關于向量的線性表出方法的比較

【摘 要】本文主要討論向量線性表出的初等行變換法，通過實例給予詳細介紹，并且與以往線性方程組法法進行比較，得到解決向量線性表出較簡單可行的方法。

【關鍵詞】向量組 線性表出 初等行變換 階梯型矩陣

【中圖分類號】O151.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）01-0097-01

一 問題的提出

向量的線性表出問題是線性代數(shù)課程的重點與難點，在同濟大學出版社出版的《線性代數(shù)經(jīng)管類》一書中，線性表出這部分內(nèi)容僅限于向量所構造的非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為方陣時才可進行判定，帶有一定的局限性。而在同濟大學數(shù)學系編寫的《工程數(shù)學線性代數(shù)》（第五版）一書中，介紹向量線性表出這一部分內(nèi)容時，主要方法是用向量所構造矩陣的秩來判定，但未詳細介紹若能夠線性表出，線性表達式該如何求解。學生在學習這部分內(nèi)容時略感混亂，增加了學生學習這部分知識的難度。其實，掌握這部分內(nèi)容并不像學生想象得那么困難。本文避開線性方程組內(nèi)容，用初等行變換的知識，輕松地解決向量線性表出的判定這個難點，同時，還可直接得到其線性表達式。

方法介紹：（1）將所給的行向量組按行排列成矩陣，原始向量的序號按順序標注在矩陣右側(cè)。（2）對矩陣作初等行變換將其化為階梯型，在對矩陣進行初等行變換的同時，對矩陣后的標注也進行相應的變換。特別注意：在此過程中，努力嘗試將帶有向量β的行最簡化。（3）觀察帶有向量β的行是否為零行，若為零行，向量β可以由其余向量線性表出，若為非零行，向量β不可以由其余向量線性表出。

特別提示：矩陣右端標出每個向量所在的位置及每次運算的過程，目的是為了看出β由向量組線性表出的表達式。

四 方法總結(jié)

第一，若向量組未具體給定，判定是否可以線性表出時，從定義出發(fā)并結(jié)合所給條件列出等式后，進行轉(zhuǎn)化判斷。

第二，若向量組為具體給定時。（1）將向量組與被要求判定的向量構造成非齊次線性方程組，按非齊次線性方程組的求解方法，若方程有解即可線性表出，反之不能線性表出。（2）將所有行向量按行排列組成矩陣，被要求判定的向量放在矩陣最后一行。按行擺行變換法進行線性變換，觀察帶有向量β的行是否為零行，若為零行，向量β可以由其余向量線性表出。若為非零行，向量β不可以由其余向量線性表出。

這兩種方法在判定能否線性表出時可行，但當我們利用行擺行變換法來處理線性表出問題時，更方便、簡單易操作。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕〕