線性代數(shù)課程教學(xué)中的問題探析

孟慶云

（河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南 鄭州 450001）

線性代數(shù)課程教學(xué)中的問題探析

孟慶云

（河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南 鄭州 450001）

針對線性代數(shù)課程教學(xué)過程中學(xué)生在不同階段遇到的一些問題，本文結(jié)合課程特點(diǎn)、現(xiàn)實(shí)狀況以及教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過實(shí)例分析的方式，相應(yīng)地給出教學(xué)過程中的三點(diǎn)建議，使學(xué)生在初期學(xué)習(xí)有章可循，中期學(xué)習(xí)時掌握核心思想方法，后期能夠靈活地綜合理解與應(yīng)用所學(xué)知識。

線性代數(shù)；教學(xué)；階段問題

線性代數(shù)是理、工、管等相關(guān)專業(yè)學(xué)生的一門重要的基礎(chǔ)課。由于課程本身的高度抽象性以及課程理論體系中概念多、定理多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多等特點(diǎn)，使得學(xué)生在初學(xué)時都會感到困難。本文在分析課程特點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)狀況的基礎(chǔ)上，對學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的過程中所遇到的共性問題進(jìn)行分析。針對他們在不同學(xué)習(xí)階段的這些共性問題，結(jié)合作者多年的課程教學(xué)實(shí)踐活動，通過實(shí)例分析的方式相應(yīng)地給出三點(diǎn)建議，使學(xué)生在初期學(xué)習(xí)有章可循，中期學(xué)習(xí)時掌握核心思想方法，后期能夠靈活地綜合理解與應(yīng)用所學(xué)知識。

1 把實(shí)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)理論作為初期矩陣學(xué)習(xí)的參照物

線性代數(shù)的高度抽象性是學(xué)生初學(xué)時感到困難的主要因素。因此，講授一些容易幫助學(xué)生建立直覺的數(shù)學(xué)模型是有必要的。但是，目前國內(nèi)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教材采用的是公理化體系，以實(shí)用為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)模型欠缺。特別地，對于線性代數(shù)這門課程，一般院校為這門課程安排的學(xué)時不超過50個（以被全國超過90%的院校采用的同濟(jì)5版的《工程數(shù)學(xué)——線性代數(shù)》為例），這種情況下，單純理論的完整講授就已經(jīng)比較緊張，這就使得帶有各種背景的具體數(shù)學(xué)模型的講授無暇安排。因此，要使學(xué)生在較短的時間理解矩陣的相關(guān)概念及運(yùn)算是困難的。

針對上述問題，建議在教學(xué)一開始，引導(dǎo)學(xué)生將其熟知的實(shí)數(shù)運(yùn)算作為初期矩陣學(xué)習(xí)的參照物。這樣，使學(xué)生學(xué)習(xí)起來有物可比，有章可循。比如，從矩陣乘法不滿足消去律這一問題出發(fā)，通過引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)數(shù)對于乘法是如何做到滿足消去律的過程，引出矩陣可逆的相關(guān)概念，并順便解決矩陣乘法何時可滿足消去律這一問題。進(jìn)一步，通過讓學(xué)生回憶一元一次方程求解的過程，掌握用矩陣的逆求解矩陣方程的方法。這樣，通過比較學(xué)習(xí)，學(xué)生可以在較短的時間在對矩陣的相關(guān)運(yùn)算理論有比較完整、準(zhǔn)確地掌握；同時，這對學(xué)生在運(yùn)用已知理論（比如實(shí)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)理論）來“提出問題（矩陣運(yùn)算有哪些相關(guān)規(guī)律），分析問題并解決問題”的能力方面的培養(yǎng)是很好的鍛煉。并且，這種方法適用于各個學(xué)科的學(xué)生。

2 有意識地培養(yǎng)學(xué)生利用等價思想來解決線性代數(shù)中的問題

等價思想方法是線性代數(shù)課程中處理問題的最重要、最常用的方法。事實(shí)上，線性代數(shù)研究的正是矩陣在線性變換下的不變量。但在矩陣的相關(guān)概念與運(yùn)算理論學(xué)完后，學(xué)生往往對此整體思想不明確，使得其在中后期學(xué)習(xí)時非常盲目。常常出現(xiàn)的問題是：學(xué)生在面對一個題目時，即使通過練習(xí)知道如何解，但卻不知為什么要這樣做。這就是通常所說的“知其然不知其所以然”的狀況。這是脫離線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)的。比如，對矩陣秩的求法，是通過初等行變換將其化為行階梯形矩陣后數(shù)其非零行的個數(shù)。這就是用的等價思想方法。由于我們所研究的量（矩陣的秩）在初等行（列）變換下保持不變，因此可以利用初等變換將矩陣化為簡單的形式（行階梯形矩陣），再讀出其秩。在這個過程中，告訴學(xué)生線性變換就像一個個“照妖鏡”，利用其作為工具能夠?qū)⒆儞Q前的矩陣的一些本質(zhì)的東西照出來。類似地，求向量組的最大無關(guān)組以及相關(guān)向量表示等重要問題的解決都是利用這種思想。因此，在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中期，有意識的培養(yǎng)學(xué)生利用等價思想方法，對其后面的深入學(xué)習(xí)有指導(dǎo)性意義。

3 注重引導(dǎo)學(xué)生對同一對象不同表達(dá)形式的充分理解與靈活運(yùn)用

線性代數(shù)課程概念聯(lián)系緊密，理論縱橫交錯。特別到后期，理論綜合性加強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常遇到面對眾多理論卻不會解題的尷尬情形。分析這種情況出現(xiàn)的原因，其中主要一點(diǎn)是線性代數(shù)課程中符號多，而恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用符號能夠事半功倍。比如，線性方程組有一般形式、矩陣形式、向量形式等。在學(xué)生能夠熟練掌握齊次線性方程組的向量形式后，向量組的線性相關(guān)（無關(guān)）的判定可以由定義出發(fā)非常自然的轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的齊次線性方程組有（無）非零解的問題。從而將抽象的向量問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的方程組解的問題。再比如，學(xué)習(xí)完向量的正交這個概念后，齊次線性方程組有無非零解又可以理解為是否存在非零向量與其系數(shù)矩陣的各行向量正交。這樣，通過所學(xué)的新概念將以前的符號賦予新的意義，就能夠幫助學(xué)生將所學(xué)知識融會貫通，使其更加深入的理解并掌握它們。

線性代數(shù)課程課時少但內(nèi)容相當(dāng)豐富。因此，針對學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段的問題，探討一些適當(dāng)方法來解決是非常必要的。實(shí)踐教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)在線性代數(shù)課程教學(xué)的初、中、后期分別注意到以上三點(diǎn)，教學(xué)效果有明顯提高。

[1]李尚志.線性代數(shù)教學(xué)改革漫談[J].教育與現(xiàn)代化，2004（1）.

[2]趙慧斌.問題驅(qū)動是線性代數(shù)有效的教學(xué)方法之一[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008（11）.

[3]朱春鋼.向量組的線性相關(guān)性的教學(xué)方法與技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010（4）.

O151.2

A

1671-0037（2014）06-111-1

孟慶云（1982.10-），女，博士，講師，研究方向：有限群及其表示理論、代數(shù)圖論等。