非對角型齊次拋物方程組弱解的正則性＊

董 艷

（西北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，西安710129）

文中研究如下形式的非對角型變系數(shù)齊次拋物方程組

文獻［1］利用Liouville定理研究了歐氏空間中滿足自然增長條件的非對角型非齊次橢圓方程組弱解的 H?lder正則性．文獻［2］研究了由H?rmander向量場構(gòu)成的對角型非齊次退化橢圓方程組弱解的部分H?lder正則性．受文獻［1-2］的啟發(fā)，文中研究式（1）弱解的正則性，即利用先驗估計法建立弱解梯度的Morrey正則性和弱解的Campanato正則性，最后利用同構(gòu)引理得到弱解的H?lder正則性．

設(shè)式（1）中的系數(shù)總滿足 aαβij（z，u） ＝Aαβ（z）δij＋Bαβij（z，u），且符合下列假設(shè)條件

（H）設(shè)Aαβ（z）∈VMO∩L∞，Aαβ（z）＝Aβα（z）滿足橢圓性條件，Bαβij（z，u）有界可測，即存在正常數(shù)Λ0，μ0，δ，0＜Λ0≤μ0，0＜δ＜1，使得對任意z＝ （x，t）∈ ΩT，ΩT＝ Ω × （0，T）和 任 意ξ ∈R（q＋1）N，有

文中的主要結(jié)論為

1 預(yù)備知識

對每一個多重指標β＝ （β1，β2，…，βd）（1≤βi≤q，i＝1，…，d，｜β｜＝d），定義長度為d的交換子為Xβ＝ ［Xβd，［Xβd-1，…［Xβ2，…Xβ1］］］．

定義1 如果對每一點x0∈Ω ?Rn，｛Xβ（x0）｝｜β｜≤s都能張成歐氏空間 Rn，則稱向量場組X＝（X1，…，Xq）是Ω上的s步H?rmander向量場．稱H?rmander向量場是自由到s步的，若n＝dimg（q，s），其中g(shù)（q，s）是s步的李代數(shù)．

對該次酉曲線，可以定義其長度為lS（γ）＝T．設(shè)x，y∈Ω，記Φ（x，y）為連接x和y的所有次酉曲線的集合．對于任意的x，y∈Ω，定義d（x，y）＝inf｛lS（γ）：γ ∈ Φ（x，y）｝為由 X 誘導(dǎo)的 Carnot-Carathéodory距離或次橢圓距離．

由Carnot-Carathéodory距離可定義以x0為中心，R為半徑的度量球，形如

當(dāng)不考慮中心時，B（x0，R）簡記為BR．

由文獻［3］可知，對有界集Ω?Rn，存在常數(shù)cD，RD＞0，使得對任意x0∈Ω，0＜2R ＜RD，B（x0，2R）?Ω，有二重性條件成立

｜B（x0，2R）｜≤cD｜B（x0，R）｜，

因此B（x0，R）是一個齊型空間［4］．進一步，對任意的R≤RD和任意的t∈ （0，1），總有

記Q＝log2cD，稱Q為Ω上的局部齊次維數(shù)．由文獻［5］可設(shè)存在正常數(shù)c1和c2，使得

c1RQ≤｜BR｜≤c2RQ．

設(shè)z0＝（x0，t0）∈ΩT?Rn＋1，類似于上面定義的度量球，可以定義以z0為頂點的拋物柱體為

定義3 （拋物Sobolev空間）設(shè)m，k為0或1，1≤p＜＋∞．稱

為與H?rmander向量場相關(guān)的拋物Sobolev空間，且范數(shù)定義為

定義4 （Morrey空間）設(shè)1≤p＜＋∞，λ＞0，若對任意的f∈Lp（ΩT），成立

其中d0為柱體ΩT的直徑，則稱f屬于Morrey空間Lp，λ（ΩT）．

2 定理1的證明

［1］ WIEGNER M．Regularity Theorems for Nondiagonal Elliptic Systems［J］．Ark Mat，1982，20（1）：1．

［2］ GAO D，NIU P C，WANG J L．Partial Regularity for Degenerate Subelliptic Systems Associated with H?rmander’s Vector Fields［J］．Nonlinear Anal，2010，73（10）：3209．

［3］ NAGEL A，STEIN E M，WAINGER S．Balls and Metrics Defined by Vector Fields I：Basic Properties［J］．Acta Mathematica，1985，155（1／2）：103．

［4］ GIANAZZA U．Regularity for Nonlinear Equations Involving Square H?rmander Operators［J］．Nonlinear Anal，1994，23（1）：49．

［5］ XU C J，ZUILY C．Higher Interior Regularity for Quasilinear Subellliptic Systems［J］．Calc Var Partial Dif，1997，5（4）：323．

［6］ MORREY C B．Multiple Integrals in the Calculus of Variations［M］．Heidelberg：Springer Verlag，1966．

［7］ DONG Y．H?lder Regularity for Weak Solutions to Divergence Form Degenerate Quasilinear Parabolic Systems［J］．J Math Anal Appl，2014，410（1）：375．

［8］ MEYERS N．Mean Oscillation over Cubes and H?lder Continuity［J］．Proc Amer Math Soc，1964，15（1）：717．