脈沖依賴狀態(tài)的發(fā)展方程初值問題解的存在性

劉 旭

關(guān)于脈沖微分方程解的存在性問題研究已經(jīng)有很多的結(jié)果［1］，但主要集中在固定時(shí)刻的脈沖微分方程，對脈沖依賴狀態(tài)的微分方程發(fā)展的比較緩慢，只有很少的幾個(gè)結(jié)果［2－7］.受文獻(xiàn)［7］和［8］的啟發(fā)，論文考慮脈沖依賴狀態(tài)的發(fā)展方程初值問題，即

其中：A：D（A）?Rn→Rn是Rn中的稠定閉線性算子，－A 生成Rn的等度連續(xù)C0－算子半群T（t）（t≥0），即T（t）在t＞0上（不含t＝0點(diǎn)）按算子范數(shù)連續(xù).f：J×Rn→Rn，τk：Rn→R，Ik：Rn→Rn，k＝1，2，…，m.

1 引 理

眾所周知對于J上等度連續(xù)的C0－算子半群T（t），?M＞0，使得

記C（J，Rn）為定義于J取值于Rn的全體連續(xù)函數(shù)空間，按范數(shù)‖u‖＝｜u（t）｜構(gòu)成 Banach空間.

考慮線性發(fā)展方程初值問題

當(dāng)u0∈D（A），φ∈C1（J，Rn），方程（2）存在唯一古典解u∈C1（J，Rn）∩C（J，E1）（E1為D（A）按圖像范數(shù)‖u‖1＝‖u‖＋‖Au‖構(gòu)成的Banach空間）且其解可表示為

對于一般的u0∈Rn，φ∈C（J，Rn），由（3）式確定的u∈C（J，Rn）是問題（2）的一種廣義解，稱為mild解.

定義1 對于非線性發(fā)展方程初值問題

若u∈C（J，Rn）滿足積分方程

則u稱為問題（4）在J上的mil d解.

定義2 映射f：J×Rn→Rn稱為L1－Carat heodory，如果

（i）對每個(gè)u∈Rn，f（t，u）關(guān)于t是可測的；

（ii）對幾乎所有的t∈J，f（t，u）關(guān)于u是連續(xù)的；

（iii）對每個(gè)r＞0，存在hr∈L1［J，R＋］，使得｜f（t，u）｜≤hr（t），?｜u｜＜r和幾乎所有t∈J.

下面假定f是L1－Caratheodory，同時(shí)給出論文使用的Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理.

定理1［9］設(shè)X是Banach空間，N：X→X是全連續(xù)映射，如果集合

有界，則算子N至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

為了考慮問題（1），先作如下假定：

（H1）函數(shù)τk∈C1（Rn，R），且

（H2）?ck＞0，使得｜Ik（u）｜≤ck，?u∈Rn，k＝1，2，…，m.

（H3）存在連續(xù)不減函數(shù)ψ：［0，∞）→（0，∞），p∈L1［J，R＋］，a.e.t∈J，?u∈Rn，使得

且ψ滿足

（H4）?（t，u）∈［0，a］×Rn，k＝1，2，…，m，有

（H5）?u∈Rn，τk（Ik（u））＜τk（u）＜τk＋1（Ik（u））.

定理2 若（H1）～（H5）成立，則初值問題（1）在［0，a］上至少有一個(gè) mil d解.

證明 將證明分以下4步：

第1步：定義算子Q如下

Q：C（J，Rn）→C（J，Rn）是全連續(xù)的，這是因?yàn)?/p>

①Q(mào)連續(xù)

?un?C（J，Rn），un→u，則

由于f是L1－Caratheodory，根據(jù)Lebesgue控制收斂定理知，當(dāng)n→∞時(shí)，有

②Q在C（J，Rn）中將有界集映成有界集

?u∈Br＝｛u∈C（J，Rn）：‖u‖≤r｝，由（6）式知

③Q將C（J，Rn）中有界集映成等度連續(xù)的有界集

設(shè)l1，l2∈J，l1＜l2，?u∈Br，則

因?yàn)門（t）u0在J上連續(xù)，從而一致連續(xù)，而T（t）在t＞0上按算子范數(shù)連續(xù)，當(dāng)l1→l2時(shí)，由Lebesgue控制收斂定理，上式右端趨于零，與u無關(guān)，故Q將C（J，Rn）中有界集映成等度連續(xù)的有界集.

由①，②，③ 及 Arzela－Ascoli定理，證明了Q：C（J，Rn）→C（J，Rn）全連續(xù).

第2步：下證集合ε（Q）＝｛u∈C（J，Rn）：u＝λQu，0＜λ＜1｝有界.

設(shè)u∈ε（Q），則u＝λQu，?t∈J，0＜λ＜1，

由（H3）知對每個(gè)a.e.t∈J，

令μ（t）＝sup｛｜u（s）｜：0≤s≤t｝，0≤t≤a，則

利用函數(shù)ψ的不減性，有

于是

因此存在一個(gè)常數(shù)K＞0，v（t）≤K，a.e.t∈J，即μ（t）≤K，于是，有

其中：常數(shù)K′依賴a，M，函數(shù)p和函數(shù)ψ，即集合ε（Q）有界.

令X＝C（J，Rn），由定理1即Schaef er不動(dòng)點(diǎn)定理知Q有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，此不動(dòng)點(diǎn)是初值問題（4）的mil d解，記為u1.

定義函數(shù)rk，1（t）＝τk（u1（t））－t，t＞0.

由（H1）知rk，1（0）≠0，?t∈J，k＝1，2，…，m.若rk，1（t）≠0，?t∈J，則u1是初值問題（1）的mil d解.

下面考慮r1，1（t）＝0，?t∈J.由于r1，1（0）≠0且r1，1（t）連續(xù)，則?t1＞0，使得r1，1（t1）＝0和r1，1（t）≠0，t∈［0，t1），因此按（H1），有

第3步：考慮

將問題（7）轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問題，定義算子Q1如下

類似第1，2步可以證明算子Q1至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即問題（7）有一個(gè)mil d解，記為u2.

定義

如果rk，2（t）≠0，即t≠τk（u1（t）），?t∈（t1，a］，k＝1，2，…，m，則

是初值問題（1）的解.

仍然考慮r2，2（t）＝0，t∈（t1，a］的情形，按（H5），有

由于r2，2連續(xù)，存在t2＞t1，使得r2，2（t2）＝0和r2，2（t）≠0，t∈（t1，t2），顯然按（H1），有

若?ˉs∈（t1，t2］，r1，2（ˉs）＝0.按（H5），有

因此，函數(shù)r1，2在s1∈（t1，a］達(dá)到非負(fù)最大值點(diǎn)，則

于是

這與（H4）矛盾.

第4步：重復(fù)上述步驟，令um＋1：＝u｜［tm，a］是下述初值問題

的mild解，則初值問題（1）的mild解，為

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