求方陣初等因子的一種新方法及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)

杜翠真，尹瀟瀟

（1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650221）

0 引言

矩陣?yán)碚摰南喈?dāng)一部分內(nèi)容都能看作是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用，所以Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.利用λ-矩陣的初等變換化A的特征矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形或?qū)切?，再?jì)算初等因子，或根據(jù)行列式因子、不變因子和初等因子的關(guān)系計(jì)算初等因子是求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形常用的方法，如文獻(xiàn)[1].而對(duì)階數(shù)較高的矩陣，文獻(xiàn)[1]給出的方法計(jì)算量很大.

鑒于此，本文先求出冪零矩陣A的初等因子λj的個(gè)數(shù)hj，再利用n階矩陣A的特征值λi的秩指數(shù)求出A的初等因子(λ-λi)j的個(gè)數(shù) hj(i=1,2,…,s).

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義 1.1[2]設(shè)A∈Cn×n，若存在正整數(shù) k，使得Ak=0.稱A是冪零矩陣.滿足等式Ak=0的最小正整數(shù)k稱為A的冪零指數(shù).

定義 1.2 設(shè) A∈Cn×n，λi是 A的特征值(i=1,2,…,s)，若 r((λiE-A)ki)=r((λiE-A)ki+1)，則稱 ki是 A的特征值 λi(i=1,2,…,s)的秩指數(shù).

引理1.1[1]每個(gè)n級(jí)復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若當(dāng)形矩陣J相似，這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A唯一確定的，J稱為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

即對(duì)任意 A∈Cn×n，則存在可逆矩陣 P∈Cn×n，使得

Jij是主對(duì)角線元素均是λi的若當(dāng)塊(j=1,2,…,it).

若當(dāng)形矩陣J是對(duì)角形矩陣的區(qū)別在于它的下對(duì)角線（與主對(duì)角線平行的下方第一條對(duì)角線）的元素是1或是0，因此 是一個(gè)特殊的下三角形矩陣.

2 主要結(jié)論

引理2.1 設(shè)A是冪零矩陣，那么r(A)>r(A2)>r(A3)>…>r(Ak)=r(Ak+1)=0.

證明 由引理1.1可知，對(duì)冪零矩陣A，存在可逆矩陣P，使得

因?yàn)閞(J)>r(J2)>r(J3)>…>r(Jk)=r(jk+1)=0，

r(Ji)=r(Ai)(i=1,2,…)，

所以r(A)>r(A2)>r(A3)>…>r(Ak)=r(Ak+1)=0.

引理2.2[3]對(duì)矩陣A,B,C，有r(ABC)>r(AB)+r(BC)-r(B).

因?yàn)閞(A3)>r(A2)+r(A2)-r(A),r(A)-r(A2)>r(A2)-r(A3).

所以 △i=r(Ai)-r(Ai+1)(i=0,1,…,k-1)遞減，hi=△i-1-△i≥0(i=1,2,…,k).

對(duì)冪零指數(shù)為k的矩陣A，A的最后一個(gè)不便因子是λk，所以 A的初等因子為 λj(j∈{1,2,…,k})，且至少有一個(gè)初等因子λk.

定理2.1 設(shè)A是冪零指數(shù)為k的冪零矩陣，那么A有

個(gè)初等因子λi.

證明 設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為J，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=J.

所以A有hi=r(Ai-1)-2r(Ai)+r(Ai+1)(i=1,2,…,k)個(gè)初等因子

定理 2.2 設(shè) A∈n×n，λi(i=1,2,…,s)是 A的特征值，那么

為A的初等因子(λ-λi)j個(gè)數(shù)，若λi為單根，那么A的初等因子(λ-λi)的個(gè)數(shù)是 1.

證明 設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為J，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=J.

所以A有hj個(gè)初等因子(λ-λi)j.

3 應(yīng)用舉例及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)

由定理2.2可知，對(duì)任意一個(gè)n階矩陣A，按照定理2.2中的公式可唯一求出A的初等因子(λ-λi)j的個(gè)數(shù)hj.下面給出實(shí)例及其Matlab程序?qū)崿F(xiàn).

解 |λE-A|=(λ-1)2(λ+1)，所以 λ1=1(2重）,λ2=-1.

所以A的初等因子為λ-1,λ-1,λ+1.

Matlab編程如下

4 結(jié)論

本文利用矩陣A的特征值λi的秩指數(shù)給出初等因子(λ-λi)j的個(gè)數(shù)，避開(kāi)繁瑣的λ-矩陣的初等變換，化A的特征矩陣為對(duì)角形，求出初等因子.該方法降低了計(jì)算難度和計(jì)算量，簡(jiǎn)單易行，程序性強(qiáng)，易于編程.

〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.

〔2〕張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2007.

〔3〕趙禮峰.高等代數(shù)解題法[M].合肥:安徽大學(xué)出版社,2004.