時(shí)滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分支

袁 媛， 林漢燕， 董錦華

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部 廣西 桂林 541004)

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時(shí)滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分支

袁 媛， 林漢燕， 董錦華

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部 廣西 桂林 541004)

考慮具有追捕時(shí)滯與捕食者成熟期時(shí)滯的雙時(shí)滯捕食系統(tǒng). 通過分析特征方程根的情況,得到平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性與Hopf分支產(chǎn)生的充分條件.運(yùn)用迭代方法與比較原理研究了正平衡點(diǎn)全局吸引的充分條件.

時(shí)滯; 階段結(jié)構(gòu); 捕食系統(tǒng); Hopf分支; 全局穩(wěn)定性

0 引言

隨著對(duì)生物種群動(dòng)力學(xué)的深入研究,時(shí)滯被引入到各類動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中.時(shí)滯的引入使得系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡點(diǎn)處發(fā)生穩(wěn)定性的改變,并產(chǎn)生周期振蕩等更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[1-7].文獻(xiàn)[1-3]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的單時(shí)滯捕食系統(tǒng),文獻(xiàn)[4-5]研究了具有多個(gè)時(shí)滯的捕食系統(tǒng).基于上述文獻(xiàn)的思想,本文考慮捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的雙時(shí)滯捕食系統(tǒng)，

(1)

其中,x(t),y(t),z(t)分別表示t時(shí)刻食餌種群、幼年捕食者與成年捕食者種群的數(shù)量，r表示食餌種群的自然增長(zhǎng)率,β1,β2分別表示食餌種群與成年捕食者種群的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率,a1是成年捕食者的捕食率,b是捕食者的出生率,d1,d2分別表示幼年捕食者與成年捕食者的死亡率,τ1,τ2>0是時(shí)滯,分別表示追捕時(shí)間與捕食者的成熟期,e-d1τ表示捕食者進(jìn)入成熟期之前(即成長(zhǎng)期)的存活率,假設(shè)τ=τ1+τ2. 以上所有的參數(shù)都是正的.

系統(tǒng)(1)滿足的初始條件為：x(θ),y(θ),z(θ)≥0,θ∈[-τ,0],x(0),y(0),z(0)>0.

在系統(tǒng)(1)中,由于幼年捕食者y(t)的動(dòng)力學(xué)行為依賴于x(t)與z(t),所以，下面研究簡(jiǎn)化系統(tǒng)

(2)

這里a2=ba1，其初始條件為

x(θ),z(θ)≥0；θ∈[-τ,0]；x(0),z(0)>0.

(3)

1 平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性分析

經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算,系統(tǒng)(2)有3個(gè)平衡點(diǎn)：E0(0,0),E1(r/β1,0)和E*(x*,z*),其中，

x*=(rβ2+a1d2)/(β1β2+a1a2e-d1τ),z*=(a2re-d1τ-β1d2)/(β1β2+a1a2e-d1τ).

當(dāng)a2re-d1τ>β1d2時(shí),E*(x*,z*)存在.

(4)

在E0(0,0)處,特征方程(4)化簡(jiǎn)為(λ-r)(λ+d2)=0,易知它有一個(gè)正的特征根r,所以E0(0,0)總是不穩(wěn)定的.

在E1(r/β1,0)處,特征方程(4)化簡(jiǎn)為(λ+r)(λ+d2-(a2r/β1)e-d1τ)=0,它有特征根λ1=-r<0,λ2=(a2r/β1)e-d1τ-d2.經(jīng)分析可知：當(dāng)a2re-d1τ<β1d2時(shí),E1(r/β1,0)是局部穩(wěn)定的;當(dāng)a2re-d1τ>β1d2時(shí),E1(r/β1,0)是不穩(wěn)定的.

于是,得到邊界平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性的結(jié)論，即定理1.

定理1E0(0,0)總是不穩(wěn)定的. 當(dāng)a2re-d1τ<β1d2時(shí),E1(r/β1,0)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)a2re-d1τ>β1d2時(shí),E1(r/β1,0)是不穩(wěn)定的.

在正平衡點(diǎn)E*(x*,z*)處, 特征方程(4)變形為

λ2+p1λ+p0+q0e-λτ=0,

(5)

其中，p1=β1x*+β2z*>0,p0=β1β2x*z*>0,q0=a1a2x*z*e-d1τ>0,τ=τ1+τ2.

當(dāng)τ=0時(shí),方程(5)變形為

λ2+(β1x*+β2z*)λ+β1β2x*z*+a1a2x*z*=0,

易知，它有2個(gè)負(fù)實(shí)部的特征根,因此在沒有時(shí)滯的情況下,正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ>0，且滿足a2re-d1τ>β1d2時(shí),假設(shè)λ=±iω(ω>0)是方程(5)的一對(duì)共軛特征根,將其代入方程(5)并分離實(shí)部、虛部得

cos ωτ=(ω2-p0)/q0; sin ωτ=p1ω/q0,

(6)

將式(6)的2個(gè)式子平方后相加,有

(7)

令

因?yàn)閜0+q0>0,p0-q0=(β1β2-a1a2e-d1τ)x*z*,所以當(dāng)β1β2>a1a2e-d1τ時(shí),B>0,

Δ=A2-4B=[(β1x*)2-(β2z*)2]2+4(a1a2x*z*e-d1τ)2>0,

故方程(7)無正實(shí)根.對(duì)所有的τ>0,方程(5)的所有根都具有負(fù)實(shí)部,這表明系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*(x*,z*)處是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)β1β2A2>0,于是方程(7)有一個(gè)正實(shí)根,

當(dāng)參數(shù)β1,τ滿足不等式e-d1τ>max{β1d2/a2r,β1β2/a1a2}時(shí),設(shè)θ(β1,τ)∈(0,2π),定義

結(jié)合(6)式,定義映射

Sn(β1,τ)=τ-(θ0(β1,τ)+2nπ)/ω0(β1,τ),n∈N.

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的結(jié)論,有定理2.

2 全局穩(wěn)定性

引理1對(duì)所有的t>0來說,系統(tǒng)(2)的滿足初始條件(3)的解都是正的.

證明當(dāng)t>0時(shí),系統(tǒng)(2)的第1個(gè)方程為

結(jié)合初始條件(3)解得

當(dāng)0≤t≤τ2時(shí),

定理3當(dāng)a2re-d1τ<β1d2時(shí),E1(r/β1,0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由定理1知,當(dāng)a2re-d1τ<β1d2時(shí),E1(r/β1,0)是局部漸近穩(wěn)定的.下面證明

結(jié)合系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程,當(dāng)t>T1+τ2時(shí),

證畢.

定理4假設(shè)β1d2/a2r

結(jié)合系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程,當(dāng)t>T1+τ2時(shí),有

(8)

證畢.

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Global Stability and Hopf Bifurcation for a Delayed Predator-prey System

YUAN Yuan， LIN Han-yan, DONG Jin-hua

(DepartmentofScience,GuilinUniversityofAerospaceTechnology,Guilin541004,China)

A double-delayed predator-prey system with hunting delay and time delay for predator maturation was considered. By analyzing the eigenvalue, the sufficient conditions of local stability and Hopf bifurcation were obtained. Using iteration techniques and comparison arguments, the sufficient condition for the global attractivity of the positive equilibrium was studied.

time delay; stage structure; predator-prey system; Hopf bifurcation; global stability.

2014-11-23

2014年廣西高?？蒲许?xiàng)目，編號(hào)LX2014469.

袁媛(1982-)，女，四川自貢人，講師，碩士，主要從事生物數(shù)學(xué)研究，E-mail: yyuan_1023@126.com.

O175

A

1671-6841(2015)01-0055-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.012