立幾入門教學(xué)的再探究

高春麗

摘 要：立體幾何是研究幾何圖形的性質(zhì)及其應(yīng)用的一門科學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、空間想象能力及分析和解決問題能力必須具備的重要知識，也是高考年年必考的重要內(nèi)容。由此立體幾何的學(xué)習(xí)就顯得尤為重要，筆者積累了以下幾點(diǎn)，供分析與探究。

關(guān)鍵詞：立體幾何；入門教學(xué)；數(shù)學(xué)語言

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-224-01

一、注重學(xué)生作圖，識圖能力的培養(yǎng)

作圖、識圖是學(xué)習(xí)幾何的基本功，作為培養(yǎng)空間思維的立體幾何，其知識的掌握程度常常取決于我們對空間圖形認(rèn)識和掌握程度，圖形繪制的正誤優(yōu)劣往往關(guān)系到問題解決的成敗，忽視圖形繪制過程的合理性，將直接影響題目信息的呈現(xiàn)和利用，導(dǎo)致受阻。因此，解決好立幾問題的第一步是繪制出直觀、規(guī)范、簡潔、準(zhǔn)確的圖形。但從平面觀念過渡到空間觀念，對學(xué)生來說有一定困難，因?yàn)樗麄円蚜?xí)慣了平幾的那一套，形成了強(qiáng)大的思維定勢，初學(xué)立幾，往往會從平幾的角度來認(rèn)識、理解空間圖形問題，這就極大地妨礙了三維空間的建立。為此可采用幾何模型、實(shí)物演示，讓學(xué)生多角度“寫生”等，以縮小對空間圖形的陌生感和距離感，從中悟出空間圖形與平面圖形的差異與聯(lián)系，從而正確、合理地作出圖形。如本人在高二（下A）第10頁的例1教學(xué)中，根據(jù)題意需畫出空間四邊形ABCD及過AB、AD的中點(diǎn)E、H，CD、CB上的點(diǎn)F、G（其中F、G滿足CF/CB=CG/CD=2/3）的四邊形EFGH。對此，先讓學(xué)生理解空間四邊形的定義，之后讓學(xué)生將一矩形紙片沿一條對角線對折，并讓對折后的兩三角形不在同一平面內(nèi)，這時再讓學(xué)生觀察，得出“矩形的四個頂點(diǎn)不在同一平面內(nèi)”，照此實(shí)物就可畫出空間四邊形，并強(qiáng)調(diào)為增強(qiáng)圖形的立體感，應(yīng)將折痕（即矩形的一條對角線）一并畫出來，如圖中BD。最后，再讓學(xué)生找出實(shí)物中的E、H、F、C四點(diǎn)，并觀察想象它們構(gòu)成的四邊形面與己知兩三角形面間的位置關(guān)系，從而畫出四邊形EFGH，并將被它遮住的部分畫成虛線。這樣，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，學(xué)生的畫圖能力明顯提高。

在學(xué)生具有了一定的作圖能力之后，還要注重學(xué)生識圖能力的培養(yǎng)。如在學(xué)習(xí)了相交面的畫法之后，可讓學(xué)生辯識圖1中的哪個畫法正確。掌握了空間圖形的畫法規(guī)則后，讓學(xué)生說明圖2中，各圖形的不同之處；這樣，經(jīng)過正、反兩方面的訓(xùn)練，同學(xué)們的識圖、作圖能力必會更上一層樓。

（a） （b） （c）

圖2

二、掌握三種數(shù)學(xué)語言的互譯

數(shù)學(xué)語言是解決數(shù)學(xué)問題必不可少的重要工具，尤其在立幾中，掌握立體幾何的數(shù)學(xué)語言是學(xué)好立幾的重要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)語言按其所使用的主要詞匯分為三種：文字語言、圖形語言、符號語言；文字語言言簡意賅，寓意深刻，符號語言簡明扼要，國際通行；圖形語言形象生動，記憶深刻，它是聯(lián)系文字語言、符號語言的橋梁。這幾種語言各有所長，對開發(fā)同學(xué)們思維的敏捷性、條理性、層次性都有重要意義。因而在立幾學(xué)習(xí)中，應(yīng)充分發(fā)揮不同語言的教育功能，掌握好三種語言的互譯。筆者在立幾入門教學(xué)中，對每個定義、定理、公理都要求學(xué)生會用三種語言來表達(dá)，對例習(xí)題也做同樣的要求。經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，不僅學(xué)生運(yùn)用語言的能力大大提高，而且也加深了對定義、定理的理解，培養(yǎng)了學(xué)生準(zhǔn)確的表達(dá)能力，規(guī)范的解題能力和空間想象能力。

三、學(xué)會立幾、平幾間的轉(zhuǎn)化、類比

平幾是立幾的基礎(chǔ)，立幾是平幾的延伸與拓展，它們之間有著緊密的聯(lián)系。立體幾何中的許多定理、公式、法則都是平幾的定理、公式、法則在空間的推廣，有些問題的處理思想和方法也有許多相似之處。因此，如果在立幾問題中注意聯(lián)想平幾中類似問題的圖形與解法，從平幾問題中得到啟發(fā)，適當(dāng)添加輔助線、面，將分散的元素進(jìn)行集中，將各種關(guān)系體現(xiàn)在同一個平面圖形內(nèi)，就可化未知為已知，化立幾為平幾，從而使問題迎刃而解。比如求空間的距離時，主要是設(shè)法作出各種距離和構(gòu)造三角形，從而在三角形中應(yīng)用勾股定理、正余弦定理等來求解。再如求空間的各種角，通過平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、射影、作截面等手段，往往可將隱藏的關(guān)系集中顯現(xiàn)出來，將問題歸結(jié)到一個聯(lián)系己知量和待求量的基本圖形——三角形中去討論，從而將線線角、線面角、二面角化歸為三角形的內(nèi)角，然后利用解三角形的知識就可求解。在解題思路和思維方法上，立幾也可類比平幾。比如平幾中可用面積法證明“三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊距離之和等于定值”。在空間可用體積法證明類似的命題：“正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面的距離之和為定值”。這樣的例子很多，在此不再贅述。

以上是立幾入門教學(xué)的三個中心環(huán)節(jié)，只要教師在平時的教學(xué)工作中幫助學(xué)生過好這三關(guān)，相信立體幾何的學(xué)習(xí)必會取得豐碩的成果。