☉山東省棗莊市第三中學(xué) 雷春景
抓本質(zhì)巧變換
——由函數(shù)對(duì)稱性簡(jiǎn)解一道高考題
☉山東省棗莊市第三中學(xué) 雷春景
高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題的考查主要有三個(gè)視角.
(1)求函數(shù)的零點(diǎn).也即求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,可以利用公式法、因式分解法、配方法等解決,如果方程中含有參數(shù),需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.
(2)零點(diǎn)所在范圍的判定.此類問題常借助“零點(diǎn)存在定理”——如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,且滿足f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在x0∈(a,b),使得f(x0)= 0,則x=x0就是方程f(x)=0的根.
用零點(diǎn)存在定理可判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在,如果需要進(jìn)一步判斷圖像連續(xù)不斷的函數(shù)的零點(diǎn)是否惟一,可以借助函數(shù)的單調(diào)性,需將判定的區(qū)間劃分為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間逐一判定.一般地,圖像連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有惟一零點(diǎn).
(3)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn),即方程f(x)=g(x)的根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F(x)的圖像不易畫時(shí),可將F(x)分解成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù),即F(x)= f(x)-g(x),利用f(x)與g(x)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))不易具體化或簡(jiǎn)化來(lái)分析它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),常常通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為方程f(t)=0與t=g(x)的根的個(gè)數(shù),再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(t)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及直線y=t與y=g(x)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
本題給出零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)范圍,可將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解.
y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,所以y=f(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4個(gè)不同的解,即函數(shù)y=b與函數(shù)y=f(x)+f(2-x)的圖像有4個(gè)公共點(diǎn),由圖像可知
對(duì)兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱性的考查是高考??碱}型之一,其中主要包括:
(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱;
(2)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)關(guān)于y軸對(duì)稱;
(3)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(2a-x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱;
(4)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)2b-y=f(2a-x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱;
(5)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f-1(x)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
本題通過(guò)觀察所給函數(shù)特征,知函數(shù)g(x)與f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故找到新的求解思路.
運(yùn)用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解此題時(shí)需要弄清如下兩個(gè)問題.
問題1:設(shè)函數(shù)f1(x)與函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,函數(shù)f2(x)與函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,則函數(shù)f1(x)與函數(shù)f2(x)圖像的關(guān)系如下所示.
結(jié)論:當(dāng)a>0時(shí),將函數(shù)f1(x)向右平移2a個(gè)單位與f2(x)重合;當(dāng)a<0時(shí),將函數(shù)f1(x)向右平移2|a|個(gè)單位與f2(x)重合.
問題2:函數(shù)f1(x)與函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,函數(shù)f2(x)與函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,b)對(duì)稱,則函數(shù)f1(x)與函數(shù)f2(x)圖像的關(guān)系如下所示.
結(jié)論:當(dāng)b>0時(shí),將函數(shù)f1(x)向上平移2b個(gè)單位與f2(x)重合;當(dāng)b<0時(shí),將函數(shù)f1(x)向下平移2|b|個(gè)單位與f2(x)重合.
另外,在應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性解題時(shí)還要弄清兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性與一個(gè)函數(shù)自身的對(duì)稱性的區(qū)別.
變式1:兩函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的應(yīng)用例1(2014年高考湖南)已知函數(shù)(fx)(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)的圖像上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),則a的取值范圍是().
解析:依題意,設(shè)存在P(-m,n)在f(x)的圖像上,則Q(m,n)在g(x)的圖像上,則有m2+e-m-1=m2+ln(m+a),2解得即,可得
評(píng)析:已知兩函數(shù)存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),故將其中的一個(gè)函數(shù)沿y軸對(duì)稱后與另外一個(gè)函數(shù)的圖像有交點(diǎn),從而將問題簡(jiǎn)化.
變式2:兩函數(shù)關(guān)于直線的對(duì)稱性的應(yīng)用
例2下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|在其上為增函數(shù)的是().
解析:由兩函數(shù)的對(duì)稱性易知函數(shù)f(x)=ln(2-x)與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,再將y=ln(2-x)在x軸下方的圖像翻折到x軸上方,即得函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|的圖像(如圖3所示).
由圖像易知當(dāng)1≤x<2時(shí),f(x)=|ln(2-x)|是增函數(shù);當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=|ln(2-x)|是減函數(shù).故答案為D.
評(píng)析:充分把握所求函數(shù)與我們所熟悉的函數(shù)y= lnx的關(guān)系,即兩函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,從而利用圖像直觀得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
變式3:互為反函數(shù)的兩函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用
例3如圖4,函數(shù)y=lnx與邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形所圍成的陰影的面積為________.
解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx的圖像與函數(shù)y=ex的圖像關(guān)于正方形的對(duì)角線所在直線y=x對(duì)稱,則所求面積為:
評(píng)析:互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí),將x與y互換即可,如對(duì)于y=ex,將x與y互換,即x=ey,得y=lnx,即為y=ex的反函數(shù).本題中欲直接求y=lnx的原函數(shù)y=xlnx-x較為抽象,利用函數(shù)的對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化為其反函數(shù)y=ex與正方形圍成的面積問題,進(jìn)而簡(jiǎn)潔求解.
例4(2015年高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y=2x+a的圖像關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,且f(-2)+f(-4)=1,則a=().
A.-1B.1C.2D.4
解析:設(shè)A(x,y)是曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn),它關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)是B(-y,-x),可得點(diǎn)B在曲線y=2x+a上,所以-x=2-y+a,即y=a-log2(-x),所以f(x)=a-log2(-x).
再由f(-2)+f(-4)=1,可得a=2.故答案為C.
總之,利用函數(shù)的對(duì)稱性解題時(shí),要準(zhǔn)確識(shí)別變換的類型,充分把握在對(duì)稱變換過(guò)程中的變與不變,進(jìn)而快速、準(zhǔn)確解題.A