基于統(tǒng)計(jì)線性化伴隨法的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)精度分析

彭紹雄，王海濤，安進(jìn)，鄒強(qiáng)

(1.海軍航空工程學(xué)院飛行器工程系，山東煙臺(tái)264001;2.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001)

0 引言

對(duì)于導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)這種復(fù)雜的、具有多種隨機(jī)輸入的非線性時(shí)變系統(tǒng)［1］，主要采用蒙特卡羅法(Monte-Carlo)進(jìn)行精度分析。蒙特卡羅法的仿真精度與模擬計(jì)算的次數(shù)相關(guān)，需要耗費(fèi)大量機(jī)時(shí)才能達(dá)到較高的精度，不適于大量的計(jì)算分析。隨著伴隨技術(shù)(AT)和協(xié)方差描述函數(shù)技術(shù)(CADET)的相繼發(fā)展，大大簡(jiǎn)化了對(duì)具有隨機(jī)輸入的非線性時(shí)變系統(tǒng)的分析過程，提高了分析效率［2-3］。

由協(xié)方差描述函數(shù)法和伴隨技術(shù)相結(jié)合構(gòu)成了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)完整的統(tǒng)計(jì)性能分析方法，即統(tǒng)計(jì)線性化伴隨法(SLAM)。本文運(yùn)用該方法對(duì)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)在多種隨機(jī)干擾因素作用下的制導(dǎo)精度進(jìn)行分析，不僅可以得到與CADET分析一樣的均方根散布，同時(shí)還集合了AT法的優(yōu)點(diǎn)，能夠提供各種干擾對(duì)總的均方根值的影響，更為全面地反映了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性能。

1 統(tǒng)計(jì)線性化伴隨法

導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)為非線性時(shí)變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可表示為:

式中，x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;F(t)為狀態(tài)矩陣;f(x，t)=［f1，f2，…，fn］T為非線性向量函數(shù);G(t)為輸入矩陣;w(t)為外部干擾，由一均值向量b(t)和一隨機(jī)分量u(t)組成，且u(t)是具有譜密度Q(t)的白噪聲過程。

1.1 系統(tǒng)協(xié)方差分析

運(yùn)用描述函數(shù)理論將非線性向量函數(shù)f(x，t)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)線性化:

系統(tǒng)狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差傳播方程為:

1.2 伴隨系統(tǒng)的構(gòu)建

由式(1)～式(3)可得:

即

式中，r=x－m，r為系統(tǒng)狀態(tài)向量的隨機(jī)部分，為零均值的隨機(jī)量。

系統(tǒng)的輸出為y=Cr，于是得出SLAM模型為:

初始條件為 r(t0)=r0，0≤t≤tf。

根據(jù)伴隨系統(tǒng)的形成規(guī)則，可得伴隨系統(tǒng)為［4-5］:

1.3 均方根計(jì)算

設(shè)系統(tǒng)的第i個(gè)白噪聲輸入信號(hào)為ui(t)，根據(jù)文獻(xiàn)［6］的推導(dǎo)，ui(t)引起的均方根散布表達(dá)式為:

式中，Φi為ui(t)的譜密度。上式說明了均方根脫靶量與噪聲功率譜密度的關(guān)系，也就給出了各個(gè)輸入噪聲對(duì)導(dǎo)彈脫靶量的影響。

由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)輸出y(tf)的總方根散布σy(tf)為:

這樣不僅得到了y(tf)的均方根散布，而且得到了均方根散布分量σyi(tf)。

2 制導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

某導(dǎo)彈采用雷達(dá)導(dǎo)引頭，制導(dǎo)系統(tǒng)包括導(dǎo)引頭、自動(dòng)駕駛儀、制導(dǎo)規(guī)律、目標(biāo)機(jī)動(dòng)及導(dǎo)彈目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)環(huán)節(jié)等，其相互關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of missile guidance system

2.1 導(dǎo)引頭模型

根據(jù)導(dǎo)引頭的動(dòng)態(tài)特性建立導(dǎo)引頭模型，將導(dǎo)引頭簡(jiǎn)化為一階環(huán)節(jié)，輸入輸出關(guān)系為［7］:

式中，u為導(dǎo)引頭的輸出信號(hào);τ為導(dǎo)引頭時(shí)間常數(shù);W1為測(cè)角速度偏差，用高斯白噪聲表示。

2.2 自動(dòng)駕駛儀模型

導(dǎo)彈的加速度回路可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為:

式中，TC為時(shí)間常數(shù);ξC為阻尼系數(shù);nC為指令過載;為無(wú)彈體過載限幅時(shí)彈體對(duì)控制指令的響應(yīng)。須加以限制，限制過程用飽和非線性表示:

式中，nL為彈體實(shí)際過載;nm為導(dǎo)彈最大允許過載。

2.3 導(dǎo)彈、目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

假設(shè)導(dǎo)彈、目標(biāo)處于同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為:

式中，R為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)距離;q為目標(biāo)視線角;V，VT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度;θ，θT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度航向角［8］。

2.4 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)目標(biāo)速度Vt為常值，橫向加速度at是隨機(jī)變化的，視為一階馬爾可夫過程，其傳遞函數(shù)為一階低通濾波器，其功率譜密度函數(shù)為:

式中，σat為加速度均方根，反映目標(biāo)的加速度水平;ωt為目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶寬。用白噪聲模擬時(shí)，其傳遞函數(shù)為一階低通濾波器

目標(biāo)橫向加速度用微分方程表示為［6］:

式中，W2為白噪聲輸入;ωt為目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶寬。

2.5 隨機(jī)風(fēng)模擬

鑒于風(fēng)向變化的多樣性，只考慮側(cè)向陣風(fēng)的影響。側(cè)向陣風(fēng)可以看作是由均值風(fēng)和大氣紊流組成。均值風(fēng)不用模擬，側(cè)向紊流采用Dryden大氣紊流模型模擬，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為:

3 制導(dǎo)精度統(tǒng)計(jì)分析

式中，nC=KVx1，nC為指令過載。分別取f1=f(x3)，

將以上狀態(tài)方程寫成矢量形式為:

式中，F(xiàn)，D及G中大部分都是零元素，限于篇幅，不在此給出。對(duì)非線性函數(shù)f進(jìn)行統(tǒng)計(jì)線性化，求出對(duì)應(yīng)的描述函數(shù)和Nf。

式中，P=P66－2P64+P44;b1=sin(m6－m4);b2=cos(m6－m4)。

由N=F+DNf，可得輔助矩陣N如下:

4 仿真結(jié)果及分析

已知導(dǎo)彈與目標(biāo)的初始距離R=9 km，目標(biāo)飛行速度VT=400 m/s，導(dǎo)彈的初始飛行速度V0=800 m/s，導(dǎo)引系數(shù)K=4。針對(duì)不同的隨機(jī)干擾因素，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)對(duì)相對(duì)距離均方根的影響Fig.2 Effect of target maneuver on RMSof relative distance

由圖2可知，相對(duì)距離均方根隨導(dǎo)引時(shí)間的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶寬ωt=0.05 Hz時(shí)，7.5 s時(shí)的均方根值為0.415 m;當(dāng)ωt增大至0.10 Hz時(shí)，相應(yīng)的均方根值為0.837 m，表明目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶寬對(duì)相對(duì)距離均方根的影響比較顯著。這是由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶寬增加引入高頻分量，使得橫向加速度隨機(jī)波動(dòng)性增大，直接導(dǎo)致脫靶量和均方根散布的增加［9］。

圖3 隨機(jī)風(fēng)對(duì)相對(duì)距離均方根的影響Fig.3 Effect of random wind on RMSof relative distance

由圖3可以看出，側(cè)向陣風(fēng)作用時(shí)相對(duì)距離均方根值很小，因?yàn)閭?cè)風(fēng)的干擾作用主要表現(xiàn)在對(duì)側(cè)滑角的影響，使彈體產(chǎn)生一個(gè)附加的側(cè)滑角Δβ≈W3sin(ψ'－ψ)/V，而側(cè)向陣風(fēng)風(fēng)速 W3相比彈體速度V要大很多，即風(fēng)對(duì)彈體的側(cè)滑運(yùn)動(dòng)影響不大，產(chǎn)生的脫靶量很小。

圖4 導(dǎo)引頭噪聲對(duì)相對(duì)距離均方根的影響Fig.4 Effect of seeker noise on RMSof relative distance

由圖4可知，導(dǎo)引頭噪聲對(duì)相對(duì)距離均方根的影響隨導(dǎo)引時(shí)間的增加不斷增大。相比側(cè)向陣風(fēng)的作用，導(dǎo)引頭噪聲的影響更為顯著。

在目標(biāo)機(jī)動(dòng)、側(cè)向陣風(fēng)及導(dǎo)引頭噪聲這三個(gè)因素中，影響相對(duì)距離均方根最主要的因素是目標(biāo)機(jī)動(dòng)，其次是導(dǎo)引頭噪聲，而側(cè)向陣風(fēng)的作用十分有限。

將目標(biāo)機(jī)動(dòng)、側(cè)向陣風(fēng)及導(dǎo)引頭噪聲全部加入到系統(tǒng)中，運(yùn)用SLAM進(jìn)行計(jì)算。為了便于比較各種方法的優(yōu)劣，還分別采用CADET和Monte-Carlo進(jìn)行了仿真計(jì)算，其中Monte-Carlo分別進(jìn)行了n=200，300，400，500 次試算，在圖 5 中只給出了 n=400，500次的計(jì)算結(jié)果。

圖5 綜合干擾因素對(duì)相對(duì)距離均方根的影響Fig.5 Effect of comprehensive interference factors on RMSof relative distance

從圖5可以看出，SLAM的結(jié)果與Monte-Carlo進(jìn)行了500次計(jì)算的結(jié)果基本接近，且反映的均方根變化規(guī)律一致，兩者具有同等的計(jì)算精度，只是因?yàn)榘殡S時(shí)間(tadd=tf－t)使均方根曲線反向;SLAM除了得到相對(duì)距離均方根，還能夠得到各個(gè)干擾項(xiàng)對(duì)均方根散布的影響，因此SLAM比CADET更具有優(yōu)越性，是評(píng)價(jià)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)精度更為有效的工具。

5 結(jié)束語(yǔ)

以某型導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)為例，綜合考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)、隨機(jī)風(fēng)干擾以及導(dǎo)引頭噪聲的作用，對(duì)導(dǎo)彈制導(dǎo)精度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。研究了各種隨機(jī)干擾對(duì)總均方根值的影響，并與CADET和Monte-Carlo的仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，得到了更為全面、有效的分析結(jié)果，為導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的性能分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了有力參考。

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