分部積分巧妙談

劉淑芹

摘 要：在高等數(shù)學(xué)課程中，培養(yǎng)學(xué)生熟練掌握和靈活運(yùn)用初等求積方法并且結(jié)合教學(xué)內(nèi)容提高學(xué)生的審美情趣是一項(xiàng)基本重要的教學(xué)任務(wù)。分部積分法作為積分學(xué)的基本方法之一，與乘積的微分法遙相呼應(yīng)，往往針對積分題型為被積函數(shù)是兩個基本初等函數(shù)相乘，是求不定積分的一種化難為易的有效方法，在積分學(xué)中有著重要的作用。該文通過一個簡單的圖示以加速讀者的計(jì)算，同時因?yàn)榉植糠e分不但解決了許多常見的積分問題，而且在很多情況下體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的巧妙之美，該文也將結(jié)合例子來說明，分部積分法都有哪些巧妙之處。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)之美 對稱性 再現(xiàn)技巧 高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0144-02

當(dāng)被積函數(shù)為兩個因子相乘，直接積分法或湊微分的方法又失效時，可考慮使用分部積分法，誰扮演，誰扮演，這是分部積分的關(guān)鍵，初學(xué)者往往對此有些困惑，或者掌握了基本方法，一加速又容易出錯，很多老師也總結(jié)了一些方法，比如求導(dǎo)要比較簡單而的原函數(shù)應(yīng)該好求，又如“反對不要碰，三指動一動”[1]，是講反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)扮演不要碰，留在原處，而三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)則是要扮演，拿來湊微分。本文介紹的圖示法則可以讓初學(xué)者比較快速地做出判斷與計(jì)算。

1 分部積分來源簡述

大家所熟悉的簡潔對稱的求導(dǎo)乘法公式通過兩邊取不定積分得到，即有，兩個積分號共存于一個等式中，所以這就給了我們很多啟發(fā)，假若難求，好求，難求的就可以轉(zhuǎn)化為好求的，所以分部積分是求不定積分的一種化難為易的有效方法。

2 快速巧選和

筆者在這里，用一個簡單的圖示，可以通過位置信息告訴學(xué)生快速選擇和。我們常見的使用分部積分的題目有冪函數(shù)乘指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)乘三角函數(shù)、冪函數(shù)乘對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)乘反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)，這里有一個連接點(diǎn)，那就是冪函數(shù)，我們以此為中心把它們放在一起如下圖，連線代表乘法，我們可以這樣告訴同學(xué)們，當(dāng)冪函數(shù)乘指數(shù)函數(shù)時，是指數(shù)函數(shù)扮演拿來湊微分，而指數(shù)函數(shù)在連線的上方，同樣的位置規(guī)律，又如冪函數(shù)乘對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在連線的上方，其扮演，圖中有一條東西方向連線比較特殊，指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相乘，在這種情形下，兩者任選一個可作為，這個圖很簡單，學(xué)生也很容易記住。（如圖1）

3 所湊要吻合

學(xué)生大都覺得求導(dǎo)比較簡單，因?yàn)榇鸢甘俏ㄒ坏模热鐝?fù)合函數(shù)求導(dǎo)，從外到內(nèi)，如同剝竹筍般，只需每次求導(dǎo)把里面的看成一個整體即可。而不定積分是求導(dǎo)的反運(yùn)算，是一個多值問題，分部積分中在選定后要湊成，如何選擇呢，因?yàn)槭且拖喑说?，唯一，我們要在蕓蕓候選者中找一個和吻合，使得轉(zhuǎn)換后的被積函數(shù)即簡潔好算。

下面舉例：

例1中我們?yōu)槭裁匆獪惓赡兀驗(yàn)橹挥羞@樣轉(zhuǎn)換后的被積函數(shù)最簡單，當(dāng)然同學(xué)們隨便湊一個也可以算出來，但無形中繞了一些彎路。例2和例1的道理是一樣的。

4 巧用“再現(xiàn)技術(shù)”

分部積分所特有的“再現(xiàn)技術(shù)”是說在我們經(jīng)過有限次的分部積分后，又出現(xiàn)了題目本身的相反數(shù)或倍數(shù)，通過解方程的思想就可以尋得答案，這種技巧是被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)這樣一類題目給我們的啟發(fā)，如今它在很多題目中得到應(yīng)用。

例題如下：

5 巧用公式對稱性

若微分乘法公式兩邊積分就得到，即有，這樣一個對稱的結(jié)論，在不定積分的一些題目中得到了巧妙應(yīng)用，從而簡化了運(yùn)算。下面舉例：

例題用對稱性也能夠很巧妙地得到解決，教師不妨讓學(xué)生在做題的過程中有意識地去搜集拾零這樣的一些題目，也是一件很有意思的事情。

6 巧用“組合法”

在三角函數(shù)家族里，正弦和余弦是一對神奇組合，不僅因?yàn)樗鼈兊钠椒胶蜑?，還有眾所周知的正弦的導(dǎo)數(shù)為余弦，余弦的導(dǎo)數(shù)和正弦互為相反數(shù)，這樣一對組合在分部積分的一類題目里得到了很好的應(yīng)用。下面舉例：

7 多次分部積分宜用“表格法”

在段玉珍《關(guān)于分部積分法的幾點(diǎn)探索》中比較詳細(xì)地說明了對于多次分部積分比較適合用“表格法”，也是一種簡潔快速有趣的方式。下面只簡單列舉兩道例題，不再贅述。

8 結(jié)語

數(shù)學(xué)本身就有美，高等數(shù)學(xué)更是如此，學(xué)生對美的事物總是易于接受。本文總結(jié)了一些解分部積分的技巧，借此闡述了數(shù)學(xué)的巧妙之美，其實(shí)數(shù)學(xué)的美無處不在，其中有很多經(jīng)典的思想，比如“數(shù)形結(jié)合”；又如極限無限運(yùn)動的觀點(diǎn)、函數(shù)連續(xù)的性態(tài)、定積分無限細(xì)分的思想，等等，都蘊(yùn)涵著深奧且意味深長的美，并富有哲學(xué)含義，需要我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)體會，爭取能夠做到，不僅掌握了數(shù)學(xué)的思維模式和精確的符號描述，也能把知識和思想應(yīng)用到生活中。

參考文獻(xiàn)

[1] 陶碩，夏天.分部積分的“十字”口訣方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，11（6）：31-34.

[2] 段玉珍.關(guān)于分部積分法的幾點(diǎn)探索[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，1995（2）：247-249.

[3] 李忠杰.分部積分法解題方法淺析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2011（7）：64-65.endprint