基于多元線性回歸的HTEM三維異常體電導(dǎo)率－深度識別

嵇艷鞠，馮 雪，于明媚，徐 江，呼彥樸，關(guān)珊珊

吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院/地球信息探測儀器教育部重點實驗室，長春 130026

0 引言

時域航空電磁法（helicopter－borne timedomain electromagnetic method，HTEM）被成功應(yīng)用于金屬礦勘查、地質(zhì)填圖、水文地質(zhì)調(diào)查和環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域［1－3］。該方法具有快速、經(jīng)濟、勘探深度大、解釋精度高、分辨率高等優(yōu)點，是礦產(chǎn)資源勘查的有效方法之一，尤其適用于我國老礦區(qū)周邊尋找新礦以及深部找礦［4］。

目前，時域航空電磁數(shù)據(jù)處理主要集中在電導(dǎo)率深度轉(zhuǎn)換、電導(dǎo)率深度成像方面。王緒本等［5－6］計算了視電阻率以及一維反演、二維近似反演方面的研究。強建科等［7］進(jìn)行了時域航空全區(qū)視電阻率計算研究。朱凱光等［8］研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、主成分分析等電導(dǎo)率－深度成像方法，并取得了良好效果。

在航空電磁飛行測量時，每個飛行架次測量的數(shù)據(jù)量在幾萬兆字節(jié)以上，數(shù)據(jù)量很大，進(jìn)行電導(dǎo)率深度成像（conductivity depth imaging，CDI）需要花費大量時間。因此，學(xué)者們開始研究航空電磁數(shù)據(jù)的快速解釋和異常識別方法。Liu［9］基于水平薄板，將電阻率－深度圖像用于航空瞬變電磁數(shù)據(jù)處理中。Smith等［10］研究球體模型的電導(dǎo)率離散方法，進(jìn)而推斷導(dǎo)體的深度。Claprood等［11］采用加權(quán)多元線性回歸方法，基于薄板模型對電磁異常進(jìn)行了檢測和精細(xì)識別，并在加拿大地區(qū)薄板類VMS（volcanogenic massive sulphides）礦床進(jìn)行了驗證，并取得了較好的效果。

目前計算時域三維異常體的電磁響應(yīng)已實現(xiàn)，為開展三維異常體的快速識別奠定了基礎(chǔ)。筆者基于航空瞬變電磁理論，用三維異常體模型近似表示地下復(fù)雜的礦體分布，計算不同電導(dǎo)率、深度的異常體響應(yīng)值，提取屬性后，應(yīng)用社會科學(xué)統(tǒng)計軟件包（statistical product and service solutions，SPSS）進(jìn)行回歸分析［12］。建立異常體電導(dǎo)率、深度與屬性之間的回歸方程，進(jìn)而實現(xiàn)異常體的電導(dǎo)率和深度快速計算。

1 三維模型樣本建立及屬性提取

筆者基于三維有限差分?jǐn)?shù)值計算方法［13－15］，結(jié)合吉林大學(xué)研制的直升機時域電磁測量系統(tǒng)參數(shù)［16］，計算了多組直立三維異常體的三分量感應(yīng)電動勢Vx（t）、Vy（t）、Vz（t）（t為取樣時間），構(gòu)建了三維異常體模型電磁響應(yīng)樣本庫。時域航空電磁系統(tǒng)工作參數(shù)如表1所示。三維異常體模型計算參數(shù)如表2所示。

表1 航空電磁系統(tǒng)工作參數(shù)Table 1 Operating parameters of airborne electromagnetic system

表2 航空三維異常體模型計算參數(shù)Table 2 Calculation parameters of airborne three－dimensional anomalies model

對上述感應(yīng)電動勢Vx（t）、Vy（t）、Vz（t）進(jìn)行取樣，t為0.2～1.5ms，得到一系列反應(yīng)三維異常體電磁響應(yīng)與位置關(guān)系的剖面曲線。剖面曲線形態(tài)基本包含以下幾種情況：單峰異常、雙峰異常和多峰異常，如圖1所示。

為提取表示三維異常體特征的電磁屬性，以判斷地下異常體的形狀、長度和時間獨立性，我們定義了如下參數(shù)：Vx1（t）為x方向感應(yīng)電動勢的較大峰值，Sx1為Vx1（t）所對應(yīng)的橫坐標(biāo)，即異常體相對于原點的水平位移；Vx2（t）為x方向感應(yīng)電動勢的較小峰值，Sx2為Vx2（t）所對應(yīng)的橫坐標(biāo)。同上，Vz1（t），Sz1，Vz2（t），Sz2為相應(yīng)的z方向的參數(shù)。V1為較大峰值所對應(yīng)的總感應(yīng)電動勢，V2為較小峰值所對應(yīng)的總感應(yīng)電動勢?？偢袘?yīng)電動勢公式表示為

電磁屬性的定義如表3所示。按航空三維異常體模型的計算參數(shù)，將相應(yīng)計算得到的感應(yīng)電動勢和7個電磁屬性整理到一起，即得到三維異常體模型的樣本庫。

2 多元線性回歸方程建立

在建立航空三維異常體模型樣本庫，提取電磁響應(yīng)屬性的基礎(chǔ)上，建立流程圖如圖2所示的回歸方程。

表3 電磁屬性定義Table 3 Definition of meaning of attributes

具體步驟如下。

1）以三維異常體的電導(dǎo)率、深度為因變量，建立電導(dǎo)率、深度參數(shù)全回歸方程；

2）應(yīng)用學(xué)生化剔除殘差和庫克距離2個參量對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行離群值診斷，一旦出現(xiàn)離群值，將該組數(shù)據(jù)剔除，重新建立全回歸方程，再進(jìn)行離群值診斷，直到樣本數(shù)據(jù)中不存在離群值為止；

3）從方差擴大因子、特征值、條件索引、方差比例4個方面進(jìn)行多重共線性診斷，如果存在多重共線性，采用逐步回歸方法剔除一些不重要的自變量，進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化；

圖1 剖面曲線的屬性參數(shù)描述Fig.1 Attribute parameters of profile curve

圖2 回歸方程建立流程圖Fig.2 Flow chart of building regression equation

4）最后采用逐步回歸法，建立電導(dǎo)率、深度參數(shù)的最優(yōu)回歸方程。

2.1 電導(dǎo)率參數(shù)回歸方程

2.1.1 全回歸方程的建立

采用已有樣本庫中的722組數(shù)據(jù)，將異常體電導(dǎo)率作為回歸方程的因變量，本文定義的7個屬性作為自變量，把自變量全部引入到回歸方程中，建立全回歸方程?；?OLSE（ordinary least square estimation），建立電導(dǎo)率的全回歸方程，表達(dá)式為

式中：α1—α7前面的系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)，即消除了因變量與自變量所取單位影響的回歸系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)的絕對值大小直接反映了它所對應(yīng)的自變量對因變量的影響程度。

初步建立回歸方程后，根據(jù)回歸診斷理論，對回歸方程的合理性、準(zhǔn)確性和可靠性進(jìn)行檢查，進(jìn)而不斷地改善和提高回歸分析的質(zhì)量［16］，得到最優(yōu)的回歸方程。

2.1.2 方程的診斷

回歸方程一旦出現(xiàn)離群值或者多重共線性問題，將導(dǎo)致方程精度降低或使方程不穩(wěn)定。

1）離群值診斷

離群值主要指回歸方程中的異常值［17］，它的存在將導(dǎo)致統(tǒng)計分析誤差增大、測量精度降低。筆者通過學(xué)生化剔除殘差對全回歸方程（2）的因變量進(jìn)行離群值診斷，采用庫克距離對自變量數(shù)據(jù)進(jìn)行離群值診斷［18］。

首先進(jìn)行因變量的離群值診斷。第i個觀測值的學(xué)生化剔除殘差eSDRi的表達(dá)式為

式中：eSDRi為第i個觀測值的學(xué)生化殘差；n為樣本數(shù)據(jù)數(shù)；p為自變量數(shù)。在利用學(xué)生剔除化殘差診斷異常值時，一般認(rèn)為｜eSDRi｜＞3的相應(yīng)觀測值為異常值［19］；而全回歸方程（2）｜eSDRi｜的極大值為2.306，故因變量的樣本數(shù)據(jù)中無離群值。

而后進(jìn)行自變量的離群值診斷。需要先判斷樣本數(shù)據(jù)中的強影響點。hii為H（因變量的帽子矩陣）主對角線的第i個元素，也稱為杠桿值，將杠桿值中心化為

其平均值為

當(dāng)或時，樣本點為強影響點，本文取前者。若某一點被判斷為強影響點，需要進(jìn)一步計算該樣本點對應(yīng)的庫克距離來判斷該離群值是否由自變量的原因?qū)е隆?/p>

第i個觀測值對應(yīng)的庫克距離Di的表達(dá)式為

式中：ei為殘差為誤差項的方差。

若所測樣本數(shù)據(jù)的庫克距離極大值大于1，則認(rèn)為存在由自變量的原因產(chǎn)生的離群值［19］。電導(dǎo)率回歸方程（2）的庫克距離極大值為3.165，故判斷自變量存在離群值。

基于以上診斷剔除因變量和自變量的離群值，重新建立回歸方程：

回歸方程（5）的復(fù)相關(guān)系數(shù)R＝0.784，統(tǒng)計量F＝162.722。當(dāng)分子自由度為7、分母自由度為712時，查表得顯著性水平取0.05所對應(yīng)的F值為F0.05＝2.022 4。由于F＞F0.05，故離群值診斷后所建立的方程顯著。

2）共線性診斷

如果建立的回歸方程存在多重共線性，回歸參數(shù)估計量的抽樣誤差就會偏大；同時，回歸參數(shù)值和符號都會不穩(wěn)定。這些問題會使建立的回歸方程失去實際意義，因此要對全回歸方程（2）進(jìn)行共線性診斷。

一種是利用方差擴大因子法進(jìn)行診斷。若某個自變量對應(yīng)的方差擴大因子VIF（variance inflation factor）≥10，則此自變量與其余自變量之間有嚴(yán)重的多重共線性，需要對此自變量進(jìn)行處理。經(jīng)計算，文中定義的7個自變量中，只有α3對應(yīng)的VIF3＝37.032≥10和α4對應(yīng)的VIF4＝43.452≥10，所以α3、α4與其余自變量之間存在多重共線性。

另一種是利用特征根判定法進(jìn)行共線性診斷，表4給出了在維數(shù)逐漸增加時對全回歸方程（2）診斷結(jié)果。X是多元線性回歸中的設(shè)計矩陣，維數(shù)是指觀測樣本的組數(shù)。當(dāng)維數(shù)為8時，X′X的特征根為0。根據(jù)矩陣行列式的性質(zhì)可知，若｜X′X｜＝0，則由特征根判定法推斷該方程存在多重共線性［19］。另外，若存在條件數(shù)k≥10，說明各自變量間存在多重共線性。由SPSS軟件計算，計算結(jié)果最大的條件數(shù)k8＝129.77，由此也可推斷方程存在較強的多重共線性。

2.1.3 逐步回歸方程

為了消除多重共線性的影響，筆者采用逐步回歸法剔除一些不重要的自變量，建立逐步回歸方程［20］。

在逐步回歸中，引進(jìn)變量和剔除變量的顯著性水平是不同的，進(jìn)入方程的顯著性水平取0.05，出方程的顯著性水平取0.10，不符合這些指標(biāo)的自變量會被SPSS軟件自動剔除。表5給出了自變量逐步引入的過程。一般認(rèn)為：R2越大，且越接近于1.000，則回歸方程顯著性越高，效果越理想；SSE（殘差平方和）越小，則方程建立的效果越好。表5顯示的是按標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)的大小引入自變量的過程，其結(jié)果說明，隨著自變量的引入，回歸方程的效果逐漸變好。

表4 全回歸方程共線性診斷結(jié)果Table 4 Results of multicollinearity diagnosis of the full regression equation

表5 逐步方程的引元過程Table 5 Process of importing the independent variables in the stepwise regression

最后，建立電導(dǎo)率的逐步回歸方程表達(dá)式為

在回歸方程表達(dá)式（8）中：經(jīng)計算驗證，自變量α1，α5，α6的方差擴大因子均小于10，說明該方程中不存在多重共線性；F統(tǒng)計量顯著性為0，故自變量整體對因變量高度顯著；t分布雙尾顯著性概率皆小于0.05，故標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)都顯著。另外由（8）可知，自變量α5的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)的絕對值最大，因此α5對因變量的影響最大。

2.2 深度參數(shù)回歸方程

由表2提供的參數(shù)，筆者共計算得到209組不同深度的樣本模型。根據(jù)與電導(dǎo)率參數(shù)回歸方程相同的步驟，建立深度參數(shù)全回歸方程。進(jìn)行離群值和共線性診斷后，建立異常體深度的逐步回歸方程，其表達(dá)式為

3 回歸方程正確性分析

根據(jù)時域電磁場理論，三維異常體的電導(dǎo)率直接決定了電場和磁場衰減曲線的規(guī)律［21］，以及剖面曲線的半峰值寬度，而衰減曲線和剖面曲線的這些性質(zhì)直接影響了α5、α1、α6的值。由此可見，電導(dǎo)率與α5、α1、α6是互相制約、互相影響的，這從理論上說明在以電導(dǎo)率為因變量的回歸方程引入自變量α5、α1、α6是正確的。與此同時，將本文的回歸方程與Maxime Claprood［11］建立電導(dǎo)率的逐步回歸方程進(jìn)行對比，引入的自變量相同，與本文結(jié)論一致。

電磁波傳播的趨膚深度與異常體的電導(dǎo)率、電磁響應(yīng)的衰減快慢有直接關(guān)系，這些性質(zhì)與電磁屬性α4，α5相關(guān)。因此，深度參數(shù)的回歸方程引入自變量α4，α5是合理的；并且這與Palacky等［22］的結(jié)論一致。

表6給出了電導(dǎo)率和深度逐步回歸方程的調(diào)整R2和SSE值。可以看出，深度參數(shù)的調(diào)整R2接近于1.000，其逐步回歸方程高度顯著，說明深度回歸方程有效。在建立電導(dǎo)率方程時，采用的樣本數(shù)據(jù)量較小，三維正演模型電導(dǎo)率的取值偏離正態(tài)分布較大，導(dǎo)致其調(diào)整R2較小。盡管如此，由于建立電導(dǎo)率方程的SSE值較小，這說明電導(dǎo)率回歸方程依然有效。

表6 逐步回歸方程參數(shù)Table 6 Parameter of regression equation

4 模型精度和校驗精度

模型精度顯示回歸方程對建立此方程的樣本數(shù)據(jù)的適應(yīng)情況；校驗精度顯示回歸方程對樣本以外數(shù)據(jù)的適應(yīng)情況。筆者利用相對誤差來檢驗?zāi)Ｐ途群托ｒ灳?。假設(shè)三維異常體模型的實際參數(shù)為ψ0，其估計值為，該參數(shù)相對誤差為

采用用來建立回歸方程的722組電導(dǎo)率數(shù)據(jù)、209組深度數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行回歸方程的模型精度測試。當(dāng)取樣時間t為0.2～1.5ms時，電導(dǎo)率模型的相對誤差為1.14%～11.95%，深度模型的相對誤差為0.36%～13.19%。

由于現(xiàn)有數(shù)據(jù)的限制，筆者選取6組非檢測模型精度的數(shù)據(jù)模型（圖3）對回歸方程進(jìn)行校驗精度分析。6組模型的布線方式均為中心回線方式，異常體尺寸均為60m×60m×60m，圍巖電導(dǎo)率均為0.01S/m，異常體電導(dǎo)率和深度如表7所示。計算結(jié)果為：當(dāng)t為0.20～0.37ms時，電導(dǎo)率校驗的相對誤差為0%～19.07%；當(dāng)t為0.46～0.87ms時，深度校驗的相對誤差為0.39%～11.15%。此結(jié)果說明電導(dǎo)率、深度回歸方程對一個異常體的模型識別較準(zhǔn)確，適用性較好。

圖3 校驗?zāi)Ｐ鸵籉ig.3 Calibration mode one

表7 航空三維異常體校驗?zāi)Ｐ碗妼?dǎo)率及深度Table 7 Conductivity and depth of airborne three－dimensional anomalies calibration model

為了進(jìn)一步探究回歸方程（8）和（9）的適用性，筆者計算了同時存在兩個異常體的模型。異常體1的尺寸為60m×60m×60m，異常體2的尺寸為30m×30m×30m，其他參數(shù)如圖4所示。計算模型的感應(yīng)電動勢值，并提取屬性后，將相應(yīng)屬性帶入電導(dǎo)率逐步回歸方程（8）和深度逐步回歸方程（9）。當(dāng)t為0.2～0.5ms時：取40m為ψ0進(jìn)行對深度的精度校驗，相對誤差為2.76%～40.47%；取10S/m為ψ0進(jìn)行電導(dǎo)率精度校驗，相對誤差為2.46%～29.13%；取0.1S/m為ψ0進(jìn)行電導(dǎo)率精度校驗，相對誤差均大于100%。由此可知，兩個異常體的總電導(dǎo)率效果趨近于異常體1單獨存在的電導(dǎo)率，此回歸方程用于檢測兩個異常體時精度不高；說明筆者建立的回歸方程用于兩個異常體的模型識別時結(jié)果不準(zhǔn)確，適用性較差。

圖4 校驗?zāi)Ｐ投﨔ig.4 Calibration mode two

5 結(jié)語

時域航空電磁飛行測量數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)解釋困難，筆者在建立三維異常體的電磁響應(yīng)樣本庫的基礎(chǔ)上，采用多元線性回歸法，建立異常體電導(dǎo)率、深度的多元回歸方程。筆者通過調(diào)整分析回歸方程的相關(guān)系數(shù)和殘差平方和，計算模型精度和校驗精度，并且建立電導(dǎo)率回歸方程和深度回歸方程，分別與Maxime Claprood的電導(dǎo)率回歸方程和Palacky的深度回歸方程進(jìn)行對比，結(jié)果顯示引入的自變量相同，與本文結(jié)論一致，說明本文采用逐步回歸法建立三維異常體電導(dǎo)率和深度方程是完全可行的，是一種有效、準(zhǔn)確、快速的識別方法。

筆者在建立電導(dǎo)率、深度回歸方程時，采用的模型數(shù)據(jù)量相對來說較少，電導(dǎo)率取值分布不成正態(tài)分布，這導(dǎo)致當(dāng)樣本數(shù)據(jù)發(fā)生改變時，回歸方程不穩(wěn)定。當(dāng)?shù)叵掠袃蓚€異常體時，回歸方程的識別效果不太理想。只有當(dāng)模型數(shù)量足夠多，充分考慮異常體的多樣性，才可以提高回歸方程的穩(wěn)定性，進(jìn)而真正用于野外航空電磁飛行測量時的海量數(shù)據(jù)異?？焖贆z測和識別。

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