彈性約束下線性規(guī)劃最優(yōu)化方法

甘 濤

(周口師范學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河南 周口 466001)

0 引言

實(shí)際生活中，人們總希望花費(fèi)最少的人力、物力、財(cái)力等資源進(jìn)行生產(chǎn)，進(jìn)而獲得最大的收益和成效，在管理學(xué)中被看作是生產(chǎn)者的利潤最大化和消費(fèi)者的效用最大化，如果從數(shù)學(xué)的角度來看就被看作是“最優(yōu)化問題”。

綜觀現(xiàn)有的研究成果，我們所提及的“最優(yōu)化問題”往往是指在某些特定約束的條件下尋找某個“目標(biāo)函數(shù)”的最值，其解法有線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、對策論、圖論與網(wǎng)路理論、決策分析排隊(duì)論、存儲理論等，統(tǒng)稱為最優(yōu)化方法（Optimization）。經(jīng)典的線性規(guī)劃方法常將“約束條件”和“目標(biāo)函數(shù)”都視為確定的，與實(shí)際生活中經(jīng)常存在的不同形式的不確定性相悖。本文一改經(jīng)典線性規(guī)劃的研究思路，重點(diǎn)引入新的概念“彈性約束”，以“彈性約束”下的線性規(guī)劃為對象建立新穎的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而尋求其解最優(yōu)化問題的方法。

1 模型的建立及求解

這里的討論對應(yīng)于彈性約束的線性規(guī)劃問題，將其寫成：

對應(yīng)于其中的約束條件，可轉(zhuǎn)化為maxuD(x)；目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)為求maxuM(x),模型（1），可轉(zhuǎn)換成如下模型：

根據(jù)命題1，模型(2)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成如下線性規(guī)劃問題：

maxg=λ

設(shè) f*為問題（A）的解，f*+d*為問題（B）的解，因?yàn)閐＞0，所以問題（B）擴(kuò)大了問題（A）的約束條件，從而有d*＞0。彈性約束使用的目標(biāo)在于希望在一定“保證率”下適當(dāng)擴(kuò)大受益（即增大目標(biāo)函數(shù)值），故應(yīng)取 f0+d0＞ f*，但 f0取值越大，所冒風(fēng)險(xiǎn)越大，當(dāng) f0＞ f*+d*時，實(shí)現(xiàn) f0的可能性只能是0，故還應(yīng)取 f0＜ f*+d*。一般地，可令a表示樂觀系數(shù)

（0≤a≤1），f1=a(f*+d*)+(1-a)f*,則有：

（1）若采用悲觀主義決策準(zhǔn)則，可取 f0＝ f*，f0+d0＝f1；

（2）若采用樂觀主義決策準(zhǔn)則，可取 f0＝ f1，f0+d0＝f*+d*。

為了方便分析，特此對一些標(biāo)記和命題進(jìn)行定義：

①記 C＝(c1,c2,…,cn),x＝(x1,x2,…,xn)T,b＝(b1,b2,…,bn)T,

A＝(aij)m×n,X＝{x|x∈Rn,x≥0}

②允許有一定的變動范圍的約束條件，稱為彈性約束。所有滿足彈性約束條件的元素組成的集合，稱為彈性約束集。記加粗的“≤≌”表示彈性約束，我們可理解為大約小于的意思。

③ 用于表示約束條件變化范圍的量，稱為伸縮指標(biāo)，記為di≥0（i=1，2，…，m）記 d=(d1,d2,…,dm)T

⑥“∨”運(yùn)算符定義為a∨b=max{a,b}，“∧”定義為 a ∧b=min{a,b}，其中 a,b ∈[0,1]。

⑦λ表示彈性約束下的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的保證率，λ∈[0,1]。

2 案例分析

某工廠生產(chǎn)4種產(chǎn)品，需用到3種原料，其配置情況及可能獲得的利潤見表1所示。又實(shí)際生產(chǎn)中，原料A、B、C受到如下約束：（1）原料A、B收到資源的限制，供應(yīng)量極為有限，單位生產(chǎn)周期內(nèi)只能提供一定的數(shù)量；（2）原料C一經(jīng)開包使用就必須用足一定量后方可停止使用，且不能單獨(dú)使用。

現(xiàn)設(shè)甲、乙、丙、丁4種產(chǎn)品各自產(chǎn)量分別為 x1，x2，x3,x4。依題意有maxf=12x1+15x2+8x3+10x4

試問應(yīng)如何合理安排生產(chǎn)資源，使得該次生產(chǎn)的安排能獲得最大利潤值?

表1 加工產(chǎn)品所需原料及可能獲得的利潤

現(xiàn)在假設(shè)以上情境中，實(shí)現(xiàn)以下改變：（1）因交通條件的改善，單位生產(chǎn)周期內(nèi)原料A,B的供應(yīng)量可分別保證在[2100，2200]與[1000,1050]所包含的區(qū)域內(nèi)；（2）因技術(shù)的改進(jìn)，C原料的使用量可變?yōu)閇1250,1300]所包含區(qū)內(nèi)的可能值。試問:改變假設(shè)條件后，應(yīng)如何安排生產(chǎn)，方能獲得利潤Z的最大值?

下面過程是具體的求解：

①利用單純形法，首先求得問題（2）的最佳基可行解x和最優(yōu)函數(shù)值為x＝(x1,x2,x3,x4)T＝(8100/7,5000/7,0,0)T,f*＝171000/7。

②利用單純形法，求解以下問題：

得其最優(yōu)基可行解x及最優(yōu)解 f*+d*為：

x ＝(x1,x2,x3,x4)T＝(1500/7,11000/7,0,0)T,

f*+d*＝18700/7,d*＝1200/7

最后求解彈性約束線性規(guī)劃問題：

maxf＝12x1+15x2+8x3+10x4

給定d1＝100，d2＝d3＝50。為得到以上問題的解答，先令a＝1/3，得 f*＝17500/7，采用樂觀主義決策準(zhǔn)則取 f0＝17500/7，d0＝8000/7，且有式(3)將問題(2)轉(zhuǎn)換為如下經(jīng)典線性規(guī)劃問題：

求maxg＝λ

將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用單純形法同樣可求得其最優(yōu)基可行解為：

x ＝(x1,x2,x3,x4,λ)T＝(4100/7,8600/7,0,0,2/5)T.

因此得 x＝(x1,x2,x3,x4)T＝(4100/7,8600/7,0,0)T是問題(2)在選擇 f0＝17500/7，d0＝8000/7時的最優(yōu)解，且保證率λ=2/5獲得最優(yōu)目標(biāo)值 f＝12×4100/7+15×8600/7＝178200/7。與問題(1)相比，收益增加了1028元，增幅為4.2%。

在問題(2)中，采用悲觀主義決策準(zhǔn)則取 f0＝17500/7，d0＝8000/7，則得λ＝3/4，f＝17400/7；若由生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)直接取 f0＝16500/7，d0＝15000/7，則得λ＝2/3，最優(yōu)值f＝175000/7＝25000。

3 總結(jié)

需要指出的是，使用模型(3)所得結(jié)果與 f0和d0的選取有關(guān)。一般地，若 f0＜ f*和d0＜d*，則λ將取得最大化。但所得 f值增幅不大，若 f0＞ f*或d0＞d*，因λ將取較小值，故 f值增幅較大。但在具體的操作中，將取決于決策者的膽識和敢于承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的能力，因此這種方法在管理學(xué)的應(yīng)用中占有重要一席。

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