基于線段模型的高速公路安全與流量關(guān)系研究

劉力瑋，馬博淵，王章宇，鄒睿航

（1.北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京100048；2.北京工商大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院，北京100048；3.北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京100048）

1 模型理論

1.1 現(xiàn)實(shí)生活中的超車情形

現(xiàn)實(shí)中左駕右行的駕駛模式會受到多方面因素的影響，例如司機(jī)的駕駛習(xí)慣，汽車性能，道路性能。理想中，若所有車輛以相同速度行駛，則汽車行駛中不會發(fā)生超車，也不會被超車。但實(shí)際情況是每輛車的行駛速度并不相同，超車的發(fā)生次數(shù)也隨車流量密度的變化而不斷變化。

汽車是有空間和質(zhì)量的物體，在行駛中會因駕駛不當(dāng)發(fā)生碰撞。超車過程會受到多種因素的影響，如前后車間距，被超車輛對超車車輛的視線遮擋角度，超車車輛左側(cè)并道后在超車車輛后方是否存在也正在超越其他個體的車輛等。若單獨(dú)從微觀角度分析超車過程中的影響因素，諸多因素并不相互獨(dú)立，難以考慮所有影響因素來建立模型；若從某單一因素對超車過程的影響入手建立模型，又不能完整地體現(xiàn)超車過程中復(fù)雜的因素影響。所以在本文的左駕右行模型中，將車視為沒有質(zhì)量，沒有空間的點(diǎn)。

超車的過程分為三個階段，第一階段，向左并道準(zhǔn)備超車；第二階段，直線行駛，直到與被超車輛之間的距離符合行駛安全距離；第三階段，向右并道，回歸初始狀態(tài)?？梢缘贸觯囘^程是一個在時間與空間上都有變化的過程量。在模型中，車輛行駛都遵守不超車時在右側(cè)行駛的規(guī)則，只有在超車的時候才會往左邊移動一條車道完成超車。所以，模型將高速公路視為兩車道。

真實(shí)情況車道上的車輛有轎車、貨車、巴士等多種車輛。每種車在計算車流量時的數(shù)量不同，例如7 坐及以下轎車為1veh/h，拖掛貨車為3veh/h。模型中將所有的車輛都視為7 坐以下的轎車，即所有的個體車輛所占的車流量都為1veh/h。

1.2 模型整體思想

在模型中，不考慮超車過程中的變道時間，忽略變道過程中向左前行駛與右前行駛造成的相較于直線行駛距離的增加。將所有點(diǎn)放在一條線段上運(yùn)動，每個點(diǎn)的運(yùn)動速度恒定，總體的速度呈正態(tài)分布。當(dāng)點(diǎn)之間發(fā)生一次重疊的時候，記為一次超車。點(diǎn)與點(diǎn)之間的重疊是瞬時的，當(dāng)某一點(diǎn)與前一點(diǎn)重合之后，這兩個點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)不發(fā)生任何變化，保持兩個點(diǎn)原來的運(yùn)動狀態(tài)繼續(xù)運(yùn)動，然后計算當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)行狀態(tài)處于穩(wěn)定狀態(tài)下的重疊的次數(shù)。也就是說當(dāng)高速公路上的車輛成均勻分布，車輛的速度程正態(tài)分布。

參考NS 模型與上文中提到的模型，發(fā)現(xiàn)左駕右行模型涉及正常行車、超車、自由通行狀態(tài)、無法自由通行狀態(tài)（堵車）。影響因素包含車流量、道路中車輛密度和行車速度，這些因素并不獨(dú)立。在一個模型中將這些并不相互獨(dú)立的變量同時考慮需要龐大的計算量，而且不能保證準(zhǔn)確性。

通過何種建模方式，保證模型準(zhǔn)確性，同時使各個因素之間的相關(guān)性影響減小到最小，是模型開發(fā)的理想結(jié)果。在此需要理解車輛遵守左駕右行模型時的超車模型，將車看做質(zhì)點(diǎn)之后，這些點(diǎn)之間的超越不存在換道，只要有一次重疊就是發(fā)生一次超車。

2 普通超車模型實(shí)例

在模型建立初期，為了簡化模型，排除了一些變量因素。例如司機(jī)的駕駛習(xí)慣、車流量對汽車行駛速度的影響、汽車速度對車間距的影響、車間距與超車概率的關(guān)系。這些影響因素會在之后加入，完善模型，進(jìn)而得到和現(xiàn)實(shí)情況比較接近，且為兩車道的一條高速公路的數(shù)據(jù)，并將這個數(shù)據(jù)帶入模型之中。

根據(jù)沈大高速公路的車流流量數(shù)據(jù)，在2004 年之前，沈大高速公路的最大承載能力為55 000veh/24h，最低承載能力22 000veh/24h。此處的承載能力是雙向行駛的承載能力，因此應(yīng)該除以2，得到單向行駛的最高承載能力與最低承載能力。設(shè)計限速為50～120km/h。根據(jù)沈大高速公路的最大與最小承載能力，可以得到車輛放行的頻率0.01～0.32veh/s。

模型將所有車輛看成單位為1veh 的點(diǎn)，并且所有點(diǎn)在一條線段上運(yùn)行。查閱資料后，未能找到其他與本模型相同假設(shè)的模型。

因此，在本文模型中采用仿真試驗(yàn)的方法模擬一條高速公路中超車發(fā)生的次數(shù)。通過對照試驗(yàn)的方法研究：

（1）高速公路限速上下限對汽車行駛實(shí)際情況造成的影響；

（2）高速公路平均行駛速度對汽車行駛實(shí)際情況造成的影響。

在設(shè)計“高速公路限速上下限對汽車行駛實(shí)際情況造成的影響”時，考慮到高速公路中所有車輛的行駛速度應(yīng)該服從正態(tài)分布，根據(jù)期望速度與速度標(biāo)準(zhǔn)差可以憑借方差為界確定汽車速度的上下限。

2.1 同一正態(tài)分布下的車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

通過對沈大高速公路車輛數(shù)量和行駛速度分析得出，二者之間服從以23.68m/s 為期望，以4.83m/s為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，及X～N(23.68，4.832)。沈大高速公路不同車速及其數(shù)量關(guān)系如圖1所示。

根據(jù)上述的模型介紹，在線段起始端依照一定的流量拋出隨機(jī)速度的點(diǎn)，最后計量在一定時間內(nèi)拋出的點(diǎn)在線段上碰撞次數(shù)，并以發(fā)生的碰撞次數(shù)來代替超車次數(shù)，最后進(jìn)一步說明車流量與安全的權(quán)衡。

圖1 沈大高速公路不同車速及其數(shù)量直方圖

2.1.1 模型假設(shè)

本文模型采用以下假設(shè)：（1）把車輛視為質(zhì)點(diǎn)；（2）沈大高速公路為一條直線，其全長為270km；（3）車輛在行駛過程中只有在超車時才會發(fā)生危險，即超車次數(shù)越多，發(fā)生危險的概率也就越大；（4）車輛放行速度是以在沈大高速公路測得的不同車速及其數(shù)量的數(shù)據(jù)擬合出的正態(tài)分布X～N(23.68，4.832)，同時是隨機(jī)拋出的。

2.1.2 模型方法

在線段的的起始點(diǎn)向線段中拋出一定流量的點(diǎn)（點(diǎn)單位為veh，流量單位為veh/h），待點(diǎn)在270 000m 的線段上均勻布滿后，開始計算在一定時間內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)碰撞次數(shù)，且為了排除偶然因素，只計量均勻狀態(tài)下1h 的碰撞次數(shù)；在其他條件（線段長度、點(diǎn)拋出的正態(tài)分布、點(diǎn)均勻布滿時間及記錄時間）不變的情況下，改變拋出的車流量，以0.01作為車流量變動的最小單位；引入C++語言對上述過程進(jìn)行編程計算，并根據(jù)得出的統(tǒng)計量使用MATLAB 擬合、修勻并給出相應(yīng)表達(dá)式。通過引入C++語言對上述過程進(jìn)行編程計算，得出的數(shù)據(jù)如表1和圖2所示。

表1 車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

表1（續(xù)）

圖2 車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

根據(jù)得出的統(tǒng)計量使用MATLAB 擬合、修勻，相應(yīng)表達(dá)式為：

2.1.3 模型分析

在定量分析中，通過1h 的計量，可以清晰地看到隨著車流量的增加，超車次數(shù)在逐漸變大，但當(dāng)車流量達(dá)到0.40veh/h 以后，超車次數(shù)變得穩(wěn)定，也就是說在車流量達(dá)到0.40veh/h 后，曲線一改前一階段的變化規(guī)律，趨于穩(wěn)定。此點(diǎn)過后，模擬的曲線性質(zhì)發(fā)生了極大變化。

模型函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3 車流量與超車次數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

在二階導(dǎo)數(shù)中，如果x∈[ ]a,b,且時，在此區(qū)域函數(shù)為凹函數(shù)，如果x∈[b ,c],并且時，在此區(qū)域函數(shù)為凸函數(shù)，此時x=b 時為凹凸函數(shù)的臨界點(diǎn)，此二階導(dǎo)數(shù)的臨界點(diǎn)為：x1=0.02，x2=0.2403。在當(dāng)車流量臨界點(diǎn)，原函數(shù)的凹凸性瞬間發(fā)生變化，就可以依據(jù)這兩個點(diǎn)確定最佳的車流量，即0.05veh/s和0.24veh/s（對原數(shù)據(jù)向下取證），但是車流量為0.02veh/h，道路的車流量極少相對0.24veh/s 時更加浪費(fèi)資源，最后確定最佳車流量應(yīng)確定為0.24veh/s。

現(xiàn)考慮車流量對超車率的影響，認(rèn)為超車率越高潛在風(fēng)險就越大。根據(jù)已有文獻(xiàn)，可知車流量達(dá)到500veh/h，即0.14veh/s時超車率最大，同時也是潛在風(fēng)險最大的點(diǎn)的車流量，隨著車流量的邊緣化，超車率逐漸變小，同時潛在風(fēng)險也在變小。當(dāng)車流量為0.24veh/s 時，超車率為約為5%，潛在風(fēng)險為最高時的5%/0.13%=38.46%，這樣認(rèn)為是相對安全的。實(shí)際放行車輛與超車率的關(guān)系如圖4所示。

圖4 實(shí)際放行車輛與超車率的關(guān)系

2.1.4 模型結(jié)論

在安全和流量同時權(quán)衡時，可以車流量為0.24veh/s為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為0.01veh/s，即控制流量在0.23～0.25veh/s 時交通更有效率且有相對安全。

2.2 不同正態(tài)分布下的車流量與超車次數(shù)的關(guān)系

2.2.1 模型方法

為了研究速度上下限的控制對整個系統(tǒng)最佳放行量的影響，在上述模型的基礎(chǔ)上增加一個變量，即改變速度的期望值來實(shí)現(xiàn)改變所拋出質(zhì)點(diǎn)速度的正態(tài)分布形式，依次為X～N(33.3,4.822)、X～N(27.6,4.822)、X～N(23.68,4.822)、X～N(19.4,[4.822)]和X～N(16.6，4.822) 。

同理，使用C++進(jìn)行模擬，并根據(jù)得出的統(tǒng)計量使用MATLAB 擬合、修勻，不同正態(tài)分布下的放行車輛與超車次數(shù)的關(guān)系如圖5所示。

圖5 不同正態(tài)分布下的放行車輛與超車次數(shù)的關(guān)系

2.2.2 模型分析

不同的車速控制下，曲線的形狀并未發(fā)生巨大變化，依舊是先隨著車流量的增大，超車次數(shù)緩慢增大；再經(jīng)歷一段快速走高的態(tài)勢；最后，均在0.4veh/s后達(dá)到平穩(wěn)。

模型函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)圖像如圖6所示。

圖6 不同正態(tài)分布下的放行量與超車次數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

基于上述最佳通行量的選擇方法，X～N(33.3,4.832)、X～N(27.6,4.832)、X～N(23.68,4.832)、X～N(19.4,4.832)和X～N(16.6,4.832)的最佳通行流量依次為0.22veh/s、0.24veh/s、0.24veh/s、0.25veh/s 和0.25veh/s，所以行車速度的管制并沒有太多的改變超車次數(shù)，這樣就認(rèn)為速度管制不會影響車流量。

考慮車流量和與超車率的關(guān)系：根據(jù)上述的文獻(xiàn)資料可以知道車流量為860veh/h，即0.24veh/s時安全性越高，所以取0.24veh/s為相對較安全的車流量，這樣就認(rèn)為速度管制不會影響相對安全車流量。

2.2.3 模型結(jié)論

在安全和流量同時權(quán)衡時，可以以車流量為0.24veh/s為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為0.01veh/s。所以控制流量在0.23～0.25veh/s 時交通更有效率且有相對安全。這樣就得出：速度管制并沒有有效提高車流量和安全度。

3 智能交通的超車模型實(shí)例

在實(shí)際道路中，超車與否不僅僅取決于車速，還取決跟車距離，以及個人的駕駛超車意愿等因素，而整個道路系統(tǒng)中，若其中某一輛車以上某一因素改變，必會導(dǎo)致后面車輛產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，故不能簡單地靜態(tài)分析整個車道系統(tǒng)，同時由于動態(tài)分析會導(dǎo)致問題的連鎖反應(yīng)，也不宜采用此方法。在此，試圖嘗試從微觀的角度考慮兩輛車之間的超車行為，進(jìn)而引進(jìn)單輛汽車的智能駕駛，以構(gòu)建整個智能的駕駛系統(tǒng)。

假設(shè)微觀系統(tǒng)中，僅含兩輛汽車，分別為前面的汽車A和后面的汽車B，且均服從右側(cè)駕駛規(guī)則。首先由汽車B上的距離傳感器檢測出車A和車B 之間的距離，記為L，當(dāng)L到達(dá)一個臨界超車距離Lo時，開始考慮前后車速，這時前后車的車速由速度傳感器測定，記前車車速為va，后車車速為vb，當(dāng)va≥vb時，不考慮超車；但va＜vb時，才考慮從左側(cè)超車。此時的系統(tǒng)開始進(jìn)一步計算超車加速度這個過程中設(shè)定汽車有一個最大加速度amax，當(dāng)a＜amax時，開始超車。當(dāng)然，這個過程中還需檢測A車的加速度aa，當(dāng)aa＞0時，即前車處于加速階段，給B車系統(tǒng)一個反饋信號，不允許B車超車，這也符合的法律規(guī)定；當(dāng)aa≤0 時，開始考慮從左側(cè)超車。這樣微觀智能汽車系統(tǒng)已經(jīng)建成。對整體道路系統(tǒng)而言，系統(tǒng)是由很多無序的微觀系統(tǒng)構(gòu)成，當(dāng)微觀系統(tǒng)穩(wěn)定時，智能道路系統(tǒng)也是穩(wěn)定的，即此時道路系統(tǒng)可以正常運(yùn)行。

4 結(jié)語

基于前兩個模型的分析可知，在保證安全的前提下要使效率達(dá)到最高，可以以車流量為0.24veh/s為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為0.01veh/s，即控制流量在0.23～0.25veh/s 時既可以使交通更有效率且有相對安全，同時速度管制并沒有有效提高車流量和安全度。綜上所述，在高速公路的匝道口日放行量每晝夜為39744～43200時既保證安全，又確保效率。

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