結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的徑向切比雪夫矩函數(shù)描述研究

姜丹丹，臧朝平

（南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210016）

結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的徑向切比雪夫矩函數(shù)描述研究

姜丹丹，臧朝平

（南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210016）

利用徑向切比雪夫矩函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)振型進(jìn)行描述，從大量的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型數(shù)據(jù)中提取出矩特征值，實(shí)現(xiàn)了對(duì)模態(tài)振型數(shù)據(jù)的壓縮及特征提取，并且利用這些矩特征值可以對(duì)振型圖像進(jìn)行很好的振型重建?；诰靥卣髦档南嚓P(guān)分析，可以描述對(duì)稱結(jié)構(gòu)的重模態(tài)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的 MAC對(duì)于重模態(tài)描述的不足。通過對(duì)圓盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)及有限元仿真計(jì)算，驗(yàn)證了利用徑向切比雪夫矩函數(shù)處理對(duì)稱結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的可行性。結(jié)果表明：利用徑向切比雪夫矩函數(shù)可以很好地描述對(duì)稱結(jié)構(gòu)重模態(tài)的特性，并求得重模態(tài)之間的轉(zhuǎn)角，這對(duì)于進(jìn)一步利用徑向切比雪夫矩進(jìn)行模型修正及模型確認(rèn)有重要的指導(dǎo)意義。

模態(tài)振型；徑向切比雪夫矩；相關(guān)分析；重模態(tài)；特征提取

引 言

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性在模態(tài)域中一般采用固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型來描述。而模態(tài)置信準(zhǔn)則（Modal Assurance Criterion，MAC）［1］常用于評(píng)價(jià)有限元模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與結(jié)構(gòu)模態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的接近程度，即為有限元模態(tài)振型與實(shí)測(cè)振型夾角的余弦值，是確定兩組數(shù)據(jù)模態(tài)對(duì)匹配的有用工具，也是有限元模型修 正與 模型 確認(rèn) 中關(guān) 鍵步 驟［2-3］。由于MAC值將兩組模態(tài)振型數(shù)據(jù)的特征信息相似度只用一個(gè)參數(shù)描述，它的大小受到對(duì)比數(shù)據(jù)點(diǎn)自由度的多少、在結(jié)構(gòu)上的位置等影響。同時(shí)，對(duì)于大型或者復(fù)雜結(jié)構(gòu)，局部或整體的模態(tài)振型的變化，用MAC值進(jìn)行詳細(xì)描述，也存在困難。尤其是隨著現(xiàn)代測(cè)試技術(shù)的發(fā)展，如用連續(xù)激光掃描測(cè)振儀測(cè)量結(jié)構(gòu)模態(tài)，理論上，其測(cè)點(diǎn)可以無限增加，以獲得更加精細(xì)、準(zhǔn)確的測(cè)量數(shù)據(jù)。然而，這些大量的且存在冗余信息的數(shù)據(jù)，僅利用MAC進(jìn)行處理，存在著局限性。實(shí)質(zhì)上，MAC值反映的只是結(jié)構(gòu)模態(tài)振型空間描述點(diǎn)上兩個(gè)數(shù)據(jù)組的簡單對(duì)比。如何從大量振型數(shù)據(jù)中提取出模態(tài)的振型特征，進(jìn)行振型特征間的對(duì)比，更具有應(yīng)用價(jià)值。此外，利用MAC值描述對(duì)稱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)相關(guān)性時(shí)，由于對(duì)稱結(jié)構(gòu)存在兩個(gè)或多個(gè)頻率相近，振型相似但存在一定轉(zhuǎn)角的模態(tài)（重模態(tài)），MAC值對(duì)其相關(guān)分析，也受到限制。

近年，將模態(tài)振型數(shù)據(jù)看作一種圖像，通過圖像模式識(shí)別中的矩函數(shù)提取結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)振型的特征，并進(jìn)行振動(dòng)矩特征相關(guān)分析，以改善MAC值對(duì)振動(dòng)模態(tài)相關(guān)性分析的描述，引起關(guān)注。在國外Wang［4-5］等人首先將Zernike矩函數(shù)、Tchebichef矩函數(shù)成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的特征提取及相關(guān)分析中。利用Zernike矩函數(shù)對(duì)圓盤、矩形板及帶有附加質(zhì)量的圓盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，提取出在各種情況下的Zernike矩特征值，并進(jìn)行基于Zernike矩特征值的相關(guān)性分析；利用Tchebichef矩函數(shù)對(duì)矩形復(fù)合材料夾層面板進(jìn)行了矩特征值提取、相關(guān)分析及模型修正。在國 內(nèi)臧 朝平、劉 銀 超、賈晴 晴［6-9］等也對(duì)Zernike矩函數(shù)、Tchebichef矩函數(shù)進(jìn)行了深入研究，并對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際結(jié)構(gòu)，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤，進(jìn)行了矩特征值的提取、相關(guān)分析及模型修正，將矩函數(shù)成功應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)。在圖像處理領(lǐng)域，Mukundan［10］等在2005年提出徑向切比雪夫矩函數(shù)（Radial-Tchebichef moments，RTMs）的概念，并成功地應(yīng)用于圖像特征提取及其重建，之后改進(jìn)了徑向切比雪夫矩函數(shù)的算法［11］，利用改進(jìn)后的算法對(duì)圖像處理領(lǐng)域中常用的Lenna圖像進(jìn)行矩特征值的提取及圖像重建，結(jié)果表明利用徑向切比雪夫矩函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行重建，利用較少階數(shù)的矩特征值就可以取得很好的圖像重建效果。徑向切比雪夫矩函數(shù)是由一維切比雪夫多項(xiàng)式與三角函數(shù)組合而成，相比于其他矩函數(shù)，具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）核函數(shù)滿足正交性，提取圖像特征時(shí)，不存在數(shù)據(jù)冗余；（2）核函數(shù)為離散函數(shù)，在離散的圖像域內(nèi)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，無需進(jìn)行連續(xù)函數(shù)離散化的數(shù)學(xué)處理，不會(huì)產(chǎn)生由于核函數(shù)為連續(xù)函數(shù)而帶來的離散誤差；（3）滿足旋轉(zhuǎn)不變性，適用于處理圓形結(jié)構(gòu)。本文將徑向切比雪夫矩函數(shù)引入到結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的振動(dòng)模態(tài)振型描述中，通過徑向切比雪夫矩函數(shù)提取振動(dòng)模態(tài)振型的特征信息，進(jìn)而建立基于模態(tài)振型特征信息的矩相關(guān)性判定方法，評(píng)價(jià)有限元模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與結(jié)構(gòu)模態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的接近程度，優(yōu)于結(jié)構(gòu)模態(tài)置信準(zhǔn)則的相關(guān)分析。

本文安排如下：首先，介紹徑向切比雪夫（Radial-Rchebichef，RT）矩函數(shù)描述模態(tài)振型及振型特征提取的方法，將模態(tài)振型表示為基于RT矩函數(shù)的線性組合；同時(shí)，介紹基于模態(tài)振型特征信息的矩相關(guān)性判定方法；然后，以圓盤結(jié)構(gòu)為例，通過有限元仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)的分析，驗(yàn)證了模態(tài)振型RT矩特征值的提取及模態(tài)振型矩相關(guān)性的分析，并得到了圓盤結(jié)構(gòu)重模態(tài)對(duì)間的轉(zhuǎn)角關(guān)系；最后對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)。

1 基于徑向切比雪夫矩函數(shù)的模態(tài)振型描述和矩相關(guān)性

1.1 模態(tài)振型的徑向切比雪夫矩函數(shù)

對(duì)于像素為N×N的圖像，可將其分為個(gè)同心圓，圓的編號(hào)為r，r=0，1，…，-1，每個(gè)同心圓環(huán)內(nèi)所含像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)為mr，假設(shè)每個(gè)圓環(huán)內(nèi)像素點(diǎn)沿周向均勻分布，每個(gè)像素點(diǎn)的角度值θk按下式計(jì)算

則圖像中每個(gè)像素點(diǎn)的極坐標(biāo)值可用 （r，k）表示。圖1為像素值N=10時(shí)的示意圖。其中mr的取值如表1所示。

表1 mr與r的取值關(guān)系Tab.1 The relationship between mrand r

圖1 當(dāng)N=10時(shí)，像素點(diǎn)分布示意圖Fig.1 The distribution of pixels when N=10

結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型可以看作像素為N×N的圖像，如果用ψ（r，k）表示其在極坐標(biāo)下的模態(tài)振型數(shù)據(jù)，則模態(tài)振型圖像的p階q重RT矩Rpq可以表示為

式中tp（r）為一維p階切比雪夫多項(xiàng)式。

其中：

通過RT矩變換，可以從模態(tài)振型數(shù)據(jù)中提取出一系列的RT矩特征值，這些特征值構(gòu)成的模態(tài)振型圖像的RT矩特征集為：

模態(tài)振型圖像的p階q重RT矩Rpq是個(gè)復(fù)數(shù)，若與分別為RT矩的實(shí)部與虛部，其具體表達(dá)式如下

假設(shè)將結(jié)構(gòu)模態(tài)振型圖像繞中心原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度φ，且圖像在旋轉(zhuǎn)過程中保持每個(gè)像素點(diǎn)的振動(dòng)位移值不變，則旋轉(zhuǎn)后振型圖像的p階q重RT矩為

對(duì)于上式的復(fù)數(shù)利用實(shí)部與虛部進(jìn)行表述

Rpq幅值為，可以看出隨著振型圖像的旋轉(zhuǎn)其幅值不變化，即，也就是說模態(tài)振型圖像的RT矩具有旋轉(zhuǎn)不變性。且模態(tài)振型的旋轉(zhuǎn)角度可以利用下式得到

此特征，可以用于有效求解對(duì)稱結(jié)構(gòu)的相近模態(tài)（重模態(tài)）的轉(zhuǎn)角。

1.2 模態(tài)振型圖像的重建

利用有限數(shù)目的RT矩對(duì)振型圖像進(jìn)行重建，其重建公式如下

式中pmax為用于重建的矩的最大階數(shù)，為q=0時(shí)的RT矩的實(shí)部值，與分別為RT矩的實(shí)部與虛部。

1.3 矩相關(guān)性

工程實(shí)際中最常用的模態(tài)相關(guān)分析方法為模態(tài)準(zhǔn)信準(zhǔn)則（MAC），也被稱為振型相關(guān)系數(shù)，其定義為

式中φei表示實(shí)驗(yàn)測(cè)試的第i階模態(tài)的振型向量，φaj表示有限元計(jì)算的第j階模態(tài)的振型向量，T代表轉(zhuǎn)置。

仿照模態(tài)置信準(zhǔn)則的定義，利用RT矩特征集的幅值定義的各階模態(tài)振型之間的相關(guān)系數(shù)為

式中Rei表示實(shí)驗(yàn)測(cè)試的第i階模態(tài)振型的矩特征集幅值的向量，Raj表示有限元計(jì)算的第j階模態(tài)振型的矩特征集幅值的向量，H代表共軛轉(zhuǎn)置。

MAC與RTMAC均為0到1之間的一個(gè)數(shù)，越接近于1則表示兩個(gè)模態(tài)振型相關(guān)性越高，若為0則表示兩者沒有相關(guān)性。另外，參與相關(guān)分析的可以是兩個(gè)不同類型的模型，如有限元/實(shí)驗(yàn)之間的相關(guān)分析，也可以是相同類型模型間的相關(guān)分析，如實(shí)驗(yàn)/實(shí)驗(yàn)，有限元/有限元之間的分析。

由上文分析可知，對(duì)于重模態(tài)的振型圖像，由于振型向量之間有一定的轉(zhuǎn)角，所以利用MAC進(jìn)行分析時(shí)，重模態(tài)振型之間的相關(guān)性很低，甚至為0。而重模態(tài)對(duì)的RT矩值的幅值是相等的，為旋轉(zhuǎn)不變量，所以在利用基于RT矩的相關(guān)分析時(shí)，重模態(tài)之間的相關(guān)性很高，可以對(duì)重模態(tài)振型的特性進(jìn)行很好的描述。

2 應(yīng)用實(shí)例：圓盤結(jié)構(gòu)振型的 RT矩描述

為了驗(yàn)證RT矩提取結(jié)構(gòu)振型特征的可行性，對(duì)一圓盤對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)測(cè)試，獲得其前16階固有頻率及模態(tài)振型。同時(shí)通過有限元仿真獲得圓盤模態(tài)振型的理論解。相關(guān)分析分別采用了傳統(tǒng)的模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）和基于RT矩的相關(guān)性分析方法，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較分析。

2.1 圓盤的有限元模型及模態(tài)振型

圓盤實(shí)物如圖2所示，半徑為200 mm，厚度為4 mm，在PATRAN中建立有限元模型如圖3所示。有限元單元采用4節(jié)點(diǎn)板殼單元，共劃分2 521個(gè)單元，邊界條件為自由-自由狀態(tài)。圓盤材料參數(shù)為密度78 500 kg/m3，泊松比0.24，彈性模量199 GPa。

圖2 圓盤實(shí)物Fig.2 Disk structure

圖3 圓盤有限元模型Fig.3 FE model of the disk

利用NASTRAN求解器求解圓盤有限元模型的前16階模態(tài)，得到其各階固有頻率及模態(tài)振型，分別如表2和圖4所示。

表2 圓盤有限元模型的各階固有頻率Tab.2 The natural frequencies of FE model prediction of disk

圖4 圓盤有限元模型的各階模態(tài)的振型圖像Fig.4 Vibration mode shape images of FE model of disk

在圓盤各階模態(tài)振型中可以看出Z為主要振動(dòng)方向，以Z向振動(dòng)位移值為灰度值來建立圓盤振型圖像，如圖5所示。

綜合考慮計(jì)算效率與重建效果選擇p=15，即利用前15階RT矩特征值對(duì)模態(tài)振型圖像進(jìn)行重建，其重建振型圖像如圖6所示。

圖7為采用模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）計(jì)算的模態(tài)振型自相關(guān)系數(shù)（Auto MAC）?？梢钥闯鰝鹘y(tǒng)的MAC值，對(duì)角線上接近1，非對(duì)角線上近似為0，反映了各階模態(tài)的自相關(guān)特性，但不能表示出對(duì)稱結(jié)構(gòu)重模態(tài)之間的相關(guān)性，如第1階與第2階模態(tài)，第4階與第5階模態(tài)等，均是頻率一致，振型非常相似的相近模態(tài)（重模態(tài)），只是振型間有一定的轉(zhuǎn)角。

2.2 圓盤的模態(tài)測(cè)試及實(shí)驗(yàn)分析

利用多普勒連續(xù)激光掃描測(cè)振儀對(duì)該圓盤進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)利用錘擊激勵(lì)，圓盤的Z向?yàn)橹饕駝?dòng)方向，故選擇圓盤的Z向?yàn)闇y(cè)量方向，邊界條件為自由-自由，圖8為實(shí)驗(yàn)布置圖。實(shí)驗(yàn)中共布置289個(gè)掃描點(diǎn)，可以獲得圓盤非常精細(xì)的模態(tài)振型數(shù)據(jù)。通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得的前16階模態(tài)的固有頻率如表3所示，各階模態(tài)振型如圖9所示。

圖5 圓盤有限元各階模態(tài)振型的灰度圖像Fig.5 Gray level images of FE model of disk

圖6 利用p=15重建有限元的模態(tài)振型圖像Fig.6 The reconstructed mode shape images of the disk underp=15

圖7 圓盤有限元模型的Auto MACFig.7 Auto MAC of FE model of the disk

圖8 實(shí)驗(yàn)布置圖Fig.8 Test configuration

圖9 圓盤測(cè)試前16階模態(tài)振型Fig.9 The mode shape images of the test disk

實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型的灰度值圖像如圖10所示。同樣，選擇p=15，即利用前15階RT矩特征值進(jìn)行振型圖像重建，重建圖像如圖11所示。

采用傳統(tǒng)MAC進(jìn)行相關(guān)分析，結(jié)果如圖12所示，與有限元分析結(jié)果類似，傳統(tǒng) MAC不能很好地對(duì)重模態(tài)進(jìn)行描述。下面將采用基于RT矩的相關(guān)性分析，利用提取圖像的特征矩對(duì)模態(tài)振型的重模態(tài)進(jìn)行相關(guān)性分析。

表3 圓盤模態(tài)測(cè)試前16階固有頻率Tab.3 The natural frequencies of the test

圖10 圓盤測(cè)試振型灰度圖像Fig.10 Gray level images of the test disk

2.3 圓盤實(shí)驗(yàn)/有限元相關(guān)分析

為解決上述問題，將圖像處理及模式識(shí)別中的矩函數(shù)引入到結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模態(tài)相關(guān)分析中。由于RT矩存在旋轉(zhuǎn)不變量，可以對(duì)有旋轉(zhuǎn)角度的模態(tài)振型圖像進(jìn)行較準(zhǔn)確的相關(guān)性分析。分別對(duì)上述圓盤振動(dòng)模態(tài)的有限元分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，進(jìn)行基于RT矩的自相關(guān)分析，結(jié)果如圖13，14所示?？梢钥闯龌赗T矩的相關(guān)分析方法，無論是計(jì)算仿真數(shù)據(jù)還是實(shí)驗(yàn)測(cè)試，都可以很好地對(duì)重模態(tài)進(jìn)行自相關(guān)分析，如模態(tài)1與模態(tài)2，模態(tài)4與模態(tài)5，模態(tài)6與模態(tài)7，等，皆為重模態(tài)，在RTMAC中可以很好地看出重模態(tài)的兩階模態(tài)除了與自身的相關(guān)性很高外，兩者之間的相關(guān)性也很高，這也與實(shí)際情況相符。

圖11 利用p=15重建測(cè)試的模態(tài)振型圖像Fig.11 The reconstructed mode shape images of the test disk under p=15

圖12 實(shí)驗(yàn)的Auto MACFig.12 Auto MAC of test

圖13 基于RT矩的Auto RTMACFig.13 AutoRTMAC of FE model

利用傳統(tǒng)MAC求解得到的實(shí)驗(yàn)/有限元的互相關(guān)分析結(jié)果如圖15所示，基于RT矩的相關(guān)分析結(jié)果如圖16所示，表4列出了各階模態(tài)的相關(guān)系數(shù)，對(duì)于第4階與第5階模態(tài)，第6階與第7階等多對(duì)重模態(tài)，利用RTMAC，其相關(guān)系數(shù)得到大幅提高，與實(shí)際情況相符，很好地描述了其重模態(tài)的特性。此外，在利用MAC值進(jìn)行分析時(shí)，若對(duì)應(yīng)階次的有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的轉(zhuǎn)角偏差較大，則會(huì)出現(xiàn)如表4中所示的第15階與第16階匹配時(shí)的錯(cuò)階問題。可以看出利用基于RT矩的相關(guān)分析非常適合于分析對(duì)稱結(jié)構(gòu)的重模態(tài)問題。

圖14 AutoRTMACFig.14 AutoRTMAC of test

圖15 MAC相關(guān)分析結(jié)果Fig.15 MAC of FE model and test

圖16 基于RT矩的相關(guān)分析Fig.16 RTMAC of FE model and test

表4 有限元與實(shí)驗(yàn)的相關(guān)系數(shù)Tab.4 The correlation coefficient between FE model and test

圖17，18分別表示有限元與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的各階模態(tài)振型圖像RT矩的最大主矩的極坐標(biāo)圖，從圖中可以看出對(duì)于每一組重模態(tài)，其最大主矩的幅值相同，相角不同。這也反映了重模態(tài)振型相似，但兩者間有一定轉(zhuǎn)角的特征。利用兩階重模態(tài)最大主矩的角度差，也就可以進(jìn)一步求得重模態(tài)對(duì)之間的轉(zhuǎn)角大小。以有限元的模態(tài)4與模態(tài)5為例，這兩階模態(tài)的主矩均為RT13，這兩階主矩的夾角為90°，其最大主矩的重?cái)?shù)為3，則

利用此方法可以分別求得有限元模型的所有重模態(tài)與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的所有重模態(tài)的旋轉(zhuǎn)角度，其結(jié)果如表5所示，這也是利用基于RT矩的相關(guān)分析比傳統(tǒng)MAC進(jìn)行相關(guān)分析的一大優(yōu)勢(shì)。從表5可以看出有限元計(jì)算求得的轉(zhuǎn)角結(jié)果與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果有很好的一致性。

圖17 有限元最大主矩極坐標(biāo)圖Fig.17 The maximal RTM of the FE model

分別對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果提取RT矩特征值進(jìn)行比較，圖19，20分別為有限元結(jié)果與測(cè)試結(jié)果的矩特征值幅值柱狀圖，這兩幅圖中，可以看出各階主矩的矩特征值的分布有很好的一致性，幅值大小有一定的細(xì)微差異。圖21為第1階模態(tài)振型的主要矩特征值的幅值柱狀圖的細(xì)化描述，其中黑色表示測(cè)試數(shù)據(jù)的矩特征值幅值，淺色表示有限元計(jì)算結(jié)果的矩特征值幅值。從圖中可以看出，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果提取的矩特征值與從有限元結(jié)果提取的矩特征值，其主矩位置一致，幅值有微小差異，這也就反映了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型圖像與有限元計(jì)算結(jié)果模態(tài)振型圖像的差異。

圖18 實(shí)驗(yàn)最大主矩極坐標(biāo)圖Fig.18 ThemaximalRTMofthetest

表5 有限元與實(shí)驗(yàn)計(jì)算重模態(tài)夾角Tab.5 Anglesofthedoublemodes

圖19 有限元結(jié)果矩特征值柱狀圖Fig.19 RTMSofFEmodel

圖20 測(cè)試結(jié)果矩特征值柱狀圖Fig.20 RTMs of the test

圖21 第1階主矩放大比較圖Fig.21 The enlarged figure of the comparison of RTMs between the first mode of FE model and test

3 結(jié) 論

利用RT矩函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)的振型圖像提取RT矩特征值，可以從大量的振型數(shù)據(jù)中提取最主要的振型信息，可對(duì)振型數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)壓縮。對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)，含有重模態(tài)，利用傳統(tǒng)的 MAC對(duì)其進(jìn)行分析時(shí)，不能很好地對(duì)重模態(tài)進(jìn)行描述，且僅利用MAC對(duì)振型數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，不能對(duì)振型的局部差異進(jìn)行識(shí)別，有一定的局限性。由于RT矩具有旋轉(zhuǎn)不變量，利用基于RT矩的相關(guān)分析就可以很好地彌補(bǔ)MAC分析的不足，可以對(duì)重模態(tài)進(jìn)行很好的描述，并求得重模態(tài)的轉(zhuǎn)角，這對(duì)于確定有限元與測(cè)試的模態(tài)匹配，及進(jìn)一步的模型修正與模型確認(rèn)具有重要的理論指導(dǎo)意義。

［1］ Allemang R J，Brown D L.A correlation coefficient for modal vector analysis［A］.Proceedings of 1st IMAC ［C］.Orlando，USA.1982：110—116.

［2］ Zang C，Ewins D J.Model validation for structural dynamics in the aero-engine design process［J］.Frontiers of Energy and Power Engineering in China，2009，3（4）：480—488.

［3］ Ewins D J.Modal Testing：Theory，Practice and Application［M］：Research Studies Press，Ltd.，2000.

［4］ Wang Weizhuo，Mottershead J E，Mares C.Mode shape recognition and fnite element model updating using the Zernike moment descriptor［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（2）：2 088—2 112.

［5］ Wang Weizhuo，Mottershead J E，Mares C.Finite element model updating from full field vibration measurement using digital image correlation［J］.Journal Sound and Vibration，2010，10（36）：1—22.

［6］ 劉銀超，臧朝平.對(duì)稱結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的Zernike矩描述方法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2011，24（4）：369—375. LIU Yingchao，ZANG Chaoping.Mode shape description of a ymmetrical structure using Zernike moment descriptor［J］.Journal of Vibration Engineering，2011，24（4）：369—375.

［7］ Liu Yingchao，Zang Chaoping.Mode shape description of an aero-engine casing structure using Zernike mo-ment descriptors［J］.Journal of Aerospace Power，2011，26（4）：760—770.

［8］ 臧朝平，劉銀超.軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型描述和模型確認(rèn)研究［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，44（5）：725—733. Zang Chaoping，Liu Yinchao.Mode shape description and model validation of axisymetric structure［J］. Journal of Nanjing University of Aeronautics&Astronautics，2012，44（5）：725—733.

［9］ 賈晴晴，劉銀超，臧朝平.結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的Tchebichef矩描述方法［A］.中國力學(xué)大會(huì)-‘2011暨錢學(xué)森誕辰100周年紀(jì)念大會(huì)’［C］.哈爾濱，2011.

［10］Mukundan R，Ong S H，Lee P A.Image analysis by Tchebichef moments［J］.Image Processing，IEEE Transactions on，2001，10（9）：1 357—1 364.

［11］Mukundan R.Radial tchebichef invariants for pattern recognition［A］.TENCON 2005 2005 IEEE Region 10.IEEE，2005：1—6.

Research on Radial-Tchebichef moment description of structural mode shapes

JIANG Dan-dan，ZANG Chao-ping
（Jiangsu Province Key Laboratory of Aerospace Power System，College of Energy&Power Engineering，Nanjing University of Aeronautics&Astronautics，Nanjing 210016，China）

Radial-Tchebichef moment is introduced from image processing and pattern recognition to structural dynamics.Extracting the image features using Radial-Tchebichef moment can effectively compress the full-field modal vibration data with the mode shape＇s most important information retained in the form of Radial-Tchebichef moment description.Meanwhile，the reconstruction of mode shapes using Radial-Tchebichef moment description can yield a good result which means the mode shapes can be well described by using less data.Besides，using Radial-Tchebichef moment description in correlation analysis of the double mode for symmetric structures can overcome the disadvantages of MAC.In this paper，the analysis results of the test and FE model of a disk shows that the double modes can be effectively described and the angle of the double mode can be computed by Radial-Tchebichef moment description，which indicates important guiding significance for the development of the modal updating and validation of symmetric structures.

mode shape；Radial-Tchebichef moment；correlation analysis；double mode；feature extraction

TB123

：A

1004-4523（2015）05-0703-11

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.004

姜丹丹（1989—），女，研究生。電話：15850501105；E-mail：dandanjiang@nuaa.edu.cn

臧朝平（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師。電話：（025）84892200-2204；E-mail：c.zang@nuaa.edu.cn

2014-06-19

：2014-10-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372128，51175244）；江蘇省高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程項(xiàng)目（PAPD）；先進(jìn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心項(xiàng)目