解決型函數(shù)問題的常見錯誤及通用解法

●林逸凡 (吉林大學(xué)附中實驗學(xué)校 吉林長春 130000)

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●林逸凡 (吉林大學(xué)附中實驗學(xué)校 吉林長春 130000)

縱觀近幾年的高考試題，在數(shù)學(xué)高考與高等數(shù)學(xué)的銜接處命制題目已成為高考命題的特色之一，備受高考命題者的青睞.在這樣的一個大背景下，學(xué)生們漸漸也對一些大學(xué)常用的數(shù)學(xué)工具不再陌生.例如，利用極限思想分析函數(shù)圖像或數(shù)列的變化趨勢，利用Jensen不等式解決復(fù)雜函數(shù)的不等式估計問題，利用洛必達法則求極限，利用隱函數(shù)求導(dǎo)求曲線的切線方程，利用二次求導(dǎo)研究函數(shù)凹凸性，等等.

掌握這些數(shù)學(xué)工具對于解決一些難題，特別是高考的壓軸題是有幫助的.然而，由于認知的局限性，很多時候?qū)W生只是會機械地使用，知其然而不知其所以然，容易產(chǎn)生錯誤.以微分中值定理為例：

圖1

如圖1所示：其幾何意義為在區(qū)間[a,b]上至少有一點x0的切線斜率與連接點A(a,f(a)),B(b,f(b))的線段的斜率相等.

微分中值定理對于學(xué)生來說較好理解，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)是連續(xù)并且(一階)光滑的，在高中階段還不能嚴謹?shù)孛枋鲞B續(xù)和(一階)光滑的特性，但是完全可以直觀感受．利用微分中值定理確實可以解決不少問題.

1 例題分析

例1 設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù).證明：

證明 設(shè)f(x)=xr+1(其中x≥1)，根據(jù)微分中值定理得

f(n)-f(n-1)=f′(x0)(n-n+1),

其中x0∈(n-1,n),即

從而

同理可證

如果利用微分中值定理不恰當(dāng)，也會出現(xiàn)比較隱蔽的錯誤，以下面這個例題為例：

1)當(dāng)a≤0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

為了敘述方便，我們對函數(shù)f(x)作一個變換，令g(x)=f(x)-ax，則g′(x)=f′(x)-a，研究的問題等價于：條件“對任意的00”，是否可以推出“對于任意的x>0，均有g(shù)′(x)>0”的結(jié)論？

若“對任意x∈(a,b)，g′(x)>0”，則“y=g(x)在(a,b)上單調(diào)遞增”，需要注意2者并非是充要關(guān)系.即使假設(shè)g′(x)存在，反過來也是不對的：“y=g(x)在(a,b)上單調(diào)遞增且g′(x)存在”，并不一定能夠推出“對任意x∈(a,b)，g′(x)>0”.

函數(shù)g(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間存在點x0，使得g′(x0)=0．

圖2

f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.

2 通法總結(jié)

-q(a)(x2-x1)

3 真題演練

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題第21題

第3)小題)

分析 令g(x)=f(x)-x，則

g′(x)=f′(x)-1，

對任意b>a>0,

變式2 設(shè)定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù)f(x)，若任意x1，x2∈(a,b)，x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間(a,b)上的“平緩函數(shù)”.

1)求證：對任意k∈R，f(x)=x2+kx+14都不是區(qū)間(-1,1)上的“平緩函數(shù)”；

2)若f(x)是定義在R上的“平緩函數(shù)”，且f(x+2)=f(x)(其中x∈R)，求證：對任意x1,x2∈R,x1≠x2,|f(x1)-f(x2)|<1.

分析 1)f(x)=x2+kx+14，假設(shè)f(x)是(-1,1)上的平緩函數(shù)，則對任意x1,x2∈(-1,1)，x1≠x2，不妨設(shè)x1

|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|

等價于x1-x2

令g1(x)=f(x)+x,g2(x)=f(x)-x，則

g1(x1)g2(x2)，

在(-1,1)上，

2)f(x+2)=f(x)，f(x)是周期為2的周期函數(shù)，對任意x1,x2∈R，x1≠x2，f(x2)=f(x1+t)，其中t∈(0,2).因為f(x)是R上的平緩函數(shù)，所以當(dāng)t∈(0,1]時，

|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(x1+t)|<|t|≤1；

當(dāng)t∈(1,2)時，

|f(x1)-f(x2)|= |f(x1+2)-f(x1+t)|<

|2-t|<1.

綜上所述，對任意x1,x2∈R，x1≠x2，|f(x1)-f(x2)|<1.

4 總結(jié)反思