一類切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制分析

周厚云

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

切換系統(tǒng)作為一類特殊而又重要的混雜系統(tǒng)，受到越來越多的學(xué)者的青睞［1-2］.切換系統(tǒng)是由一組微分或差分方程描述的子系統(tǒng)及一個(gè)切換規(guī)則組成.這種特殊的系統(tǒng)在控制理論及工程實(shí)踐中都得到了廣泛應(yīng)用.波波夫于20世紀(jì)60年代提出的超穩(wěn)定性理論是研究自適應(yīng)控制系統(tǒng)的重要理論［3-4］.

本文根據(jù)超穩(wěn)定性方法研究系統(tǒng)參數(shù)可調(diào)切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制問題，得到穩(wěn)定的自適應(yīng)控制律［5］.結(jié)果表明:系統(tǒng)的狀態(tài)變量很好地跟蹤了參考狀態(tài)變量，跟蹤誤差趨近于零.

1 問題描述與基本理論

假設(shè)切換系統(tǒng)的參考模型為

x(t)∈Rn為x 的理想?yún)⒖紶顟B(tài)，Ami∈Rn×n是系統(tǒng)矩陣，Bmi∈Rn×n是輸入矩陣.σ(t):［x，∞)→M = {1，2，…，m}是一個(gè)依賴于時(shí)間t 或狀態(tài)x(t)的一個(gè)右連續(xù)的分段常值函數(shù)，是系統(tǒng)(1)的切換信號，r ∈Rm是有界輸入信號.

考慮兩類線性切換系統(tǒng)，第一類系統(tǒng)是

其中:x(t)∈Rn是狀態(tài)矢量，Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×n是相應(yīng)維數(shù)的可調(diào)節(jié)矩陣，r 和σ 跟系統(tǒng)(1)保持一致.

第二類切換系統(tǒng)是

其中:x(t)∈Rn是狀態(tài)矢量，Ai∈Rn×n為系統(tǒng)的未知常數(shù)矩陣，Bi∈Rn×m為已知輸入矩陣，u為控制輸入，σ 為與系統(tǒng)(1)一致的切換信號.

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)自適應(yīng)律［6-8］(自適應(yīng)控制器)和系統(tǒng)(2)、系統(tǒng)(3)的切換信號，令狀態(tài)跟蹤誤差e(t)= xm(t)- x(t)滿足0，使切換系統(tǒng)達(dá)到或接近模型參考的期望狀態(tài)．考慮切換線性系統(tǒng)

其中:x(t)∈Rn是狀態(tài)矢量，u(t)∈Rm為控制輸入，y(t)∈Rp為輸出，σ 為切換信號，Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×n，Ci∈Rp×n，Di∈Rp×m為相應(yīng)維數(shù)的系數(shù)矩陣.

定義1 如果輸入u(t)滿足不等式(5)

存在正常數(shù)K ＞0 和r ＞0 ，使得(4)式的所有解x(t)滿足以下不等式:

則稱系統(tǒng)(4)為超穩(wěn)定的.

定義2 切換系統(tǒng)(4)漸進(jìn)超穩(wěn)定，如果

(1)它是超穩(wěn)定的;

(2)對于所有滿足不等式(5)的u(t)均有(7)式成立:

令Vi(x(t))，(i ∈Λ)為第i 個(gè)子系統(tǒng)的儲能函數(shù)，對任意x(t)≠0 和Vi(0) = 0 ，有Vi(x(t))＞0 .tk和tk+1(k = 1，2，…)為滿足tk+1-tk≥δ ＞0 的兩個(gè)相鄰的切換瞬間.根據(jù)文獻(xiàn)［1］中定義，有

其中，tk≤s ≤t ≤tk+1，σ(s)= σ(t)= σ(tk)=為第i 個(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)的自供給率，ωij(x(t)，u(t)，y(t)，t)為第j 個(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)的交互供給率.

定理1 當(dāng)系統(tǒng)(4)所有的子系統(tǒng)是正實(shí)的并且系統(tǒng)的交互供給率ωij(x(t)，u(t)，y(t)，t)對任意i，j ∈Λ(i ≠j)和0 ≤t1≤t2滿足

2 系統(tǒng)參數(shù)可調(diào)切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制

由系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)，得到誤差閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)

定義vi= Pie，且正定矩陣Pi滿足

其中，Pi= ΓijPj(i ≠j)對若干Γij= diag［λkij］，系統(tǒng)(11)變?yōu)?/p>

這里，?σ和vσ分別是系統(tǒng)的輸入和輸出.

假設(shè)1 存在凸組合

因此，選擇切換規(guī)則為

為了避免由公共狀態(tài)引起的估計(jì)參數(shù)的耦合，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

其中，αkji，βkji＞0 .

定理2 自適應(yīng)律(16)和切換規(guī)則(15)適用于切換系統(tǒng)(2)和模型參考系統(tǒng)(1)，保證狀態(tài)跟蹤的漸進(jìn)穩(wěn)定性，即

證明 注意(12)式和系統(tǒng)(13)滿足正實(shí)引理且嚴(yán)格正實(shí).

令Vi= eTPie 是系統(tǒng)(13)的子系統(tǒng)的儲存函數(shù)，那么Vi沿(13)的導(dǎo)數(shù)為

如果自供給率2?Tivi和交互供給率eT(ATmσPi+PiAmσ)e+2?Tσvi分別滿足(5)和(10)式，那么誤差閉環(huán)系統(tǒng)(13)是漸進(jìn)超穩(wěn)定的.

記

由(18)式，ωi的第k 部分是

有

那么不等式(5)可轉(zhuǎn)化為

滿足不等式(21)的充分條件是(21)式中的積分滿足下面的形式

由不等式(22)、(23)也可以得出，切換自適應(yīng)率確保系統(tǒng)(23)的每一個(gè)子系統(tǒng)的自供給能量是有限的.筆者證明系統(tǒng)(22)的交互供給率在切換率(15)的調(diào)節(jié)下也是有限的.交互供給率的第一部分eT(ATmσPi+ PiAmσ)e 在(15)式的切換律下永遠(yuǎn)是小于零的.第二部分?Tσvi，在Pi=ΓijPi時(shí)，第i 個(gè)子系統(tǒng)的交互供給率為

又由

和(21)、(22)式，有:

定理2 的所有條件都滿足，則切換誤差系統(tǒng)(13)是漸進(jìn)超穩(wěn)定的，即跟蹤誤差收斂到0.

3 結(jié)論

本文主要針對一類切換系統(tǒng)應(yīng)用超穩(wěn)定性理論研究了自適應(yīng)控制，首先根據(jù)Lyapunov 函數(shù)討論一類切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制，得出系統(tǒng)的控制器和切換策略與切換系統(tǒng)在切換策略下漸進(jìn)穩(wěn)定的自適應(yīng)率.結(jié)果表明，系統(tǒng)的狀態(tài)變量很好地跟蹤參考狀態(tài)變量，跟蹤誤差趨近于零.

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