基于代數(shù)余子式的N-FINDR快速端元提取算法

李 琳孟令博孫 康趙永超

①（中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所 北京 100190）

②（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

基于代數(shù)余子式的N-FINDR快速端元提取算法

李 琳*①②孟令博①②孫 康①②趙永超①

①（中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所 北京 100190）

②（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

基于高光譜圖像特征空間幾何分布的端元提取方法通?？煞譃橥队邦愃惴ê蛦涡误w體積最大類算法，通常前者精度不好，后者計(jì)算復(fù)雜度較高。該文提出一種基于代數(shù)余子式的快速N-FINDR端元提取算法（FCA），該算法融合了投影類算法速度快和單形體體積最大類算法精度高的優(yōu)勢(shì)，利用像元投影到端元矩陣元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的向量上的方法，尋找最大體積的單形體。此外，該算法在端元搜索方面較為靈活，每次迭代都可用純度更高的像元代替已有端元，因此能保證用該端元確定的單形體，可以將特征空間中全部像元包含在內(nèi)。仿真和實(shí)際高光譜數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該文算法在精準(zhǔn)提取出端元的同時(shí)，收斂速度非?？?。

圖像處理；高光譜；端元提取；單形體；體積最大；代數(shù)余子式；投影

1 引言

高光譜遙感圖像空間分辨率通常相對(duì)較低，再加上自然界地物的復(fù)雜性、多樣性，故混合像元普遍存在于高光譜遙感圖像中。而混合像元的存在正是像元級(jí)遙感分類和面積測(cè)量精度難以達(dá)到使用要求的主要原因。因此，光譜解混是分析高光譜圖像的關(guān)鍵所在［1］。在光譜解混過(guò)程中，端元提取算法可以提取出圖像中只包含一種特征地物的純像元。

常見(jiàn)的端元提取算法通常是在線性混合模型成立條件下［2，3］，基于高光譜圖像特征空間幾何分布的。該幾何分布是指圖像中的像元分布在以端元為頂點(diǎn)的單形體結(jié)構(gòu)中［4］。目前，絕大多數(shù)端元提取算法都致力于尋找單形體的頂點(diǎn)，具體可分為基于特征空間的投影算法和單形體體積最大算法。其中投影算法有：純像元指數(shù)算法（Pixel Purity Index， PPI）［5］，頂點(diǎn)成分分析算法（Vertex Component Analysis，VCA）［6］，正交子空間投影算法（Orthogonal Subspace Projection， OSP）［7］等。這類算法通常將像元投影到一組向量上，位于線段端點(diǎn)的像元是純像元的可能性最大。其優(yōu)點(diǎn)是復(fù)雜度較低，缺點(diǎn)是投影向量的選擇具有一定隨機(jī)性，端元提取的結(jié)果很大程度上依賴于向量的選擇，因此精度不高。而另一類基于單形體體積最大的算法則精度較好。如N-FINDR算法［8］，通過(guò)尋找具有最大體積的單形體來(lái)自動(dòng)獲取圖像中的所有端元，但是其算法復(fù)雜度很高，因而應(yīng)用受到一定限制。故有很多算法對(duì)其改進(jìn)，如單形體增長(zhǎng)算法（Simplex Grow ing A lgorithm， SGA）［9］和基于Householder變換的體積最大算法（Maximum Volume based on Householder Transformation， MVHT）［10］等。盡管SGA和MVHT算法在計(jì)算復(fù)雜度上低于N-FINDR，但是其尋找端元所用的是貪婪算法，即從第1個(gè)初始端元出發(fā)，逐步一個(gè)個(gè)地確定后面的端元，因而這種搜索方法總是做出在當(dāng)前看來(lái)最好的選擇，從局部而非整體考慮結(jié)果。此方法缺點(diǎn)在于一旦端元入選后就不能將其刪除，故容易陷入局部極值。而體積最大算法（New Volum e Form u la for Sim p lex， NVFS）［11］雖然在端元搜索方面和N-FINDR一樣，即：已尋找到的端元仍可被其他像元替代，但是其計(jì)算復(fù)雜度比N-FINDR還高，因此應(yīng)用也受到了一定限制。

由此可知，投影算法雖然復(fù)雜度較低，但精度不高；單形體體積最大算法雖然精度較好，但算法復(fù)雜度較高。所以在此背景下，本文提出一種基于代數(shù)余子式的N-FINDR快速端元提取算法（A Fast endm em ber ex traction m ethod based on Cofactor of a determ inant A lgorithm， FCA）。該算法是對(duì)N-FINDR的改進(jìn)，有如下幾點(diǎn)創(chuàng)新和優(yōu)勢(shì)：首先，F(xiàn)CA本質(zhì)思想是尋找最大體積的單形體，故克服了投影算法精度低的缺點(diǎn)；其次，F(xiàn)CA可將圖像全部像元投影到一個(gè)端元矩陣元素產(chǎn)生的代數(shù)余子式的向量上，故具有投影算法復(fù)雜度低的優(yōu)勢(shì)；最后，在端元搜索方面，F(xiàn)CA采用隨機(jī)搜索算法，所選擇的端元在計(jì)算過(guò)程中可隨時(shí)被其他純度更高的像元替代，故克服了SGA和MVHT采用的貪婪搜索算法的缺點(diǎn)，減少了提取出異常極值的情況。綜上，F(xiàn)CA兼?zhèn)渫队八惴ê蛦涡误w體積最大算法的優(yōu)點(diǎn)，可以高精度高速度地提取出純像元。

2 線性混合模型和N-FINDR算法

2.1 線性混合模型

線性光譜混合模型（Liner M ixture M odel，LMM）假設(shè)：太陽(yáng)入射輻射只與一種地物表面發(fā)生作用，物體間沒(méi)有相互作用。故圖像中任意一個(gè)像元光譜r可以表示為

其中ie為端元光譜，p為圖像中端元個(gè)數(shù)，ic為像元光譜r中每個(gè)端元所占的豐度，n為誤差和噪聲。當(dāng)圖像滿足線性混合模型，且不考慮噪聲影響時(shí)，圖像中的所有像元都被包含在一個(gè)以端元為頂點(diǎn)的單形體中［12］。如圖1所示，2個(gè)波段3個(gè)端元的圖像像元分布在特征空間中以端元為頂點(diǎn)的三角形中。故可通過(guò)尋找構(gòu)成特征空間中最大單形體體積的頂點(diǎn)來(lái)提取端元。N-FINDR即是基于這種思想的端元提取算法。

2.2 N-FINDR算法

N-FINDR通過(guò)計(jì)算式（3）和式（4）來(lái)提取一組端元。

3 FCA算法描述

FCA算法是建立在線性混合模型成立條件下，高光譜圖像特征空間中單形體體積最大的一類方法。本質(zhì)上和N-FINDR原理一樣，但N-FINDR需要大量運(yùn)算，尤其是很多矩陣運(yùn)算需要大量迭代，時(shí)間復(fù)雜度高，不利于工程實(shí)際中對(duì)高光譜圖像的大量處理。本文通過(guò)將圖像所有像元投影到以端元矩陣元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的向量上的方法對(duì)N-FINDR第2種實(shí)現(xiàn)方式進(jìn)行改進(jìn)，使算法在保持端元提取精度的同時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度大大降低。

圖1 2維特征空間下含有3個(gè)端元的圖像像元三角形結(jié)構(gòu)（圖中圓圈“o”代表像元）

3.1 算法原理及步驟

應(yīng)用元素與其代數(shù)余子式乘積之和求行列式det（E）的方法可以降低算法復(fù)雜度。即

由式（6）可知，元素ei，1的代數(shù)余子式的值與ei，1的具體值無(wú)關(guān)，只與ei，1在方陣中的位置有關(guān)。因此，用不同像元代替端元e1，相同位置的元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相同。故可以得到端元e1的p個(gè)元素所在位置對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式向量為

由式（6）可知，M e1對(duì)于端元e1，即第1列的所有元素而言是常量，故可將圖像的N個(gè)像元投影到這一向量上。

圖2 圖像像元在1M e上的投影（圖中圓圈“o”代表像元）

此外，F(xiàn)CA的終止條件和N-FINDR相同，即：當(dāng)兩次迭代得到的最大體積相同時(shí)，算法結(jié)束。這種終止條件保證了在前一次迭代中確定的端元，在下一次迭代過(guò)程中都有可能被其他純度更高的像元替代，避免了如SGA和MVHT算法在確定一個(gè)端元后不可替換的缺點(diǎn)，保證了一直從整體角度考慮問(wèn)題。

3.2 FCA算法步驟

步驟1 根據(jù)虛擬維度（Virtual Dim ensionality，VD）［13］計(jì)算出圖像中的端元個(gè)數(shù)p。

步驟2 初始化方陣E

（1）用PCA等降維方法將原圖像光譜維降到p-1維；

（2）任取降維后圖像中p個(gè)像元的光譜作為e1， e2，…， ep，代入式（3）中矩陣E的第2行至第p行，同時(shí)矩陣E的第1行置1，此時(shí)矩陣E為p階方陣；

（3）設(shè)Vm ax= 0；迭代次數(shù)it= 0。

步驟3 提取端元

（1）方陣E去掉第j列，即第j個(gè)端元光譜向量，得到矩陣M a， j=1，2，…， p；

（2）去掉矩陣M a的第i行，即可得到原方陣E第i行第j列的元素所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的方陣，設(shè)該方陣為M b，階數(shù)為p-1， i=1，2，…， p；

（3）計(jì)算第i行第j列元素所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式：（-1）（i+j）×det（M b）；

（4）分別計(jì)算出第j列每個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的值，得到一個(gè)含有p個(gè)代數(shù)余子式值的行向量；

（5）用該代數(shù)余子式的行向量乘以像元矩陣，即可得到N個(gè)p階方陣行列式的值。N為圖像像元個(gè)數(shù)；

（6）用N個(gè)行列式中絕對(duì)值最大的值對(duì)應(yīng)的像元向量代替矩陣E的第j列，直到j(luò)= p時(shí)結(jié)束；

（7）根據(jù)式（4）計(jì)算出此時(shí)的體積V（ E）；

（8）如果V（ E）＞Vm ax ，則令Vmax=V（ E），it=it+ 1；否則退出循環(huán)，算法結(jié)束。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

4.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

仿真數(shù)據(jù)由已知特定的5種端元光譜和相應(yīng)的豐度矩陣構(gòu)成。端元光譜均從USGS光譜庫(kù)中得到，分別為：A luniteGDS83， CalciteWS272， Desert_ VarnishGDS141， KaoliniteCM 9， Nontronite GDS41，其波段數(shù)為210。豐度矩陣由Dirichlet［5］分布構(gòu)成，滿足豐度非負(fù)與和為1約束［14］。將端元矩陣與豐度矩陣相乘，并加上不同強(qiáng)度的高斯白噪聲，即得到了本實(shí)驗(yàn)所用的仿真數(shù)據(jù)。

試驗(yàn)中參與比較的5種算法為：N-FINDR，SGA， MVHT， NVFS， FCA，均為基于單形體體積最大的端元提取算法。在端元提取的基礎(chǔ)上，利用全約束最小二乘法（Full Constraint Least Square，F(xiàn)CLS）［15］進(jìn)行豐度估計(jì)，最后，通過(guò)分析算法執(zhí)行時(shí)間和端元提取以及豐度估計(jì)的精度綜合評(píng)價(jià)5種算法的性能。

實(shí)驗(yàn)1 算法復(fù)雜度分析

如圖3（a）和圖3（b），當(dāng)像元數(shù)N和端元數(shù)p分別增加時(shí)，NVFS復(fù)雜度最高，F(xiàn)CA比N-FINDR復(fù)雜度低了很多，特別是當(dāng)p逐漸增加時(shí)，N-FINDR和FCA的算法復(fù)雜度差距會(huì)進(jìn)一步加大。此外，在p和N增加的兩種情況下，F(xiàn)CA的算法復(fù)雜度幾乎和MVHT相同，都是最低的。但是實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3將證明，在實(shí)際運(yùn)算中FCA所用時(shí)間要短于MVHT，同時(shí)由于MVHT采用的貪婪搜索算法更容易陷入局部極值，而FCA采用的是隨機(jī)搜索算法，因而FCA往往可以獲得較高的端元提取精度。

實(shí)驗(yàn)2 算法時(shí)間復(fù)雜度實(shí)驗(yàn)

該組實(shí)驗(yàn)分別改變了端元個(gè)數(shù)和像元個(gè)數(shù)，以測(cè)試分析5種算法運(yùn)算時(shí)間。時(shí)間測(cè)試的硬件環(huán)境為：Intel（R）Core（TM）i5-3470， CPU3.20 GHz，W indow s 7， MATLAB R 2010a。

（1）改變仿真數(shù)據(jù)端元個(gè)數(shù)，以測(cè)試不同算法的時(shí)間復(fù)雜度與端元個(gè)數(shù)的關(guān)系。端元個(gè)數(shù)p從2增加到10，均是從USGS礦物光譜庫(kù)中得到，像元個(gè)數(shù)N為5002， SNR為20 dB。

（2）改變仿真數(shù)據(jù)像元個(gè)數(shù)，以測(cè)試不同算法時(shí)間復(fù)雜度與像元個(gè)數(shù)的關(guān)系。像元個(gè)數(shù)N為1002，2002， 3002， 4002， 5002， 6002， 7002，端元個(gè)數(shù)p為8，均是從USGS礦物光譜庫(kù)中得到，SNR為20 dB。

從圖4（a）和圖4（b）中可看出隨著端元個(gè)數(shù)和像元個(gè)數(shù)增加，5種算法的運(yùn)行時(shí)間都在增加，其中FCA時(shí)間最短，幾乎是N-FINDR的百分之一?？梢?jiàn)，應(yīng)用投影思想的FCA的時(shí)間復(fù)雜度要大大優(yōu)于其他4種算法。值得注意的是，實(shí)驗(yàn)1中MVHT與FCA復(fù)雜度幾乎相同，而本實(shí)驗(yàn)中FCA運(yùn)行時(shí)間卻短于MVHT，這主要是因?yàn)閼?yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)這兩種算法時(shí)， MVHT需要用到較多的循環(huán)語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)，而FCA的投影過(guò)程使用矩陣運(yùn)算就可實(shí)現(xiàn)。在MATLAB軟件中，循環(huán)語(yǔ)句的解釋時(shí)間要長(zhǎng)于矩陣運(yùn)算，故FCA在實(shí)際中運(yùn)算速度快于MVHT。

圖3 各種算法的運(yùn)算復(fù)雜度

圖4 不同情況下算法運(yùn)行時(shí)間

圖4 不同情況下算法運(yùn)行時(shí)間

實(shí)驗(yàn)3 算法抗噪聲實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)選取光譜信息散度（Spectral Information D ivergence， SID）［16］和均方根誤差（Root M ean Square Error， RMSE）［3］兩個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量不同噪聲強(qiáng)度下，各算法提取端元的性能。SID用以衡量提取的端元和原端元的相似程度，取其均值作為性能評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，即。RMSE用以衡量原圖像和反混圖像的相似程度，取其均值作為性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即。SID和RMSE的值越低，所比較的兩個(gè)對(duì)象越相似。

實(shí)驗(yàn)中，高斯白噪聲的強(qiáng)度SNR分別為：10 dB，15 dB， 20 dB， 25 dB， 35 dB， 40 dB。端元個(gè)數(shù)p為5，像元個(gè)數(shù)N為2002。為避免誤差，對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行50次實(shí)驗(yàn)，取其均值作為最終結(jié)果。

表1 不同噪聲強(qiáng)度下算法RMSE（×10-2）性能比較

表2 不同噪聲強(qiáng)度下算法SID（×10-3）性能比較

如表1和表2所示，隨著SNR降低，SID和RMSE逐漸增加，即5種算法的精度都在下降。同時(shí)，在不同信噪比條件下，F(xiàn)CA的SID和RMSE值均低于MVHT和SGA， 與N-FINDR相近。說(shuō)明SGA和MVHT所采用的逐一確定端元，并且確定后不再更改的方法不能很好地從整體把握單形體體積最大的思想，所選擇的點(diǎn)有可能為異常極值點(diǎn)。而以FCA為代表的算法，所選擇的端元在運(yùn)算過(guò)程中，隨時(shí)可被能構(gòu)成更大體積的像元代替，更能從整體考慮特征空間中像元的分布情況，更具有靈活性，因此算法精度也更好。

4.2 實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

本節(jié)使用的數(shù)據(jù)是美國(guó)Nevada州南部沙漠地區(qū)的Cuprite數(shù)據(jù)。它是由機(jī)載可見(jiàn)光及紅外成像光譜儀（A irborne V isib le/ In frared Im aging Spectrom eter， AV IRIS）拍攝于1997年6月19日。該數(shù)據(jù)共有224個(gè)波段，波長(zhǎng)范圍為370 nm到2500 nm，光譜分辨率為10 nm。截取原始數(shù)據(jù)中一塊大小為250× 191比較典型的數(shù)據(jù)用于算法實(shí)現(xiàn)［6］。其中波段1～2， 104～113， 148～167， 221～224共36個(gè)波段因?yàn)樾旁氡忍突驗(yàn)樗詹ǘ味灰瞥?，余下?88個(gè)波段用于算法驗(yàn)證。虛擬維度VD估計(jì)的端元個(gè)數(shù)及相應(yīng)的虛警率pf如表3所示，虛警率pf越低，被錯(cuò)判為純像元的可能性越低。但依據(jù)該地區(qū)地物的實(shí)際分布［17］，和相關(guān)文獻(xiàn)資料［10，18］，以及基于不遺漏端元的考慮，本實(shí)驗(yàn)將端元個(gè)數(shù)設(shè)定為18。分別用SGA， MVHT， NVFS， N-FINDR，F(xiàn)CA這5種算法提取出該圖像的18個(gè)端元進(jìn)行豐度反演并重新混合圖像，圖5為用FCA提取的該地區(qū)幾種典型礦物端元的豐度反演結(jié)果。利用豐度反演的結(jié)果初步確定相應(yīng)地物，并與USGS礦物光譜庫(kù)比較，結(jié)果如表4。表中數(shù)值表示光譜相似度，?是光譜角度匹配（Spectral Angle M apper， SAM）和光譜特征擬合（Spectral Feature Fitting， SFF）的加權(quán)平均值，權(quán)重分別為0.6和0.4。此數(shù)值越接近1，說(shuō)明兩個(gè)光譜曲線越相似。表4的最后給出了5種算法求得的光譜相似度的均方根。

圖5 FCA提取的幾種典型礦物端元的豐度反演結(jié)果

表3 虛擬維度VD估計(jì)的端元個(gè)數(shù)及相應(yīng)的虛警率

表4 不同算法提取出的端元光譜與USGS光譜庫(kù)中光譜的相似度比較

表5 算法運(yùn)行時(shí)間（s）

表4中的數(shù)據(jù)表明用FCA算法提取出的端元光譜與USGS光譜庫(kù)中光譜較為相似，其結(jié)果優(yōu)于其他幾種算法。同時(shí)表5列出的算法運(yùn)行時(shí)間表明，F(xiàn)CA算法運(yùn)行速度最快，是N-FINDR的百倍多。綜上，實(shí)際數(shù)據(jù)表明，本論文提出的FCA算法相對(duì)于其他相似算法而言，具有較好的端元提取精度和較快的算法運(yùn)行時(shí)間，可以快速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)高光譜圖像端元提取。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于代數(shù)余子式的N-FINDR快速端元提取算法，簡(jiǎn)稱FCA。該算法通過(guò)尋找在特征空間中最大體積的單形體來(lái)提取端元。在計(jì)算過(guò)程中，F(xiàn)CA可得到一個(gè)代數(shù)余子式構(gòu)成的向量，并能將所有像元投影到這一向量上，從而將復(fù)雜度極高的行列式計(jì)算轉(zhuǎn)化為復(fù)雜度較低的內(nèi)積（投影）運(yùn)算，進(jìn)而得到具有最大體積的單形體。由于FCA將循環(huán)迭代計(jì)算體積的方法改進(jìn)為計(jì)算投影，故FCA具有投影類端元提取算法計(jì)算復(fù)雜度低的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，在端元搜索方面，不同于SGA和MVHT所采用的逐一確定端元并且端元不可更改的方法，F(xiàn)CA所確定的端元都可在下一次迭代過(guò)程中被純度更高的像元替換，故降低了提取出異常極值點(diǎn)的概率，并且保證所確定的端元都是特征空間中由全部像元構(gòu)成的最大體積的單形體頂點(diǎn)。這也是FCA算法保持良好精度的原因。綜上，經(jīng)過(guò)仿真和真實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，F(xiàn)CA算法可以在計(jì)算復(fù)雜度很低的情況下保持很好的端元提取精度，這對(duì)于大數(shù)據(jù)量的高光譜圖像端元提取的快速處理很有意義。

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李 琳： 女，1989年生，博士生，研究方向?yàn)楦?多光譜數(shù)據(jù)優(yōu)化和混合像元分析.

孟令博： 女，1989年生，博士生，研究方向?yàn)楦吖庾V遙感圖像處理和水光譜學(xué).

孫 康： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)楦吖庾V特征提取與高性能計(jì)算.

趙永超： 男，1971年生，研究員，研究方向?yàn)楦吖庾V遙感圖像去噪、大氣糾正和輻射定標(biāo).

A Fast N-FINDR Algorithm Based on Cofactor of a Determ inant

Li Lin①②Meng Ling-bo①②Sun Kang①②Zhao Yong-chao①①（Institute of Electronics， Chinese Academ y of Sciences， Beijing 100190， China）
②（University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China）

Endmember extraction methods based on geometric distribution of hyperspectral images usually divide into pro jection algorithm and the maximum volume formula for sim plex， which the former has lower com putational com p lexity and the latter has better precision. A Fast endm ember extraction m ethod based on Cofactor of a determ inant A lgorithm （FCA） is p roposed. The algorithm combines the two kinds of algorithm s， and which means it has a high speed and accuracy performance for endmember extraction. FCA finds the max volume of simp lex by making pixels p roject to vectors， which are com posed of the cofactors of elements in endmember determ inant. Besides， FCA is flexible in endmember search， for it can use higher purity pixels to rep lace the endm embers extracted in the last iteration， which ensures that all the endmembers extracted by FCA are the vertices of simp lex. The theoretical analysis and experiments on both simulated and real hyperspectral data demonstrate that the proposed algorithm is a fast and accu rate algorithm for endm em ber extraction.

Image p rocessing； Hyperspectral； Endmember extraction； Simp lex； Maximum volume； Cofactor；Pro jection

TP751.1

： A

：1009-5896（2015）05-1128-07

10.11999/JEIT140923

2014-07-15 收到，2014-11-28改回

*通信作者：李琳 linli_iecas8@163.com