基于證據(jù)推理的設(shè)計方案多屬性決策新方法

盧章平，李小蕾，袁 浩，劉 明

(江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

概念設(shè)計方案評價是一個典型的不確定多屬性決策問題，是近年來決策研究中的一個重要內(nèi)容，具有廣泛的應(yīng)用背景.處理多屬性決策問題的方法有很多種，也各自存在一些不足，例如，層次分析法是在評價決策中應(yīng)用較多的一種方法［1-3］，通過兩兩比較進行評價決策，缺點在于對不確定信息缺乏充分考慮，且兩兩比較矩陣難以保證一致性;模糊評價法主要有模糊綜合評價法和改進的模糊綜合評價法、模糊優(yōu)序法等［4-6］，利用隸屬度及模糊推理等方法對概念方案進行排序，不足在于確定隸屬度較困難易造成評價誤差;TOPSIS方法［7］和多屬性效用理論［8］往往只考慮定量指標忽略定性指標，而現(xiàn)實中的多屬性決策問題，尤其是概念設(shè)計方案評價問題常包含定性屬性;證據(jù)推理法也稱為Dempster-Shafer證據(jù)理論，是由 Dempster首先提出、后由 Shafer進一步發(fā)展的一種不精確推理理論，由于它能夠處理不確定和不完全信息，所以在概念設(shè)計方案評價中有著廣泛的應(yīng)用［9-13］，但證據(jù)推理在概念設(shè)計方案決策應(yīng)用過程中存在一些缺陷.首先，證據(jù)推理算法要求目標屬性的權(quán)系數(shù)是確定且完全的，在已有的證據(jù)推理方法中，權(quán)重大多采用主觀賦權(quán)法，由于決策者對問題認識或自身知識的局限性，給出的權(quán)重太主觀且無實際意義，有些文獻也提出構(gòu)建客觀權(quán)重，如文獻［10-11］引入信息熵的概念，利用熵權(quán)求得各屬性的客觀權(quán)重，但決策結(jié)果顯示方案排序不完全一致，僅依據(jù)評價系統(tǒng)中數(shù)據(jù)確定權(quán)值絕對客觀，有可能產(chǎn)生與實際相悖的權(quán)值;其次，證據(jù)推理算法要求基本屬性與廣義屬性應(yīng)具有相同的評價集，這在實際決策中較難做到，特別是對定性的基本屬性.

為了克服這些問題，文中以證據(jù)推理決策這一最具代表性的決策方法為基礎(chǔ)，引入反偏好函數(shù)的概念，利用主客觀因素相結(jié)合的反偏好函數(shù)法確定目標屬性的權(quán)重，以便決策者做出更合理的決策;通過建立不同反偏好階段的區(qū)間邊界值，確定統(tǒng)一的模糊評價集，以解決傳統(tǒng)證據(jù)推理評價中定性定量指標分別構(gòu)建評價集及評價集的統(tǒng)一處理等一系列復雜的問題.

1 基于證據(jù)推理算法的多屬性決策

應(yīng)用證據(jù)推理進行方案評價決策時把各個基本屬性ei看成相應(yīng)的證據(jù)，將評價等級H={Hn|n=1，2，…，N}看成辨識框架，方案的評價決策問題可以用不同證據(jù)E={ei|i=1，2，…，L}下各方案A={al|l=1，2，…，M}相應(yīng)的期望程度及依據(jù)ER算法構(gòu)造的基本概率分配函數(shù)mn，i(al)表示［12］為

式中:βn，i(al)為方案al在基本屬性ei下被評為等級Hn的信任度，βn，i(al)≥ 0 且，當時為完全評價，否則為不完全評價;mH，i(al)為剩余的概率指派函數(shù).

再進行基本概率分配函數(shù)的證據(jù)集成，如下:

對于?al∈A，可令.其中，I(i+1)表示集成i+1個基本屬性，KI(i+1)為規(guī)?；蜃?，反映了各屬性間的沖突程度，即各證據(jù)不同時支持某一評價等級的程度.

方案al的上層分布評價如下:

式中S(y(al))表示方案al在上層屬性(各備選方案)y下以βn(al)為信任度的等級Hn的分布評價.設(shè)等級Hn的效用值為u(Hn)，令u(H1)＜u(H2)＜…＜u(HN)，則?al∈A，最大最小平均效用值為

當對方案al做完全評價時，βH(al)=0，顯然有umax(al)=umin(al)=uave(al).

最后，根據(jù)效用值的高低確定方案的優(yōu)劣排序.對于?al∈A，有

式中:“?”表示“差于”;“～”表示“無差異與”.

2 證據(jù)推理決策新方法中的要點

2.1 評價指標的模糊標度

針對概念設(shè)計階段評價指標具有模糊性和預測性的特點，需要將評價指標進行模糊標度，鑒于三角模糊數(shù)具有使用簡便、易于理解、能很好表達各種模糊變量的特點，文中在對概念設(shè)計方案指標值進行標度時采用三角模糊數(shù)形式［14］.

將三角模糊數(shù)表示的指標Ei記為(Ei1，Ei，Ei2)，對于數(shù)值指標有

式中:β1，β2稱為擴增系數(shù)，一般取 0.05 ～ 0.30;Ei為不考慮模糊性的第i個指標的實際預測值，Ei1，Ei2采用容差分析中的擴增系數(shù)法確定.

對于定性指標，用語言等級確定方案目標屬性的滿意度，各語言值隸屬度函數(shù)如圖1所示，例如，可將“較好”表示為(0.50，0.67，0.83).

圖1 定性指標值的隸屬函數(shù)

2.2 反偏好權(quán)重的確定

文中提出反偏好權(quán)重的概念，即采用反偏好函數(shù)法確定的屬性權(quán)重，與Achille Messac教授提出的物理規(guī)劃法構(gòu)建偏好函數(shù)［15］類似，通過反偏好函數(shù)來表達決策者對各設(shè)計目標的偏好程度，不同之處在于，文中通過反偏好函數(shù)區(qū)間即邊界值的確定來計算目標屬性權(quán)重，不是直接利用綜合偏好函數(shù)進行評價，且在物理規(guī)劃法中，最終計算出的偏好函數(shù)值越小越滿意，而文中研究的反偏好權(quán)重反映了決策者對各目標屬性的重要程度，自然越大越好.

記ei為第i個設(shè)計目標，ej，i為區(qū)間邊界，j=1，2，…，5，nsc為設(shè)計目標的數(shù)量，則各區(qū)間邊界上的反偏函數(shù)及其一階導數(shù)表示為

例如，對于1R型反偏函數(shù)有

2.3 各目標屬性值的反偏好函數(shù)類型及區(qū)間邊界

設(shè)計目標的反偏好函數(shù)，有4種類型:正指標型(1R型)，指標越大越好;逆指標型(2R型)，指標越小越好;最佳指標型(3R型)，指標趨于某值最好;區(qū)間指標型(4R型)，指標取在某個范圍內(nèi)最好.以目標屬性e為橫坐標，反偏值作為縱坐標，反偏好函數(shù)的定性含義如圖2所示.

則方案l在目標屬性Ei=(Ei1，Ei，Ei2)上的反偏好函數(shù)確定的權(quán)值ωi(al)也稱反偏權(quán)值，可以表示為

式中μ?Ei(ei)為Ei的隸屬函數(shù).則綜合反偏好函數(shù)值即各目標屬性(指標)的權(quán)重值ωi可以表示為

這里，0≤ωi≤1，因為權(quán)重的確定方法不同于以往傳統(tǒng)方法，無需滿足.顯然，利用反偏好函數(shù)來劃分重要度區(qū)間，在不同的區(qū)間范圍內(nèi)，決策者對于此目標屬性的重要程度判斷是不同的，這符合決策者在多目標屬性決策中的思維特點，因此反偏好函數(shù)法能夠從本質(zhì)上把握決策者對目標屬性的重要度偏好設(shè)置.

圖2 4種類型的反偏函數(shù)

2.4 決策屬性評價集的構(gòu)建

模糊評價集可以依據(jù)不同偏好階段的屬性偏重程度來劃分，即:

應(yīng)用證據(jù)推理法中針對各評價等級為相應(yīng)屬性區(qū)間值的情況確定等級區(qū)間.以1R型反偏好區(qū)間為例，確定各屬性ei對應(yīng)等級的區(qū)間值，如下:應(yīng)用模糊方法可確定方案al在目標屬性ei下的評價信任度為

其中μ?Ei(ei)為Ei的隸屬函數(shù)，其確定方法見文獻［15］.

3 實例分析

文中以文獻［14］中的應(yīng)用實例即螺旋輸送機輸送系統(tǒng)4套初始方案為例進行證據(jù)推理決策新方法的應(yīng)用，確定其有效性，方案如表1所示.

表1 螺旋輸送機初始方案指標值

具體步驟如下:

首先，采用模糊標度的方法對備選方案每一目標值進行模糊化處理，結(jié)果見表2;

然后，設(shè)定各目標屬性的反偏好函數(shù)類型及等級偏重程度區(qū)間邊界，本例中，制造成本和能耗的反偏好函數(shù)為2R型，其他目標屬性為1R型，相應(yīng)的等級偏重程度區(qū)間邊界見表3;

最后，根據(jù)2.2節(jié)的方法，通過反偏好函數(shù)法確定決策者對螺旋輸送機各評價指標的偏好程度，即偏好權(quán)重值.首先，利用公式(11)-(12)確定每個方案目標屬性各區(qū)間段的反偏函數(shù);然后，通過分段曲線擬合，便可得到符合要求的定量描述的反偏好函數(shù);最后，利用公式(13)-(14)確定各目標屬性的權(quán)重值，結(jié)果見表4.

表2 方案指標的模糊標度

表3 各目標屬性的反偏好函數(shù)類型及等級區(qū)間

表4 各目標屬性權(quán)重值

應(yīng)用證據(jù)推理算法對屬性E={ei|i=1，2，…，5}的指派函數(shù)進行證據(jù)集成，由公式(16)-(17)確定各評價信任度，則可得方案A={al|l=1，2，…，4}的上層分布評價集:

假設(shè)各上層評價等級的效用值分別為u(H1)=0，u(H2)=0.25，u(H3)=0.5，u(H4)=0.75，u(H5)=1，則依據(jù)效用值進行方案決策的結(jié)果如表5所示.

表5 決策結(jié)果

顯然，方案優(yōu)劣排序為a1?a4?a2?a3，文中采用證據(jù)推理新決策方法得出的決策值雖與文獻［14］的物理規(guī)劃法決策值含義不同(其最優(yōu)方案為得分最小值)，但排序結(jié)果一致，驗證了多屬性決策方法研究的有效性.

另外，證據(jù)推理相比于其他方法的優(yōu)勢在于可以定量描述決策者主觀判斷上的不確定性和不完全性，本實例中為完全評價;若在決策中，決策者對目標屬性的評價把握不準，如本例中，若在設(shè)置初始偏好時對于能耗的判斷難以估計，將80%的信任度給了中等區(qū)間，其他區(qū)間不給予評價，即u?E5(e5)=1，u?Ei≠5(ei≠5)=0，βn，5(al)=0.8，，則，采用證據(jù)推理法得到的決策結(jié)果見表6.

表6 不完全決策結(jié)果

方案排序為a1?a4?a3?a2，文中假定的情況“將所有方案80%的信任度給了中等區(qū)間，其他區(qū)間信任度滯空”，相當于決策者“投機取巧”放棄了難以評價的能耗指標，在文獻［14］中，方案3原為最優(yōu)，但出現(xiàn)能耗指標太高不滿意的情況，調(diào)整偏好后的評價結(jié)果與文中的不完全決策結(jié)果相同，說明了證據(jù)推理法在定量描述決策者主觀判斷指標不確定性和不完全性上的巧妙之處.

4 結(jié)論

1)提出了一種基于反偏好函數(shù)的權(quán)重確定方法，并采用三角模糊數(shù)進行目標屬性的模糊標度，通過偏好區(qū)間的劃分來確定評價等級區(qū)間.

2)利用證據(jù)推理法中評價等級、概率分配函數(shù)、效用值等思想進行了方案的評價決策工作.

3)應(yīng)用實例驗證了所用方法的有效性，并且說明了證據(jù)推理法有可以定量描述決策者主觀判斷上的不確定性和不完全性的優(yōu)勢.

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