用一元一次方程解決問題

吳強(qiáng)

（蘇科版七年級(jí)下冊(cè)108頁問題4）運(yùn)動(dòng)場環(huán)形跑道長400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?/3倍，他們從同一起點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5 min后小紅第一次追上爺爺，請(qǐng)求出小紅與爺爺?shù)乃俣?

這是一個(gè)環(huán)形跑道上的追及問題，今天我們就從這個(gè)問題出發(fā)研究一下行程問題中的追及問題.

拓展一 運(yùn)動(dòng)場環(huán)形跑道長400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一起點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5 min后小紅第一次追上爺爺，如果小紅追上爺爺后立即轉(zhuǎn)身沿相反方向跑，那么幾分鐘后小紅與爺爺再次相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

小紅跑的路程+爺爺跑的路程=400 m.

解：設(shè)x分鐘后，小紅和爺爺再次相遇.

由教材解題過程可知道，爺爺?shù)乃俣仁?20 m/min，小紅的速度是200 m/min.

根據(jù)題意，得120x+200x=400.

解這個(gè)方程，得x=1.25.

答：1.25分鐘后，小紅和爺爺再次相遇.

【點(diǎn)評(píng)】 該問題是相遇問題，蘊(yùn)涵的主要相等關(guān)系是：小紅和爺爺所跑的路程和等于環(huán)形跑道的周長.

拓展二 運(yùn)動(dòng)場環(huán)形跑道長400 m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一起點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5 min后小紅第一次追上爺爺，假設(shè)爺爺與小紅第一次相遇后繼續(xù)跑，則第______分鐘第二次相遇，第______分鐘第三次相遇，假想一下，若他們一直這樣循環(huán)下去，第______分鐘后第n次相遇.

【分析】 由題意可知道，小紅和爺爺?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，小紅比爺爺多跑了400 m，第二次相遇時(shí)，小紅比爺爺多跑了800 m，那么依次類推，第n次相遇時(shí)，小紅比爺爺多跑了400n m.

可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

爺爺跑的路程+400n m=小紅跑的路程.

解：設(shè)第x分鐘后第n次相遇.

由教材中解題過程可知道，爺爺?shù)乃俣仁?20 m/min，小紅的速度是200 m/min.

根據(jù)題意，得120x+400n=200x.

解這個(gè)方程，得x=5n.

答案：第10分鐘爺爺和小紅第二次相遇，第15分鐘爺爺和小紅第三次相遇，第5n分鐘爺爺和小紅第n次相遇.

【點(diǎn)評(píng)】 這幾個(gè)問題都是追及問題，每增加一次相遇，小紅跑的路程都相應(yīng)地增加一圈.

變式一 甲、乙兩人在400 m的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.

（1） 甲與乙同地、同向出發(fā)，乙先跑10 m，甲出發(fā)后需要多長時(shí)間兩人首次相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

乙跑的路程+10 m=甲跑的路程.

解：設(shè)甲出發(fā)x秒后兩人首次相遇.

根據(jù)題意，得4.5x+10=5.5x.

解這個(gè)方程，得x=10.

答：甲出發(fā)10秒后兩人首次相遇.

（2） 甲與乙同地、同向出發(fā)，乙先跑4 s，甲出發(fā)后需要多長時(shí)間兩人首次相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

乙前4秒跑的路程+乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.

解：設(shè)甲出發(fā)x秒后兩人首次相遇.

根據(jù)題意，得4.5x+4.5×4=5.5x.

解這個(gè)方程，得x=18.

答：甲出發(fā)18秒后兩人首次相遇.

（3） 甲與乙同地、同向出發(fā)，甲先跑100 m，乙出發(fā)后需要多長時(shí)間兩人首次相遇？

【分析】 由教材中108頁問題4解題過程可知道，他們從同一起點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)時(shí)，如果他們第一次相遇，小紅比爺爺多跑一圈. 本題中，甲與乙同地、同向出發(fā)，甲先跑100 m，如果他們第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.

可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

乙跑的路程+300 m=甲跑的路程.

解：設(shè)乙出發(fā)x秒后兩人首次相遇.

根據(jù)題意，得4.5x+300=5.5x.

解這個(gè)方程，得x=300.

答：乙出發(fā)300秒后兩人首次相遇.

變式二 甲、乙兩人在同一條路上前進(jìn)，甲每小時(shí)行3 km，乙每小時(shí)行5 km，甲在中午12點(diǎn)時(shí)經(jīng)過A地，乙在下午2點(diǎn)經(jīng)過A地，問乙下午幾點(diǎn)能追上甲？

【分析】 “甲在中午12點(diǎn)時(shí)經(jīng)過A地，乙在下午2點(diǎn)經(jīng)過A地”說明當(dāng)乙到A地時(shí)，甲在乙前面3×2=6（km）處.

可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲在12點(diǎn)到下午2點(diǎn)走的路程+甲在下午2點(diǎn)后走的路程=乙在下午2點(diǎn)后走的路程.

解：設(shè)乙出發(fā)x小時(shí)后，乙追上甲.

根據(jù)題意，得3x+3×2=5x.

解這個(gè)方程，得x=3.

2+3=5.

答：乙下午5點(diǎn)能追上甲.

【變式訓(xùn)練1】 汽車以每小時(shí)72 km的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷. 駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到喇叭聲，此時(shí)汽車距離山谷多少米？（聲音的速度是340 m/s）

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

汽車4秒走的路程+汽車4秒后離山谷的距離=聲音走的路程-汽車4秒后離山谷的距離.

解：設(shè)4秒后汽車距離山谷x米.

每小時(shí)72 km=每秒20米.

根據(jù)題意，得x+20×4=340×4-x.

解這個(gè)方程，得x=640.

答：此時(shí)汽車距離山谷640米.

【變式訓(xùn)練2】 甲、乙兩人同時(shí)以每小時(shí)4 km的速度從A地出發(fā)到B地辦事，走了2.5 km時(shí)，甲要回去取一份文件，他以每小時(shí)6 km的速度往回走，取了文件后以同樣的速度追趕乙，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)B地，已知甲取文件時(shí)在辦公室耽誤了15 min，求A、B兩地的距離.

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個(gè)問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲往回走后乙走的路程+2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.

本題如果直接設(shè)A、B兩地的距離相對(duì)較難處理，我們可以采用間接法設(shè)未知數(shù).

解：設(shè)甲從往回走到追上乙共用了x小時(shí).

15 min=0.25 h.

根據(jù)題意，得

2.5+4x=6（x-0.25）-2.5.

解這個(gè)方程，得x=3.25.

2.5+4x=15.5.

答：A、B兩地的距離是15.5 km.

把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程，有助于幫助學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型. 方程的出現(xiàn)源于實(shí)際問題，追及問題是實(shí)際問題中的一個(gè)很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解決追及問題.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）