關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中部分知識(shí)點(diǎn)的探討①

陳 茜

(中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙10004)

教學(xué)授課是一個(gè)非常靈活的過(guò)程。教師在講授課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，能夠根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)對(duì)象、課堂氣氛等的需求，及時(shí)引入、總結(jié)一些教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，會(huì)使得教學(xué)課堂更豐富，教學(xué)對(duì)象更受益。為此，我們討論了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

1 函數(shù)極限教學(xué)的調(diào)整

極限概念的教學(xué)是從數(shù)列極限開(kāi)始的［1］。數(shù)列是特殊的函數(shù)，在于它的變量只能取正整數(shù)，所以數(shù)列的極限只討論n 趨于正無(wú)窮時(shí)數(shù)列收斂的情況。但對(duì)于廣義上的函數(shù)來(lái)說(shuō)，除了x →+ ∞，還有x→- ∞，x →∞，x →a，x →a-，x →a+這5 種方式。那么在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的基礎(chǔ)上，再引入函數(shù)極限時(shí)，可首先引入x →+∞時(shí)函數(shù)的極限。原因在于:兩者的自變量都在趨于正無(wú)窮，只要將數(shù)列自變量取離散正整數(shù)的狀態(tài)推廣為連續(xù)狀態(tài)下的正實(shí)數(shù)，就過(guò)渡到了函數(shù)的極限。

但在同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教材［2］中引入函數(shù)極限是從x →a 開(kāi)始的，隨后才是x →∞。這樣就將數(shù)列和函數(shù)在無(wú)窮下的極限聯(lián)系斷開(kāi)，不利于極限概念的深入理解和鞏固。

2 等價(jià)無(wú)窮小替換在冪指函數(shù)極限中的應(yīng)用

對(duì)冪指函數(shù)求極限，除了教材中涉及到的對(duì)數(shù)法、恒等變形法來(lái)求解外，有很多同學(xué)還會(huì)有這樣的疑問(wèn):能否運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替換原理求解，尤其是針對(duì)00的未定式。

實(shí)際上，如果f(x)和g(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x →x0時(shí)，若f(x)→0，g(x)→0 且，則

其實(shí)對(duì)于1∞和∞0這2 種未定式，間接利用上面的結(jié)論同樣可以得到有效的結(jié)論。如:

3 有理函數(shù)積分的常見(jiàn)類(lèi)型

有理函數(shù)分為假分式和真分式2 種情況。假分式一般通過(guò)多項(xiàng)式的除法可化為整式和真分式。所以有理函數(shù)的積分最實(shí)質(zhì)的就是真分式的積分。如果真分式中的分母可以分解因式，真分式必可裂為部分分式之和。最后，真分式的部分分式中只出現(xiàn)和為二次質(zhì)因式)等兩類(lèi)函數(shù)。

在同濟(jì)第6 版高等數(shù)學(xué)有理函數(shù)的積分教學(xué)中［2］，認(rèn)為P1(x)為小于k次的多項(xiàng)式，P2(x)為小于2l次的多項(xiàng)式。我們認(rèn)為這樣的敘述有失嚴(yán)謹(jǐn)性，因?yàn)镻1(x)到底應(yīng)是k -1次的，還是k -2次的，還是……，在解題中學(xué)生無(wú)法清晰把握;對(duì)于P2(x)也是同樣的情況。實(shí)際上將部分分式通分，與原真分式相等下比較分子中x 的冪會(huì)得到:P1(x)應(yīng)是(k-1)次的多項(xiàng)式;P2(x)應(yīng)是(2l-1)次的多項(xiàng)式。對(duì)部分分式中常見(jiàn)的類(lèi)型:

以上為有理函數(shù)積分中常見(jiàn)的三類(lèi)形式。在具體的題解中這幾種形式常常交錯(cuò)出現(xiàn)，使得積分看似繁瑣，但掌握其規(guī)律并多加練習(xí)后就會(huì)得心應(yīng)手。

4 微分方程和重積分對(duì)稱(chēng)性題目的引入

像這樣隱藏初始條件于表達(dá)式中，同時(shí)還先需求導(dǎo)再明了為微分方程的題目，比較少見(jiàn)。如果能在實(shí)際的課堂教學(xué)中提出這樣的題目給學(xué)生思考、求解再總結(jié)，這對(duì)于學(xué)生知識(shí)的聯(lián)系性、思維的發(fā)散性和基礎(chǔ)功的鞏固都非常有利。同樣，在現(xiàn)有的教材中對(duì)于二重積分知識(shí)點(diǎn)的教授沒(méi)有涉及對(duì)稱(chēng)性，但在有些題目中如果利用二重積分的對(duì)稱(chēng)性，勢(shì)必會(huì)做到事半功倍。

由二重積分的對(duì)稱(chēng)性，第二項(xiàng)積分為零(D 關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，f(x，y)= xy 為x 的奇函數(shù))，使得求兩個(gè)積分減化為求一個(gè)積分，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，提高了做題效率。因此，在課堂教學(xué)時(shí)如果能適當(dāng)添加這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并給出幾個(gè)具體的題目練一練，不但能豐富同學(xué)的積分知識(shí)，又可為考研這樣的大型考試添磚加瓦。

［1］劉玉璉，付沛仁．?dāng)?shù)學(xué)分析講義［M］．北京:高等教育出版社，1995．

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)［M］．6 版．北京:高等教育出版社，2008．

［3］陳茜，舒慧穎．淺析冪指函數(shù)的極限問(wèn)題［J］．衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(4):8－9．

［4］郝海龍．考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全(歷年統(tǒng)考真題分類(lèi)訓(xùn)練)［M］．北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2014．