探尋以必要條件為突破口的解題途徑

☉湖北省宜昌市一中 吳清華

探尋以必要條件為突破口的解題途徑

☉湖北省宜昌市一中 吳清華

我們知道，如果條件A不具備時(shí)，結(jié)論B一定不能成立（或者說結(jié)論B成立時(shí)，條件A必定具備），那么，條件A就叫做結(jié)論B的必要條件.必要條件不一定能保證結(jié)論成立，但是要想保證結(jié)論成立，就少不了它．?dāng)?shù)學(xué)問題的求解大多追求題設(shè)成立的充要條件，若能緊緊抓住其成立的必要條件，以此為解題的突破口，往往比直接探尋充要條件更方便、更便捷，更容易入手，當(dāng)然也必須驗(yàn)證其充分性.

一、從判別式尋求突破

例1已知集合A={（x，y）|x2+mx-y+2=0}，B={（x，y）| x-y+1=0，0≤x≤2}，若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：本題如果從二次方程的區(qū)間根角度思考，則討論較復(fù)雜，但若先從方程有解的必要條件Δ≥0出發(fā)，將目標(biāo)量m的范圍縮小，再反過來研究范圍的充分性，則求解便順暢通達(dá).

因?yàn)锳∩B≠?，

所以方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一實(shí)數(shù)解.

首先，由Δ=（m-1）2-4≥0，得m≥3或m≤-1.

當(dāng)m≤-1時(shí)，由x1+x2=-（m-1）>0及x1x2=1>0知，方程①有兩個(gè)互為倒數(shù)的正實(shí)根，故必有一根在區(qū)間內(nèi)；

當(dāng)m≥3時(shí)，由x1+x2=-（m-1）<0及x1x2=1>0知，方程只有負(fù)根，不符合要求.

故m∈（-∞，-1］.

二、從值域?qū)で笸黄?/h2>

例2已知函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0），滿足：方程f（x）= x有等根且f（5-x）=f（x-3），是否存在實(shí)數(shù)m，n，使f（x）的定義域?yàn)椋踡，n］時(shí)，值域?yàn)椋踜m，kn］（k為大于1的常數(shù)）？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由.

分析：本題乍一看似乎無從下手，如果分類討論，則要討論多種情況.若注意到我們研究的對(duì)象是二次函數(shù)，題設(shè)中有值域的范圍，因此可從f（x）的值域整體，考慮其滿足的必要條件，從而避免討論.

所以f（m）=km，f（n）=kn，解得m=2（1-k），n=0.

故m，n是存在的.

三、從特殊值尋求突破

例3設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n-1-2an-1（n∈N+）.

（Ⅱ）假設(shè)對(duì)任意n≥1有an>an-1，求a0的取值范圍.

分析：對(duì)于（Ⅱ），可結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論，用作差法將其轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)行求解，但對(duì)冪的演算要求高，一般的同學(xué)會(huì)望而卻步.若注意到題設(shè)成立的必要條件，運(yùn)用特殊值探求a0的范圍，然后證明其充分性，問題便迎刃而解.

解：（Ⅰ）證明略.

（Ⅱ）因?yàn)閍1-a0=1-3a0，a2-a1=6a0，

現(xiàn)證它也是充分條件：

因?yàn)閍n-an-1=3n-1-3an-1

綜合得，使an>an-1（n∈N+）成立的a0的取值范圍為

四、從猜想中尋求突破

例4已知C0：x2+y2=1和C1：=1a>b>0（），那么，當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，對(duì)C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)，與C0外切、與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論.

分析：本問題結(jié)論唯一要找條件，且是充分必要條件，先憑直覺感知平行四邊形是一個(gè)菱形，猜想必要條件，然后再證其充分性.

必要性：易知，圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即菱形中心

假設(shè)結(jié)論成立，則對(duì)點(diǎn)（a，0），有（a，0）為頂點(diǎn)的菱形與C1內(nèi)接，與C0外切，（a，0）的相對(duì)頂點(diǎn)為（-a，0），由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，另外兩個(gè)頂點(diǎn)必在y軸上，為（0，b）和（0，-b），菱形一條邊的方程為，即bx+ay=ab，由于菱形與C0外切，故必有，整理得，必要性得證

同理，點(diǎn)O到QR，RS，SP的距離也為1，故菱形PRQS與C0外切，充分性得證.F