分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

錢俊

摘 ? ?要： 分類討論是一種重要的邏輯方法，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)思想方法之一.突出考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性，以及認(rèn)識(shí)問(wèn)題的全面性和深刻性，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，能體現(xiàn)“著重考查數(shù)學(xué)能力”的要求.

關(guān)鍵詞： 分類討論 ? ?高中數(shù)學(xué) ? ?教學(xué)應(yīng)用

分類討論是一種重要的邏輯方法，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)思想方法之一.突出考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性，以及認(rèn)識(shí)問(wèn)題的全面性和深刻性，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，能體現(xiàn)“著重考查數(shù)學(xué)能力”的要求.因此分類討論是歷年數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，也是高考的一個(gè)難點(diǎn).

一、解決集合與方程問(wèn)題

例1：已知集合A={x|x■-ax+4=0}，B={x|x■-5x■+2x+8=0}，若A？哿B，求a的取值范圍.

【解】B={-1，2，4}，且A？哿B，則集合A可能是空集、單元素集合和兩個(gè)元素集合，

（1）當(dāng)△=a■-16<0，即-4

（2）當(dāng)△=0，即a=±4時(shí)，由A？哿B得a=4;當(dāng)△>0，即a>4或a<-4時(shí)，A？埭B.

綜上可得，當(dāng)a∈（-4，4]時(shí)，A？哿B.

【注】此題研究對(duì)象是一元二次方程x■-ax+4=0的根的判別式△，分成大于零，小于零和等于零這三種情況，這種分類符合同一性原則，沒有遺漏任一情況.

二、解決函數(shù)與不等式問(wèn)題

例2：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax■+2x-3-a，如果函數(shù)y= ?f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解】若a=0，則f（x）=2x-3=0時(shí)，解得x=1.5∈[-1，1]，所以a≠0.

當(dāng)a≠0時(shí)，若△=0，即拋物線與x軸有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)：

-1≤-■≤12■-8a（-3-a）=0解得-2≤■≤2a■=■，a■=■，則a=■.

當(dāng)拋物線與x軸在[-1，1]上有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)：

f（-1）·f（1）≤0，即（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5.

因?yàn)楫?dāng)a=5時(shí)，△=2■-8×5×（-3-5）=324>0，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以1≤a≤5符合要求.

當(dāng)拋物線與x軸在[-1，1]上有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)：

Ia>0-1<-■<1f（-1）≥0f（1）≥0△>0或Ⅱa<01<-■<1f（-1）≤0f（1）≤0△>0，解Ⅰ得：a≥5，解Ⅱ得：a<■.

綜上，a的取值范圍是（-∞，■]∪[1，+∞）.

【注】題目敘述雖然簡(jiǎn)短，但是對(duì)考生的思維深刻和嚴(yán)謹(jǐn)性要求很高.既考查分類討論的思想方法，又考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，利用圖形的直觀性是指導(dǎo)分類的依據(jù).

三、解決數(shù)列問(wèn)題

例3：在數(shù)列{a■}中，a■=2，a■=λa■+λ■+（2-λ）2■（n∈N■），其中λ>0.求數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和S■.

【解】由a■=λa■+λ■+（2-λ）2■（n∈N■），λ>0，可得■-（■）■=■-（■）■+1，所以{■-（■）■}為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故■-（■）■=n-1，所以數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式為a■=（n-1）λ■+2■.

設(shè)T■=λ■+2λ■+3λ■+…+（n-2）λ■+（n-1）λ■，①

λT■=λ■+2λ■+3λ■+…+（n-2）λ■+（n-1）λ■，②

當(dāng)λ≠1時(shí)，①式減去②式，

得T■=■-■

=■.

這時(shí)數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和S■=■+2■-2.

當(dāng)λ=1時(shí)，T■=■.這時(shí)數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和S■=■+2■-2.

【注】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，由于公比的取值不同而需要分類討論。

通過(guò)上面例題分析我們可看出運(yùn)用分類討論的思想解題的基本步驟：（1）確定討論對(duì)象和確定研究的全域;（2）對(duì)所討論的問(wèn)題進(jìn)行合理的分類;（3）逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決;（4）歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論.

總之，在教學(xué)中要注重分類討論思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想的過(guò)程中，要充分挖掘教材內(nèi)容，“授之以魚，不如授之以漁”，只有方法的掌握、思想的形成，才能使學(xué)生受益終生.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐望斌.對(duì)解題教學(xué)中分類討論思想方法的探討.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（04）.