發(fā)現(xiàn)規(guī)律巧解題

魯娟娟

數(shù)學(xué)習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)尋找數(shù)字變化的規(guī)律題，這不僅考察了從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，也考察學(xué)生熟練運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，同時也考察了學(xué)生發(fā)散思維能力。

通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律

例1.有一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3……an滿足以下規(guī)律：a1=[12]，a2=[11-a1]，a3=[11-a2]……an=[11-an]（a≥2且n為正整數(shù)），則a2014= ? ? ? ? ?。

此題學(xué)生易簡單地認為填[11-a2013]，其實這題應(yīng)該有更明確具體的答案，只有深入計算才能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的循環(huán)規(guī)律：a1=[12]，a2=2，a3=-1，a4=[12]，a5=2，a6=-1……每3個數(shù)一循環(huán)，所以2014÷3=671……1，所以a2014=[12]。

利用函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)規(guī)律

例2.如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案，則第6個圖案中有 ? ? ?根火柴棒。

4根 ? ? ? 12根 ? ? ? ? ?24根

第一個圖案4根，第二個圖案12根，第三個圖案24根，通過分析有些數(shù)感較好的學(xué)生可能得到第n個圖案中有2n（n+1）根。但是大多數(shù)學(xué)生都不能發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律，這里有一種通用方法，設(shè)第x個圖案有y根火柴棒，則將（1，4）（2，12），（3，24）分別代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c中時有：

a+b+c=4

4a+2b+c=12

9a+3b+c=24

求得：a=2

b=2

c=0

[∴]y=2x2+2x

再把x=6代入得y=84

此法建立了二次函數(shù)模型，與數(shù)形結(jié)合達到了異曲同工的效果。

注重找相對應(yīng)位置點的規(guī)律

例3.正方形A[1]B[1]C[1]O，A[2]B[2]C[2]C[1]，A[3]B[3]C[3]C[2]……按如圖所示的方法放置，點A[1]，A[2]，A[3]……和點C[1]，C[2]，C[3]……分別在直線y=x+1和x軸上，則點B[6]的坐標是 ? ? ? ? ? ? ?。

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分析B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），B5（31，16），B6（63，32）容易發(fā)現(xiàn)點B的縱坐標依次為20，21，22，23，24，第6個為25=32。只需要再知道點B橫、縱坐標之間關(guān)系就好。

也可以設(shè)點B的橫坐標為x，縱坐標為y，則把（1，1），（3，2），（7，4）代入y=ax2+bx+c中得：y=[12]x+[12]，把y=32代入得x=63。

比較簡潔的循環(huán)規(guī)律

例4.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-3，0），B（0，4），對ΔOAB作連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換，依次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4……則Δ2014的直角頂點的坐標為（8052，0）。

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責任編輯 林云志