向量在解決有關(guān)“距離”問(wèn)題教學(xué)時(shí)的思考

新疆伊寧市第三中學(xué) 彭吉成

向量在解決有關(guān)“距離”問(wèn)題教學(xué)時(shí)的思考

新疆伊寧市第三中學(xué) 彭吉成

向量在解決有關(guān)“距離”問(wèn)題的優(yōu)勢(shì) ：思路簡(jiǎn)潔,計(jì)算量少。

向量 距離 解題思路

向量是一個(gè)“數(shù)形結(jié)合體”，它在證明“平直關(guān)系”、解決平面或空間中的角的問(wèn)題時(shí)非常簡(jiǎn)便，人教版的教材對(duì)此進(jìn)行了詳盡闡述，但教材對(duì)于用向量解決“距離”的問(wèn)題涉及很少。而向量在解決這些問(wèn)題時(shí)也有獨(dú)到之處，向量知識(shí)在許多國(guó)家的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中早就成了一個(gè)基本的教學(xué)內(nèi)容。

在我國(guó)全面實(shí)施新課程后，向量雖然已進(jìn)入中學(xué)，但仍處于起步的階段。向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，融數(shù)形于一體，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何、立體幾何均占有很重要的地位，有些問(wèn)題用常規(guī)方法解決往往比較繁雜，不妨利用向量簡(jiǎn)化過(guò)程。但實(shí)際情況是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中不會(huì)應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用向量的意識(shí)不強(qiáng)。在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何、立體幾何在后，而且教材中二者知識(shí)整合不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會(huì)應(yīng)用平面向量解決幾何問(wèn)題。正因?yàn)槿绱?，教師自身首先要深入研究這類(lèi)問(wèn)題，通過(guò)教師的引領(lǐng)作用，教會(huì)學(xué)生這樣思考，用這樣的思路解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

本文結(jié)合兩個(gè)具體的實(shí)例予以解釋說(shuō)明向量在解決解析幾何、立體幾何問(wèn)題時(shí)，所展示出的簡(jiǎn)潔之美。

一、向量解決平面內(nèi)點(diǎn)到直線距離的問(wèn)題

示意圖

人教版必修二教材在證明這個(gè)公式時(shí)思路很簡(jiǎn)潔，但繁瑣的計(jì)算令人望而生畏，而向量解決這個(gè)問(wèn)題從思路到運(yùn)算都很簡(jiǎn)潔。

二、向量解決空間中點(diǎn)到直線的距離的問(wèn)題

從一個(gè)具體的例子出發(fā)，其他的各種情況下思路完全相同。需要說(shuō)明的一點(diǎn)是應(yīng)用向量解決問(wèn)題時(shí)，往往首先要建立平面或空間直角坐標(biāo)系，有了向量的坐標(biāo)，向量的威力才能充分地發(fā)揮出來(lái)。

例題：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2, AA1=3,求點(diǎn)A到體對(duì)角線A1C的距離d。

∴λ+4λ-9+9λ=0

由此可見(jiàn)，因?yàn)橄蛄烤哂袔缀涡问胶痛鷶?shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何、立體幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對(duì)向量與幾何結(jié)合考查，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，有效地滲透向量有關(guān)知識(shí)，樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)，那么如何樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)，我認(rèn)為應(yīng)從如下幾點(diǎn)考慮：

1.如何樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)，在教學(xué)中應(yīng)先從學(xué)生熟悉的平面幾何問(wèn)題入手，讓學(xué)生體會(huì)向量的工具性。

2.如何樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)，應(yīng)充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品味、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會(huì)向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識(shí)。

3.如何樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用一些問(wèn)題的結(jié)論，加以引申，使之成為解題方法，體會(huì)向量解題的優(yōu)越性。

4.如何樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)，還應(yīng)該有意識(shí)的要求學(xué)生比較向量方法和傳統(tǒng)方法，到底孰優(yōu)孰劣，一旦學(xué)生體會(huì)到向量簡(jiǎn)潔的優(yōu)勢(shì)，他們就能自動(dòng)形成一種自覺(jué)。

隨著教學(xué)改革的逐步深入，今后對(duì)于向量與其他知識(shí)的綜合考察不僅不會(huì)弱化，而且肯定會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng)，向量作為數(shù)形結(jié)合的有力工具，成為了聯(lián)系眾多知識(shí)的橋梁，因此，向量與三角、解析幾何、立體幾何的教匯仍是今后一段時(shí)間高考命題的必然趨勢(shì)，所以必須高度重視對(duì)向量的復(fù)習(xí)和演練，直到達(dá)到深刻理解、運(yùn)用熟練的境地。

ISSN2095-6711/Z01-2015-08-0140