想, 我們得到下面的定理。

其中常數(shù)C0與C1定義如上,且

那么方程(1)對應于初值X0的解在有限時間內爆破。

證 明 本定理會為方程(1)的解作出新的范數(shù)估計。

現(xiàn)運用文獻[17]中得到的已知結果, 即對任意函數(shù)f∈H1(S), 有

對u(x,t)運用上式的結果可得

綜合上述計算, 容易得到

|γ-A|‖p‖L∞(S)‖u‖L1(S)+

|γ-A|‖u‖L∞(S)≤

|γ-A|2(1+C1|S|)}K0+

因此, 定理的條件保證了方程(1)對應于初值X0的解在有限時間內爆破。 證畢。

類似于文獻[14], 我們得到本文中最后一個爆破結果。

因此, 定理的條件保證了方程(1)對應于初值X0的解在有限時間內爆破。 證畢。

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(編 輯亢小玉)

Blow-up criteria of solutions for a class of modified 2-component Dullin-Gottwald-Holm system

YANG Lu1,2, GUO Zhen-hua1,2

(1.School of Mathematics, Northwest University; 2.Center for Nonlinear Studies, Northwest University, Xi′an 710069， China)

This paper introduces the wave breaking phenomenon of a modified two-component DGH equations. Firstly, a prior estimate for the modified two-component DGH equations was studied. Then some new blow-up criteria were established for this system formulated either on the line or with space-periodic initial condition.

a modified two-component DGH system; real line and the periodic case; blow-up criteria

2014-03-11

國家自然科學基金資助項目(11071195, 11331005)

楊露，女，山西長治人， 從事偏微分方程的研究。

O175.2

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-02-002