層狀場(chǎng)地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下三維地震響應(yīng)分析

（1.天津大學(xué)土木工程系，天津300072；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（天津大學(xué)），天津300072）

層狀場(chǎng)地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下三維地震響應(yīng)分析

巴 振 寧1，2，梁 建 文1，2

（1.天津大學(xué)土木工程系，天津300072；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（天津大學(xué)），天津300072）

采用以移動(dòng)斜線荷載動(dòng)力格林函數(shù)為基本解的2.5維間接邊界元方法求解了層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)斜入射Rayleigh波的三維散射問題。方法將總波場(chǎng)分解為自由波場(chǎng)和散射波場(chǎng)，自由波場(chǎng)是通過將層狀場(chǎng)地三維精確動(dòng)力剛度矩陣行列式取為零形成頻散方程，采用搜索迭代方法求得頻散曲線，進(jìn)而求得自由波場(chǎng)。散射波場(chǎng)則通過施加在凹陷表面各離散斜線單元上的虛擬移動(dòng)均布斜線荷載產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)來模擬，虛擬荷載的密度可通過凹陷表面的零應(yīng)力邊界條件建立方程求得。通過與二維散射結(jié)果的比較驗(yàn)證了方法正確性，并以均勻場(chǎng)地和基巖上單一土層場(chǎng)地中凹陷地形為模型，分別在頻率和時(shí)域內(nèi)進(jìn)行了計(jì)算分析，研究了Rayleigh波斜入射下凹陷地形周圍三維散射的基本規(guī)律。研究表明凹陷地形對(duì)Rayleigh波的三維散射取決于凹陷的界面形狀、斜入射角度、入射頻率以及層狀場(chǎng)地的頻散和多模態(tài)特性，層狀場(chǎng)地中存在Rayleigh的高階模態(tài)在某些頻率處的位移幅值會(huì)顯著大于其他模態(tài)及均勻場(chǎng)地位移幅值的現(xiàn)象。

凹陷地形；Rayleigh波；三維散射；層狀場(chǎng)地；格林函數(shù)

引 言

局部地形對(duì)地震動(dòng)的幅值及其空間分布有著顯著影響，這已在多次的強(qiáng)震觀測(cè)和震害調(diào)查中得以證實(shí)。同時(shí)近年來在中國(guó)長(zhǎng)大橋梁、超高大壩及高速鐵路等大型重要工程不斷涌現(xiàn)，其中許多工程位于場(chǎng)地條件復(fù)雜的高烈度地震區(qū)，這些工程的規(guī)劃建設(shè)及抗震設(shè)防亟需精確可靠的設(shè)計(jì)地震動(dòng)參數(shù)，因此研究局部地形對(duì)地震動(dòng)的影響有著顯著的理論意義和工程參考價(jià)值。

凹陷地形作為常見的局部地形，其對(duì)地震波的散射問題是一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題，自Trifunac［1］開創(chuàng)性地給出了凹陷地形對(duì)SH波的散射解析解后，諸多學(xué)者針對(duì)該問題進(jìn)行了研究?，F(xiàn)有研究包括凹陷地形對(duì)SH波的二維平面外散射［1-4］，凹陷地形對(duì)P，SV和Rayleigh波的二維平面內(nèi)散射［5-14］，二維凹陷地形對(duì)斜入射地地震波的三維散射［15-19］和三維凹陷地形對(duì)地震波的散射［20-24］。

地震波包括在地球內(nèi)部傳播的體波（SH，P和 SV）和沿地表傳播的面波。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)，相對(duì)于體波，面波振幅較大，波長(zhǎng)較長(zhǎng)，攜帶能量較多，是造成震害的主要原因。然而分析以上文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，關(guān)于凹陷地形對(duì)地震波散射的研究主要是針對(duì)體波，關(guān)于面波散射的研究非常有限，尤其是層狀場(chǎng)地Rayleigh波的傳播存在頻散和多模態(tài)特性，目前鮮有研究，僅文獻(xiàn)［6］針對(duì)層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)Rayleigh波的二維散射給出了少量結(jié)果，關(guān)于層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)斜入射Rayleigh波的三維散射，則至今未有研究。

針對(duì)上述問題，本文考慮天然土體成層特性，同時(shí)考慮Rayleigh波斜入射下凹陷地形的三維地震反應(yīng)特性，在文獻(xiàn)［25］給出層狀場(chǎng)地三維精確動(dòng)力剛度矩陣的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)層狀半空間中移動(dòng)斜線荷載動(dòng)力格林影響函數(shù)，并以該格林函數(shù)為基本解，建立一種新的2.5維間接邊界元方法求解了層狀場(chǎng)地中凹下地形對(duì)斜入射Rayleigh波的三維散射。該方法的特色在于荷載可直接加在邊界上而不會(huì)引起奇異性，保證了該方法的精度及對(duì)復(fù)雜邊界條件的適應(yīng)性，同時(shí)采用層狀半空間動(dòng)力格林函數(shù)，求解當(dāng)中無(wú)須離散自由地表和土層交界面，最大限度降低了求解的自由度。

1 計(jì)算模型和相應(yīng)公式

如圖1所示，截面形狀沿y軸保持不變的無(wú)限長(zhǎng)凹陷地形位于層狀半空間中。層狀半空間有任意層相互平行的水平土層和下臥彈性基巖組成。入射波為Rayleigh面波，相速度速為ca，圓頻率為ω，入射方向與y軸成夾角為ψ（ψ=90°為垂直入射，對(duì)應(yīng)二維散射情況）。在隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化的Rayleigh波斜入射下，由于入射方向與凹陷地形軸線不垂直，凹陷地形周圍的地震反應(yīng)是三維的，但該三維地震反應(yīng)在凹陷地形的任意兩個(gè)截面上完全相同，僅因沿y軸的位置不同而相差一個(gè)相位，因此可僅取一個(gè)截面進(jìn)行離散求解，得到計(jì)算截面產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)后，其余截面產(chǎn)生動(dòng)力響應(yīng)，可依據(jù)其位置和Rayleigh波視速度，通過將計(jì)算截面動(dòng)力響應(yīng)偏移相應(yīng)相位得到，最后將所有截面結(jié)果求和，也即沿凹陷地形軸線將所有截面動(dòng)力響應(yīng)積分，求得最終問題的解。

圖1 層狀場(chǎng)地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下示意圖Fig.1 The model of a canyon cut in a layered half-space for obliquely incident Rayleigh waves

在具體求解時(shí)，為方便求解，將總波場(chǎng)分解為自由波場(chǎng)和散射波場(chǎng)。對(duì)于自由波場(chǎng)（無(wú)凹陷地形存在），首先通過將層狀場(chǎng)地三維精確動(dòng)力剛度矩陣取為零，建立層狀場(chǎng)地Rayleigh波傳播的頻散方程，然后搜索迭代方法求得層狀場(chǎng)地Rayleigh波頻散曲線，進(jìn)而求得自由波場(chǎng)；對(duì)于三維散射波場(chǎng)，為了達(dá)到僅選擇一個(gè)截面進(jìn)行離散求解的目的，本文通過施加在沉積邊界上的一組移動(dòng)斜線荷載產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)分別模擬散射波場(chǎng)，移動(dòng)斜線荷載動(dòng)力響應(yīng)實(shí)際上模擬了對(duì)所有截面的計(jì)算，這種方法也被稱作移動(dòng)格林函數(shù)方法；移動(dòng)斜線荷載的密度可通過相應(yīng)邊界條件求得，最后疊加自由場(chǎng)波場(chǎng)和散射波場(chǎng)得到總波場(chǎng)，便可求得層狀半空間中凹陷地形對(duì)斜入射Rayleigh波的三維散射解答。

1.1 自由波場(chǎng)求解

由于Rayleigh波在層狀場(chǎng)地中的傳播存在頻散和多模態(tài)特性，求解自由波場(chǎng)的關(guān)鍵便是求解層狀場(chǎng)地中Rayleigh各階模態(tài)的頻散曲線。本文首先建立層狀場(chǎng)地的三維精確動(dòng)力剛度矩陣，然后令其行列式為零求得頻散方程，再由搜索迭代法求得各階模態(tài)下頻率-視速度的關(guān)系曲線。為此首先介紹層狀場(chǎng)地三維精確動(dòng)力剛度矩陣。頻域內(nèi)位移u（x，y，z）eiωt，ν（x，y，z）eiωt和w（x，y，z）eiωt表示的動(dòng)力平衡方程為

式中ω為圓頻率，λ*=λ［1+2isgn（ω）ζ］和μ*=μ［1+2isgn（ω）ζ］為復(fù)Lamb常數(shù)。λ和μ為材料給的2個(gè)Lamb常數(shù)，ζ為滯洄阻尼比。U=｛u，ν，w｝T為位移向量。假定土體中標(biāo)量波（縱波）和矢量波（橫波）的勢(shì)函數(shù)分別為φ和ψ，由Helmholtz定理，土體中的位移滿足下式

將式（2）代入式（1），可求得勢(shì)函數(shù)φ和ψ的表達(dá)式，將勢(shì)函數(shù)ψ進(jìn)一步分解成勢(shì)函數(shù)ψ1和ψ2，這樣可以假定任一土層中都包含上行波勢(shì)函數(shù)φ1，ψ11，ψ12和下行的波勢(shì)函數(shù)φ2，ψ21，ψ22。將上行波和下行波勢(shì)函數(shù)表達(dá)式帶回式（2），可得任一土層上下表面處的位移與6個(gè)勢(shì)函數(shù)幅值之間的關(guān)系。土層上下表面處僅有應(yīng)力τzx，τzy和σz，由本構(gòu)關(guān)系同樣可求得土層上下界面處6個(gè)應(yīng)力與6個(gè)勢(shì)函數(shù)幅值之間的關(guān)系，再令土層上表面處外荷載幅值=-，=-和=-，土層下表面處外荷載幅值ˉPx2=，=和=，則可得到土層上下表面處外荷載幅值與6個(gè)勢(shì)函數(shù)間的關(guān)系式。將勢(shì)函數(shù)的幅值消去，便可求得土層上下表面的外荷載與位移幅值間的關(guān)系間矩陣，即土層三維動(dòng)力剛度矩陣SLP-SV-SH。對(duì)于基巖半空間，由于Sommerfeld輻射條件僅包含下行的波勢(shì)函數(shù)，采用同樣思路可求得基巖半空間剛度矩陣SRP-SV-SH。剛度矩陣的具體元素及更為詳細(xì)的求解過程可參考文獻(xiàn)［25］。

集整各土層剛度矩陣SL，jP-SV-SH（j=1，2…，N）和下臥基巖半空間動(dòng)力剛度矩陣SRP-SV-SH，可得層狀場(chǎng)地的整體動(dòng)力剛度矩陣SP-SV-SH，這樣層狀場(chǎng)地的離散動(dòng)力平衡方程可表示為式中和為地表及各土層交界面處的位移幅值xjyj和（j=0，1，2，…，N）為施加在地表及各土層交界面處的外荷載幅值。

對(duì)于入射Rayleigh面波，荷載向量為零，令式（3）中SP-SV-SH的行列式為零則可得到頻散方程，它確定了不同振型的相速度ca與頻率ω的關(guān)系ca（ω）。由行列式為零求得的頻散方程是超越的，需采用搜索迭代法進(jìn)行求解。對(duì)于第1階模態(tài)，無(wú)截止頻率問題，初始相速度為ca=為下臥基巖半空間Rayleigh波速），增大ω的同時(shí)減小ca，通過牛頓 迭代法使|SP-SV-SH|=0，求得相應(yīng)的ca（ω），即為第1階模態(tài)的頻散曲線。對(duì)除第1階模態(tài)以外的模態(tài)則存在截止頻率問題，首先令其初始相速度ca=（為下臥基巖半空間剪切波速），并令ω由小到大進(jìn)行搜索，每出現(xiàn)一次|SP-SV-SH|=0，即求得某一階模態(tài)的截止頻率，然后對(duì)每一階模態(tài)，增大ω的同時(shí)減小ca，通過牛頓迭代法使|SP-SV-SH|=0，求得相應(yīng)的ca（ω），即為該階模態(tài)的頻散曲線。對(duì)所有模態(tài)采取同樣的計(jì)算，即可求得所有模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻散曲線，也即頻散曲線族。具體可參考文獻(xiàn)［27］。

求得各階模態(tài)的頻散曲線后，將成對(duì)的（ω，ca（ω））代入整體剛度矩陣SP-SV-SH，可求得相應(yīng)的特征向量，即為位移幅值向量｝T，然后針對(duì)任一土層，由文獻(xiàn)［25］中式（8a）可求得相應(yīng)土層內(nèi)上下行波的幅值系數(shù)，進(jìn)而可求得該土層內(nèi)任意位置的位移和應(yīng)力幅值，即為Rayleigh波入射下層狀場(chǎng)地的自由波場(chǎng)。

1.2 散射波場(chǎng)模擬

對(duì)于由于凹陷地形的存在引起的三維散射波場(chǎng)，通過層狀場(chǎng)地中移動(dòng)斜線荷載動(dòng)力格林影響函數(shù)來模擬。圖2給出了作用在x，y和z方向的移動(dòng)均布荷載。由于荷載僅作用在部分土層上，在荷載的上下節(jié)點(diǎn)處引入附加交界面。首先假定作用荷載的土層固定在2個(gè)交界面上，計(jì)算滿足條件的相應(yīng)反力（外力）這個(gè)分析僅在作用荷載土層上進(jìn)行。然后將反力以相反方向作用到整個(gè)層狀場(chǎng)地上，由直接剛度法求解其動(dòng)力響應(yīng)。最后疊加上述兩個(gè)結(jié)果得到總反應(yīng)。

圖2 層狀場(chǎng)地中移動(dòng)斜線均勻荷載動(dòng)力格林函數(shù)求解示意圖Fig.2 Diagram for solving Green′s functions of moving distributed loads acting on an inclined line

假定沿y軸正方向以速度c移動(dòng)荷載可表示為

式中px0，py0和pz0為沿x，y和z方向的均布荷載密度，θ（0°＜θ＜180°）為斜線與水平方向的夾角，δ為狄拉克函數(shù)。采用傅里葉變換將荷載變換到頻率-波數(shù)域中后，荷載幅值可表示為

設(shè)位移u，ν和w在在頻率-波數(shù)域內(nèi)的形式為

式中p=｛px0，py0，pz0｝T為荷載向量。假定方程（7）的特解（以上標(biāo)“p”表示）如下式所示

將式（8）代入式（7），可得關(guān)于系數(shù)a1，a2和a3的表達(dá)式

矩陣A的具體元素見文獻(xiàn)［26］，求解式（9）可得系數(shù)a1，a2和a3，再將其反代回式（8），并令z=0和z=d，可得固定土層上下表面處的位移特解和，進(jìn)而可求得固定土層上下表面處的反力特解

疊加特解固定斷面處特解反力和齊解反力并取負(fù)號(hào)，可得作用于層狀場(chǎng)地的總外荷載為

將式（11）代入式（3），可求得任意土層上下表面的位移幅值，再由式（2a）可求得土層內(nèi)上下行波的幅值系數(shù)Aj，Bj，Cj，Dj，Ej和Fj（j=1，2，…，N），進(jìn)而由式（2a）和（2b）可求得層狀場(chǎng)地任意點(diǎn)的位移和應(yīng)力幅值。

上述計(jì)算過程是在波數(shù)域內(nèi)進(jìn)行的，空間域內(nèi)結(jié)果可以通過傅里葉逆變換來完成

其中，k＇y=ω/c（kx，k＇y，z，ω）為波數(shù)域中位移或應(yīng)力幅值，F(xiàn)（x，y，z，ω）為空間域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)，也即所求移動(dòng)均布斜線荷載動(dòng)力格林影響函數(shù)。

求得移動(dòng)均布斜線荷載動(dòng)力格林函數(shù)后，散射波場(chǎng)便可通過分別施加的虛擬移動(dòng)斜線荷載產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)來模擬。移動(dòng)速度由圖1和文獻(xiàn)［27］知為Rayleigh波沿y軸的視速度c=|ca|2/（Re（ca）· cosψ）。這樣散射波場(chǎng)產(chǎn)生的位移和應(yīng)力可分別表示為：

式中g(shù)u（S）和gt（S）為位移和應(yīng)力格林函數(shù)。txg，tyg和tzg表示沿坐標(biāo)x，y和z方向的應(yīng)力。｛px，py，pz｝T為求解散射波場(chǎng)而施加在凹陷邊界上的荷載向量。

1.3 邊界條件

凹陷表面S上零應(yīng)力邊界條件可表示為

式中 ［txf（s），tyf（s），tzf（s）］T為自由場(chǎng)應(yīng)力向量，W（s）為權(quán)函數(shù)矩陣，可取為單位矩陣，使積分在每個(gè)單元上都能獨(dú)立進(jìn)行。將式（13）代入式（14）可得

由式（15）可求得｛px，py，pz｝T，將其代入式（13）可求得散射波場(chǎng)。最后疊加散射波場(chǎng)和自由波場(chǎng)，可求得位移幅值

上述給出的是頻域內(nèi)的三維動(dòng)力響應(yīng)解答，對(duì)于時(shí)域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)可由傅里葉逆變換求得

2 方法驗(yàn)證

以層狀半空間中凹陷地形對(duì)Rayleigh的二維散射結(jié)果來驗(yàn)證本文方法的正確性。本文方法在ψ=90°時(shí)即可退化為二維解答。圖3給出了本文結(jié)果與文獻(xiàn)［6］給出二維散射結(jié)果的比較?；鶐r上單一土層中梯形凹陷如文獻(xiàn)［6］中圖4所示。基巖與土層剪切波速比為cRS/cLS=2.0，密度比為ρR/ρL= 1.0，基巖與土層泊松比均為νR=νL=1/3，基巖阻尼比為ζR=0.02，土層阻尼比為ζL=0.05，入射Rayleigh波水平位移幅值u0=0.5，無(wú)量綱頻率η=ωL/πcLS。圖3中第1模態(tài)為對(duì)應(yīng)相同頻率相速度最小模態(tài)，第2模態(tài)為相應(yīng)相速度次之模態(tài)。從圖3中可以看出，無(wú)論是第1模態(tài)在頻率為η=2.0時(shí)的位移幅值，還是在第2模態(tài)η=4.0時(shí)的位移幅值，本文結(jié)果均與文獻(xiàn)［6］結(jié)果吻合良好，說明了本文方法的正確性。

圖3 本文結(jié)果與文獻(xiàn)［6］給出二維散射結(jié)果的比較Fig.3 Comparisons of results obtained by the present method with those of article［6］

3 算例與分析

3.1 頻域結(jié)果

為研究入射角度的影響，以均勻半空間中半橢圓凹陷地形為例，模型如圖4（a）所示，圖5給出了Rayleigh波斜入射下凹陷周圍地表位移幅值。均勻場(chǎng)地泊松比為ν=1/3，阻尼比為ζ=0.01。橢圓凹陷的短軸與長(zhǎng)軸之比為h/a=0.5。入射角度分別為ψ=0°，45°和90°。定義無(wú)量綱頻率為η=2a/λs=ωa/（πcS），其中λs和cS為剪切波波長(zhǎng)和波速。計(jì)算參數(shù)為η= 0.5，1.0和2.0。圖中u，ν和w分別為x，y和z方向的位移幅值，而u0和ν0為相應(yīng)的自由場(chǎng)位移幅值。

圖4 半橢圓凹陷模型Fig.4 Model of semi-elliptical canyon

從圖5中可以看出，入射角ψ=0°（波沿y軸入射）時(shí)，位移幅值關(guān)于凹陷軸線對(duì)稱分布，x方向位移僅來自于散射波場(chǎng)，幅值較小，y和z方向位移幅值空間分布較為簡(jiǎn)單，且?guī)缀醪皇茴l率的影響；ψ=90°時(shí)，波入射方向與凹陷軸線垂直，本文結(jié)果退化為二維情況，此時(shí)無(wú)沿y方向位移幅值，x方向位移幅值在凹陷左交點(diǎn)附近顯著放大，η=2.0時(shí)達(dá)到2.54；比較ψ=45°與ψ=90°的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩者的位移幅值最大值在x和z方向上均較為接近，但ψ=45°入射下同時(shí)帶來了較大的y方向水平位移幅值；另外凹陷左側(cè)位移幅值在空間分布上差異較大，ψ=45°對(duì)應(yīng)空間分布較ψ=90°時(shí)要簡(jiǎn)單，說明入射角度越大，凹陷左側(cè)波含較多的高頻成分。以上分析表明Rayleigh波入射角度對(duì)位移幅值有著顯著的影響，同時(shí)也說明凹陷地形對(duì)Rayleigh波二維散射（ψ=90°）和三維散射（ψ=0° 和45°）有著明顯的差異。從圖中還可以看出，由于凹陷地形對(duì)Rayleigh波傳播的“屏障”效應(yīng)，波入射一側(cè)地表位移幅值較大，空間分布較為復(fù)雜。隨著入射頻率的增大，波入射一側(cè)位移幅值振蕩更為復(fù)雜。

為研究截面形狀對(duì)地震效應(yīng)的影響，以均勻半空間上三角、梯形和半橢圓三種截面凹陷為例，圖7給出了入射頻率η=0.5，1.0和2.0時(shí)凹陷周圍地表位移幅值的比較。模型如圖4（a）和圖6所示。三種截面深度均為h/a=0.5，對(duì)梯形截面，底部寬度b/a=0.5。入射角度取為ψ=45°。均勻場(chǎng)地參數(shù)以及無(wú)量頻率的定義方式均同圖5。

從圖7中可以看出，三角、梯形和半橢圓對(duì)應(yīng)的最大位移幅值依次增大，這種現(xiàn)象隨著入射頻率的增大更為明顯，如三角、半橢圓和梯形x方向最大位移幅值在η=0.5時(shí)分別為1.40，1.49和1.54，η=1.0時(shí)分別為1.52，1.81和1.87，η=2.0時(shí)分別為1.43，2.25和2.63。同時(shí)，對(duì)應(yīng)三種截面情況，凹陷左側(cè)位移存在相位偏移，三角、梯形和半橢圓對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)依次增長(zhǎng)。另外發(fā)現(xiàn)梯形和半橢圓對(duì)Rayleigh波的隔振效果要強(qiáng)于三角形情況，這種現(xiàn)象也隨著入射頻率增大更為明顯。以上分析說明凹陷左角點(diǎn)的角度越小，也即凹陷左側(cè)越“陡峭”，位移幅值最大值越大，對(duì)Rayleigh的阻礙作用越強(qiáng)。

為研究凹陷深度對(duì)地震效應(yīng)的影響，以均勻場(chǎng)地中三角凹陷為例，圖8給出了入射頻率η=0.5，1.0和2.0時(shí)凹陷周圍地表位移幅值的比較。模型如圖6（b）所示。三種截面深度均為h/a=0.5，1.0 和2.0，入射角度取為ψ=45°。均勻場(chǎng)地參數(shù)以及無(wú)量綱頻率的定義方式均同圖5。

從圖8中可以看出，隨著凹陷深度的逐漸增大，最大地表位移幅值逐漸增大，且這種現(xiàn)象受入射頻率的影響明顯，如h/a=0.5，1.0和2.0三種深度凹陷x方向最大位移幅值在η=0.5時(shí)分別為1.40，1.60和3.16；η=1.0時(shí)分別為1.52，2.29和2.77；η=2.0時(shí)分別為1.43，2.37和3.14。同時(shí)隨著凹陷深度的逐漸增大，凹陷對(duì)Rayleigh的隔振作用越強(qiáng)，這種現(xiàn)象也受入射頻率的影響明顯，如η=2.0時(shí)，h/a=1.0和2.0兩種凹陷的隔振作用基本一致（凹陷右側(cè)位移幅值基本一致），這也說明頻率為η=2.0的Rayleigh在h/a=1.0的深度已經(jīng)衰減到很小。另外還可以從圖中看到較深的凹陷（h/a= 2.0）在Rayleigh波入射下，左側(cè)x方向位移會(huì)出現(xiàn)明顯的駐波現(xiàn)象（位移幅值在某些點(diǎn)位處近似為零，看似始終靜止），且隨著頻率的增大駐波點(diǎn)（位移幅值近似為零點(diǎn)）逐漸增多。

圖5 Rayleigh波入射角度不同情況下凹陷附近地表位移幅值Fig.5 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different incident angles

圖6 梯形和三角形凹陷模型Fig.6 Model of trapezoid and triangle canyons

圖7 Rayleigh波斜入射下不同截面形狀凹陷地形附近地表位移幅值Fig.7 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different canyon cross section

圖8 Rayleigh波斜入射下不同深度凹陷地形附近地表位移幅值Fig.8 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different canyon depth

3.2 層狀半空間結(jié)果

為研究層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)斜入射Rayleigh波的散射以及探討其與均勻場(chǎng)地情況的差異，以基巖上單一土層場(chǎng)地和均勻場(chǎng)地中半橢圓凹陷地形為例。模型如圖4（a）和4（b）所示，橢圓短軸與長(zhǎng)軸之比h/a=0.5。層狀場(chǎng)地中基巖與土層的剪切波速比為cRS/cLS=2.0，質(zhì)量密度比ρR/ρL=1.0，泊松比νR=νL=1/3，基巖阻尼比為ζR=0.02，土層阻尼比為ζL=0.05。土層厚度則取為H/a=1.0和H/a=2.0兩種情況。均勻場(chǎng)地土體泊松比ν=1/3，阻尼比ζ=0.05。Rayleigh波入射角度取為ψ=45°，無(wú)量綱頻率定義為η=2a/λLs=ωa/（πcLS）。由于Rayleigh波在層狀場(chǎng)地中的傳播存在多模態(tài)和頻散特性，采用上述搜索迭代法，圖9給出了兩種不同厚度基巖上單一土層場(chǎng)地Rayleigh波前三階模態(tài)的頻散曲線，包括相速度實(shí)部Re（ca/cLS）、有效阻尼比lm（ca）/ Re（ca）和豎向與水平位移幅值比。

圖9 層狀場(chǎng)地中Rayleigh波的頻散曲線Fig.9 Disperse curves of Rayleigh waves in a layered half-space

圖10 層狀場(chǎng)地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下地表位移幅值（土層厚度H/a=1.0）Fig.10 Surface displacement amplitudes around the canyon of obliquely incident Rayleigh waves（H/a=1.0）

圖10首先給出了土層厚度H/a=1.0場(chǎng)地在頻率η=1.0和2.0時(shí)前三階模態(tài)對(duì)應(yīng)位移幅值，同時(shí)為方便比較，圖10中也包含了相應(yīng)均勻場(chǎng)地結(jié)果。對(duì)應(yīng)不同頻率，前三階模態(tài)Rayleigh波的相速度如圖9所示。比較層狀場(chǎng)地與均勻場(chǎng)地結(jié)果發(fā)現(xiàn)，層狀場(chǎng)地中凹陷周圍地表位移幅值與均勻場(chǎng)地情況存在顯著的差異，這種差異取決于不同頻率處Rayleigh的頻散情況（Rayleigh波的相速度），層狀場(chǎng)地相速度在η=1.0時(shí)的第1模態(tài)和第2模態(tài)以及η=2.0時(shí)的第2和第3模態(tài)，均與均勻場(chǎng)地相速度（均勻場(chǎng)地ca=0.933cS）相差較大，位移幅值相差較大，而層狀場(chǎng)地相速度在η=2.0時(shí)的第1模態(tài)與均勻場(chǎng)地相速度非常接近，位移幅值也非常接近。比較層狀場(chǎng)地不同模態(tài)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，地表位移幅值有著明顯的差異，尤其在η=2.0時(shí)，對(duì)應(yīng)第2模態(tài)的x，y和z方向的位移幅值分別達(dá)到3.19，3.46和4.38，遠(yuǎn)大于其他模態(tài)及均勻場(chǎng)地對(duì)應(yīng)的位移幅值。從圖中還可以看出，對(duì)應(yīng)相同頻率，隨著模態(tài)的逐漸增大，Rayleigh波波速逐漸增大，位移沿深度方向逐漸減慢，層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)Rayleigh波的阻礙作用逐漸減弱。

圖11 層狀場(chǎng)地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下地表位移幅值（土層厚度H/a=2.0）Fig.11 Surface displacement amplitudes around the canyon of obliquely incident Rayleigh waves（H/a=2.0）

圖11進(jìn)一步給出了土層厚度H/a=2.0場(chǎng)地在頻率η=0.5，1.0和2.0時(shí)前三階模態(tài)位移幅值。場(chǎng)地前三階模態(tài)Rayleigh波的相速度如圖9所示。從圖11中結(jié)果看出，在η=1.0時(shí)對(duì)應(yīng)第2模態(tài)的位移幅值顯著大于其他模態(tài)，x，y和z方向的位移幅值分別達(dá)到3.41，4.22和3.84；在η=2.0時(shí)對(duì)應(yīng)第3模態(tài)的位移幅值顯著大于其他模態(tài)，x，y和z方向的位移幅值分別達(dá)到5.32，5.92和8.45；而圖9中η=2.0時(shí)對(duì)應(yīng)第2模態(tài)的位移幅值顯著大于其他模態(tài)。分析以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在給定頻率處，出現(xiàn)位移幅值明顯較大的模態(tài)對(duì)應(yīng)的有效阻尼比較大且大于均勻場(chǎng)地情況，同時(shí)對(duì)應(yīng)的自由場(chǎng)豎向與水平位移幅值比也較大且大于均勻場(chǎng)地情況。以上分析表明，在研究層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)Rayleigh波的散射問題時(shí)，應(yīng)充分考慮該層狀場(chǎng)地Rayleigh的模態(tài)和頻散情況。

3.3 時(shí)域結(jié)果

為研究凹陷地形在Rayleigh波入射下的時(shí)域地震反應(yīng)，以均勻場(chǎng)地和基巖上單一土層場(chǎng)地中梯形凹陷為例，進(jìn)行了Ricker時(shí)程輸入下，凹陷附近地表位移時(shí)程的求解。模型如圖4（a）所示，凹陷深度為h/a=0.5，底部半寬為b/a=0.5?；鶐r上單一土層場(chǎng)地也取為H/a=1.0和H/a=2.0兩種情況。層狀場(chǎng)地和均勻場(chǎng)地參數(shù)同圖9和圖10。地表共81個(gè)觀測(cè)點(diǎn)均勻分布在x從-4a到4a的范圍內(nèi)。輸入Ricker時(shí)程的形式為u（τ）=（-1）·exp，特征頻率定義為ηc=ωa/（πcS）（對(duì)層狀場(chǎng)地ηc=ωa/（πcLS）），計(jì)算中所有情況ηc= 1.5。時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)通過對(duì)頻域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)積分求得。通過對(duì)Ricker輸入波頻譜的分析，計(jì)算中無(wú)量綱頻率范圍為η=0～5.0?？紤]到頻譜的振蕩特性，采用分段高斯積分完成，共取積分點(diǎn)116個(gè)。

圖12首先給出了均勻場(chǎng)地Rayleigh波入射角度為ψ=45°和90°時(shí)凹陷附近地表位移時(shí)程。u，ν和w分別表示沿x，y和z方向的位移時(shí)程序，而u0，ν0和w0分別表示自由場(chǎng)表位移時(shí)程。從圖11中可以看出，由于凹陷地形對(duì)Rayleigh波的散射，使得凹陷左側(cè)位移幅值相對(duì)于自由場(chǎng)有著顯著的放大，這與頻域中結(jié)果一致。但凹陷地形對(duì)Rayleigh波傳播的影響從時(shí)域結(jié)果中可以更為清晰地觀測(cè)到，如ψ=45°時(shí)，Rayleigh首先到達(dá)凹陷左側(cè)x=-4a位置，然后傳播到凹陷左角點(diǎn)（角點(diǎn)1），在凹陷左角點(diǎn)處形成散射Rayleigh波，一部分返回到凹陷左側(cè)x=-4a位置，另一部分沿爬過凹陷表面到達(dá)凹陷右角點(diǎn)（角點(diǎn)2），波在該角點(diǎn)處又產(chǎn)生新的散射Rayleigh波，一部分返回凹陷右側(cè)，一部分繼續(xù)向凹陷右側(cè)繼續(xù)傳播。比較ψ=90°時(shí)凹陷附近地表時(shí)程與ψ=45°度時(shí)程，發(fā)現(xiàn)ψ=90°時(shí)凹陷左角點(diǎn)產(chǎn)生的散射波中除了有Rayleigh波成分外，還有明顯的P波成分，圖11中顯示為P波成分以更快的波速（P波波速大于Rayleigh波波速）先于Rayleigh波返回凹陷左側(cè)地表各觀測(cè)點(diǎn)，同時(shí)P波成分也以更快的速度先于Rayleigh波爬過凹陷表面，傳播到凹陷右側(cè)各觀測(cè)點(diǎn)。以上分析表明Rayleigh波的入射角度對(duì)Rayleigh波在凹陷角點(diǎn)處的波形轉(zhuǎn)換有著顯著的影響，這也說明了在研究凹陷地形對(duì)Rayleigh波散射時(shí)，為使結(jié)果更為精確，應(yīng)充分考慮Rayleigh波入射角度的影響。

圖13進(jìn)一步給出了層狀場(chǎng)地情況（H/a=1.0和H/a=2.0）凹陷附近地表位移時(shí)程，層狀場(chǎng)地的頻散關(guān)系曲線取第1模態(tài)（如圖9所示），u0，ν0和w0仍為自由場(chǎng)位移。比較圖13中層狀情況時(shí)程與圖12中均勻場(chǎng)地情況時(shí)程發(fā)現(xiàn)，層狀場(chǎng)地中時(shí)程與均勻場(chǎng)地情況存在明顯的差異。這是由于層狀半空間中Rayleigh波的傳播存在頻散特性，對(duì)應(yīng)不同頻率，Rayleigh波的相速度不同，尤其在較低頻率時(shí)，Rayleigh波的相速度大于土層對(duì)應(yīng)的Rayleigh波速（也即圖12中均勻場(chǎng)地Rayleigh波速），使得不同頻率的Rayleigh波相互作用，Rayleigh波達(dá)到各觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)間要早于均勻場(chǎng)地情況，同時(shí)土層和凹陷地形的之間存在相互作用，也使得層狀半空間中地表各觀測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程較均勻半空間情況復(fù)雜，在持續(xù)時(shí)間上也更長(zhǎng)，尤其在凹陷表面。比較土層厚度為H/a=2.0的場(chǎng)地與H/a=1.0的場(chǎng)地時(shí)程發(fā)現(xiàn)，由于厚度為H/a= 2.0的場(chǎng)地Rayleigh波相速度隨頻率增加更快地衰減到與土層對(duì)應(yīng)的Rayleigh波相速度，厚度為H/a= 2.0的場(chǎng)地位移時(shí)程與均勻場(chǎng)地情況更為接近。

圖12 均勻場(chǎng)地Rayleigh波斜入射下凹陷附近地表各觀測(cè)點(diǎn)位移幅值時(shí)程Fig.12 Time histories of surface displacement amplitudes for obliquely incident Rayleigh waves in a uniform half-space

圖13 層狀場(chǎng)地Rayleigh波斜入射下凹陷附近地表各觀測(cè)點(diǎn)位移幅值時(shí)程Fig.13 Time histories of surface displacement amplitudes for obliquely incident Rayleigh waves in a layered half-space

4 結(jié) 論

針對(duì)凹陷地形對(duì)Rayleigh波的三維散射問題，建立了以移動(dòng)斜線荷載動(dòng)力格林影響函數(shù)為基本解的2.5維間接邊界元方法進(jìn)行了求解，分別以均勻場(chǎng)地和基巖上單一土層場(chǎng)地給出了頻域結(jié)果和時(shí)域結(jié)果，得到了以下主要結(jié)論。

（1）波的入射角度對(duì)地震反應(yīng)有著顯著的影響，Rayleigh波斜入射時(shí)在平面內(nèi)位移幅值與二維情況較為接近的情況下，同時(shí)帶入了較大的凹陷軸線方向位移幅值。

（2）凹陷的截面形狀對(duì)位移幅值有著明顯的影響，波入射側(cè)凹陷越“陡峭”，位移幅值最大值越大，對(duì)Rayleigh波的阻礙作用越強(qiáng)。隨著凹陷深度的逐漸增大，地表最大地表位移幅值逐漸增大，且深度較大的凹陷，在波入射側(cè)存在明顯的駐波現(xiàn)象。

（3）由于層狀場(chǎng)地中Rayleigh波的傳播存在頻散和多模態(tài)現(xiàn)象，層狀場(chǎng)地中凹陷地形對(duì)Rayleigh波的散射與均勻場(chǎng)地情況有著顯著差異，層狀場(chǎng)地情況，存在Rayleigh波高階模態(tài)在某些頻率處的位移幅值會(huì)顯著大于其他模態(tài)的現(xiàn)象。在時(shí)域內(nèi)由于層狀場(chǎng)地中Rayleigh的頻散，不同頻率的產(chǎn)生波相互作用，使得地表位移時(shí)程在形式上更為復(fù)雜，在持續(xù)時(shí)間上更長(zhǎng)。

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3-D seismic resp onses for oblique incident Rayleigh waves of a canyon cut in a layered half-space

BA Zhen-ning1，2，LIANG Jian-wen1，2
（1.Department of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.Key Laboratory of Coast Civil Structure and Safety（Tianjin University），Ministry of Education，Tianjin 300072，China）

The three-dimensional（3-D）seismic responses of a canyon cut in a layered half-space for oblique incident Rayleigh waves are studied by using the 2.5D indirect boundary element method（IBEM）.The total wave fields are decomposed into the free fields and the scattered fields for convince of calculation.The searching and iteration methods are employed to obtain the dispersion curves by solving the dispersion equation，which is derived by letting the determinants of the 3-D dynamic stiffness matrix of the layered site equal to zero，and then the free fields are obtained by using the direct stiffness method.The scattered fields are simulated by applying a set of virtual uniformly distributed loads on inclined lines，which form the free surface of the canyon.The densities of the virtual loads can be obtained by introducing the boundary conditions on the surface of the canyon. The accuracy of the method is verified by comparing the reduced results of the presented method with those of the published 2-D results，and numerical calculations are performed both in the frequency and in the time domain by taking the canyon cut in a homogenous and layered half-space as models，and the 3-D seismic responses for oblique incident Rayleigh waves are studied. Numerical results show that the 3-D responses highly depend on the cross-section of the canyon，the incident angle，the incident frequency，and in particular，the multi-modal and dispersion characteristics of Rayleigh waves in a layered site，and the displacement amplitudes at some frequencies corresponding to the higher modes can be significantly higher than those of the lower modes and of the homogenous site.

canyon；Rayleigh waves；three-dimensional scatting；layered half-space；Green′s functions

P315.9；TU 311.3

A

1004-4523（2015）05-0809-13

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.017

巴振寧（1980—），男，副教授。電話：13752331405；E-mail：bazhenning-001@163.com

2014-09-16；

015-03-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51578373，51578372）