重視借題“發(fā)揮” 提高學(xué)生學(xué)習(xí)效能*

●郭建華 孫西洋 (南京市第二十九中學(xué) 江蘇南京 210036)

重視借題“發(fā)揮” 提高學(xué)生學(xué)習(xí)效能*

●郭建華 孫西洋 (南京市第二十九中學(xué) 江蘇南京 210036)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，特別是二輪復(fù)習(xí)．如何合理精選習(xí)題、科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)、通過(guò)習(xí)題教學(xué)提升高三復(fù)習(xí)效益，是每一位高三一線教師認(rèn)真思考的一個(gè)課題．

《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào):教師要讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過(guò)程．而數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)借試題“發(fā)揮”，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置前置問(wèn)題，目的是讓難以解決的問(wèn)題擴(kuò)大其“最近發(fā)展區(qū)”，為順利解題作好鋪墊，為學(xué)生搭建思維的腳手架，讓學(xué)生嘗試成功的喜悅，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，拓展學(xué)生的思維，以此提升高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益．

1 題目展示

圖1

筆者所教的班級(jí)是一個(gè)基礎(chǔ)較好的理科班．筆者先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流成果．

1．1 借答案不同，正本清源

師:好的，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)是怎么得到m+n=2的?

生2:當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)C時(shí)，與邊BC交于點(diǎn)T，T恰好為BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AT，此時(shí)m+n=2．

師:真不錯(cuò)，生2肯動(dòng)腦筋．問(wèn)題是你怎么知道m(xù)+n=2就是最小的呢?還有沒(méi)有比2更小的值呢?

(生2思考了一會(huì)，不知道怎么說(shuō)明2就是最小值．)

師:大家知道系數(shù)λ1，λ2具有什么性質(zhì)嗎?生3:當(dāng) λ1+λ2=1時(shí)，點(diǎn) A，P，B 共線．

師:當(dāng)λ1+λ2≠1時(shí)，點(diǎn)P與直線AB又有什么樣的位置關(guān)系呢?

生3:當(dāng)λ1+λ2越大時(shí)，點(diǎn)P距直線AB的距離越大．

師:你是怎么知道的?

生3:畫草圖，觀察出來(lái)的．

(教師讓其他同學(xué)都動(dòng)手畫草圖，驗(yàn)證該結(jié)論是否正確．)

師:大家能否嘗試證明這個(gè)結(jié)論呢?

(教師巡視，讓學(xué)生自主探究證明其結(jié)論．)

圖2

即x+y＞1．又過(guò)點(diǎn)P有且只有1條直線l與直線AB平行，再利用三角形相似性，易知直線l上每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x+y值均為λ．因此點(diǎn)P距直線AB的距離越大，對(duì)應(yīng)的x+y的值就越大．反之，也成立．

師:很漂亮，請(qǐng)同學(xué)們利用這個(gè)結(jié)論證明哪個(gè)答案是正確的．

于是生4給出其證明過(guò)程:

聯(lián)結(jié)BF，則BC⊥BF，作BF的平行線與以C為圓心的圓相切與于點(diǎn)T(即線段BC的中點(diǎn))，即點(diǎn)P在點(diǎn)T處時(shí)，m+n取得最小值．同理，可求得m+n的最大值為5．

(學(xué)生的疑惑終于解決了，教室里響起了一片掌聲……)

師:下面，請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)一組變式練習(xí)，來(lái)鞏固剛才大家學(xué)習(xí)的成果．

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)以上2道變式訓(xùn)練題均以平面幾何為背景，是融向量與最值為一體的綜合問(wèn)題，難度較大．考慮到幾何圖形的特殊性，恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，以坐標(biāo)系為橋梁，用坐標(biāo)和方程表示其中的幾何元素，再結(jié)合線性規(guī)劃思想，將問(wèn)題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算求解．

1．2 借一題多解，發(fā)散思維

圖5

圖6

解法2(共線向量定理)如圖6所示，設(shè)O為正六邊形的中心，則

1)當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，與邊BC交于點(diǎn)P，點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP，則

解法3(線性規(guī)劃)以正六邊形的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸、AE為y軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè) P(x，y)，易得

令m+n=z，畫出點(diǎn)P滿足的平面區(qū)域，易得m+n的取值范圍是［2，5］．

解法4(參數(shù)方程)建立同解法3的平面直角坐標(biāo)系，易得

點(diǎn)評(píng)此題解法頗多，是一道提高學(xué)生解題能力、拓展學(xué)生思維能力以及值得開(kāi)發(fā)利用的好題．依據(jù)學(xué)生已有的實(shí)際認(rèn)知水平，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思探究，啟迪學(xué)生思維，引發(fā)解題創(chuàng)新．在多種解法的探究中，不僅能讓學(xué)生體驗(yàn)探索的快樂(lè)，而且能使學(xué)生加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．

2 幾點(diǎn)思考

2．1 在交流探究中暴露學(xué)生的思維過(guò)程

葉瀾教授曾說(shuō):“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒(méi)有激情的行程．”課堂教學(xué)過(guò)程是復(fù)雜的、豐富多變的，難免會(huì)遇到超出預(yù)設(shè)方案之外的新問(wèn)題、新想法，教師應(yīng)善待學(xué)生提出的“意外”問(wèn)題，尊重學(xué)生的“話語(yǔ)權(quán)”，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)敢于發(fā)表自己見(jiàn)解、勇于說(shuō)出自己想法的平臺(tái)，適時(shí)調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)方案，為學(xué)生的“動(dòng)態(tài)生成”騰出一片廣闊的空間，并因勢(shì)利導(dǎo)，借題“發(fā)揮”，提升復(fù)習(xí)效益．

2．2 在比較中優(yōu)化學(xué)生的思維能力

只有比較才能辨別優(yōu)劣，只有比較才能使學(xué)生掌握更適合自己的解法．一題多解就是在比較中進(jìn)行的，其目的要明確:不是解法越多越好，而應(yīng)該選擇有助于提升學(xué)生思維能力、培養(yǎng)學(xué)生解題能力的解法．通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可以優(yōu)化學(xué)生的解題思路，從而達(dá)到快速找準(zhǔn)解決問(wèn)題的方法．因此，解法比較可以不斷拓展學(xué)生的思維能力．

本文是江蘇省“十二五”重點(diǎn)資助課題《提高高中生學(xué)習(xí)效能的策略研究》(項(xiàng)目號(hào):2013JK10－Z067)的研究成果之一．