非線性切換系統(tǒng)的振蕩行為及其Lyapunov指數(shù)計算

余 躍，張 春，畢勤勝

(1.南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通226019;2.江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

物理、化學(xué)、生物以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域的許多實際問題會涉及到不同子系統(tǒng)之間的切換，如含有雙向開關(guān)切換的控制電路、反應(yīng)催化中的自激振蕩、生態(tài)系統(tǒng)的季節(jié)更替等.這些問題的理論模型大都可以由兩組或兩組以上的微分方程組加上切換條件，組成切換系統(tǒng)來刻畫.由于切換系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用背景，其復(fù)雜性分析及其相應(yīng)的機(jī)理研究引起了各國學(xué)者廣泛關(guān)注.Bao W.等［1］、吳天一等［2］及Zhang C.等［3］討論了切換電路系統(tǒng)動力學(xué)行為.Xie G.M.等［4］、蔡國梁等［5］分析了時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Cheng D.等［6］討論了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制.Liu X.G.等［7］針對某些特定切換系統(tǒng)闡述了魯棒穩(wěn)定性問題.Chen G.R.等［8］通過混沌系統(tǒng)的反控制發(fā)現(xiàn)了一個和著名Lorenz系統(tǒng)相似、但拓?fù)洳坏葍r的新混沌吸引子—Chen系統(tǒng).不同參數(shù)下的Chen系統(tǒng)可以經(jīng)周期切換生成一類三維周期切換系統(tǒng).此類切換系統(tǒng)的狀態(tài)空間連續(xù)，但系統(tǒng)的向量場不連續(xù).當(dāng)切換條件滿足時，軌線交替受到不同子系統(tǒng)向量場控制，故其數(shù)學(xué)模型代表了一類典型非光滑動力系統(tǒng).R.I.Leine等［9］對非光滑系統(tǒng)周期解的不連續(xù)分岔作了進(jìn)一步的研究.

本研究在非光滑系統(tǒng)已有工作基礎(chǔ)上，分析研究參數(shù)變化時一類非線性切換系統(tǒng)的動力學(xué)演化過程，擬給出不同類型的周期振蕩行為，以準(zhǔn)確揭示系統(tǒng)隨參數(shù)變化時的混沌振蕩行為.

1 數(shù)學(xué)模型

考慮兩自治系統(tǒng):

其中，向量場fi(X)由Chen系統(tǒng)構(gòu)成.

令向量場fi以周期T交替切換，生成周期切換系統(tǒng):

周期切換系統(tǒng)的軌線包含因切換產(chǎn)生的一類非光滑點，即切換點.軌線通過切換點連接由兩子系統(tǒng)定義的軌道.分析此類系統(tǒng)，不僅需要掌握兩子系統(tǒng)的局部行為及分岔模式，還需要了解切換點處系統(tǒng)特性的轉(zhuǎn)遷過程.下面首先分析子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動及其相應(yīng)的分岔特性，進(jìn)而探討周期切換下整個系統(tǒng)的動力學(xué)行為.

2 分岔分析

設(shè)Chen系統(tǒng)一般方程

取b=5，此時Chen系統(tǒng)有3個平衡點，分別為

分析特征方程可知，E0始終是不穩(wěn)定的，而E±的特征方程表示為

式中:α0=20ac-10a2;α1=5c，α2=a-c+5.根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，當(dāng) α0＞0，α2＞0，且 α1α2-α0＞0時，平衡點E±穩(wěn)定，其失穩(wěn)會導(dǎo)致不同形式的分岔，從而得到Fold分岔集F和Hopf分岔集H.F可以表示為2c-a=0，H可以表示為15a2-25ac-5c2+25c=0.

圖1為b=5.0時Chen系統(tǒng)的分岔集.圖2為方程(3)的圖像.

圖1 方程(3)在參數(shù)(a，c)平面上的分岔集

圖2 方程(3)的圖像

由圖1曲線可知:分岔集將參數(shù)(a，c)平面劃分為3個區(qū)域.區(qū)域① 中只有一個平衡點，即鞍點E0.在區(qū)域② 中E±為穩(wěn)定的焦點，在圖2a中，Chen系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，由鞍點E0定義的鞍曲面將相空間劃分為2個子空間，子空間的中心區(qū)域分別構(gòu)成穩(wěn)定焦點E±的吸引盆.注意到Chen系統(tǒng)具有自然的對稱性，即它在變換(x，y，z)→(-x，-y，z)下保持不變，軌線在相空間內(nèi)具有對稱結(jié)構(gòu).而當(dāng)參數(shù)穿越超臨界Hopf分岔集進(jìn)入?yún)^(qū)域③ 時，E±會失穩(wěn)導(dǎo)致周期振蕩解.如當(dāng)a=6.0，c=4.2時，存在穩(wěn)定極限環(huán)，如圖2b所示.隨著參數(shù)的變化，Chen系統(tǒng)會呈現(xiàn)出諸如穩(wěn)定的平衡態(tài)、周期振蕩等不同的動力特性，在一定范圍內(nèi)，甚至產(chǎn)生混沌運動.參與切換的子系統(tǒng)的軌跡發(fā)生改變，系統(tǒng)全局的動力學(xué)行為也發(fā)生相應(yīng)變化.

3 切換系統(tǒng)的分岔與混沌

為揭示不同穩(wěn)態(tài)解下的周期切換系統(tǒng)的動力學(xué)演化過程，固定系統(tǒng)參數(shù)為T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6，取c2為分岔參數(shù)，變化范圍 3.00 ＜c2＜4.40.顯然在此參數(shù)條件下，子系統(tǒng)1表現(xiàn)為穩(wěn)定的焦點.當(dāng)c2＜4.19時，子系統(tǒng)2也存在穩(wěn)定的焦點.當(dāng)c2＞4.19后，子系統(tǒng)2失穩(wěn)產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán).故切換系統(tǒng)的軌跡會以周期2T在焦點與焦點、焦點與極限環(huán)這兩類吸引子上來回變換，產(chǎn)生豐富的動力學(xué)現(xiàn)象.

圖3 是方程(2)在T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6時的相圖.圖3a為焦點到焦點的2T周期解;圖3b為焦點與極限環(huán)通過切換生成的穩(wěn)態(tài)解，S1，S'1均為切換點.

圖3 方程(2)的平面相圖

在參數(shù)變化的過程中，切換系統(tǒng)并不是兩子系統(tǒng)動力特性的簡單連接，而是通過切換點不斷調(diào)整改變，產(chǎn)生分岔行為，并伴隨混沌演化過程.圖4為方程(2)在T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6 時的相圖.圖4a，b 分別給出了c2=3.18，c2=3.25 時切換系統(tǒng)的2周期解和4周期解.圖4c，d數(shù)值模擬了切換系統(tǒng)的混沌振蕩.這些豐富的動力學(xué)行為的產(chǎn)生正是由于切換本身所引起的非光滑性，導(dǎo)致向量場的不連續(xù)，從而引起主系統(tǒng)非光滑分岔行為的出現(xiàn).

圖4 方程(2)的相圖

4 切換系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)計算

根據(jù)Lyapunov指數(shù)判據(jù)，當(dāng)所有Lyapunov指數(shù)小于0，則系統(tǒng)有漸近穩(wěn)定的周期解;只有1個Lyapunov指數(shù)等于0，其余都小于0，表示穩(wěn)定的周期解即將分岔;而當(dāng)Lyapunov指數(shù)大于0，則系統(tǒng)此時處于混沌狀態(tài).因此，計算Lyapunov指數(shù)對判斷周期切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有價值.

4.1 Poincaré映射及其Jacobi矩陣

引入局部映射，構(gòu)造Poincaré映射分析切換系統(tǒng)的不動點.通過Poincaré映射方法將問題轉(zhuǎn)化為離散動力系統(tǒng)，即可回避切換系統(tǒng)在切換點處Jacobi矩陣的計算問題.設(shè)φi為切換系統(tǒng)(2)兩子系統(tǒng)的解.由于切換周期T固定，故選取相位面為Poincaré截面.由兩子系統(tǒng)的解定義局部映射為

則整個系統(tǒng)的Poincaré映射P可表示為上述局部映射的復(fù)合，即

其Jacobi矩陣DP計算可以借助P1，P2的Jacobi矩陣，結(jié)合復(fù)合映射鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求得，即

而DP1，DP2可通過非光滑系統(tǒng)非線性分析的打靶法和Runge-Kutta算法，從0到T數(shù)值積分計算其數(shù)值解.

4.2 Lyapunov指數(shù)的計算

通過公式(5)所描述的Poincaré映射P，可將方程(2)轉(zhuǎn)化為離散動力系統(tǒng):

系統(tǒng)(7)的2個相近的 Poincaré映射點X0和X0+δX0，對應(yīng)X0和X0+δX0的相近軌道G0和G1，稱G0為基準(zhǔn)軌道，G1為鄰近軌道.在k時刻，基準(zhǔn)軌道和鄰近軌道上的點分別為Xk(X0)和Xk(X0+δX0)，記 δXk(X0)=Xk(X0+ δX0)-Xk(X0).

當(dāng)δXk(X0)充分小時，其滿足系統(tǒng)(7)在Xk處的線性化方程:

其中DP(Xk)為(7)在Xk處的3階Jacobi矩陣.由(7)，(8)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得其中，

此時，Lyapunov指數(shù)就定義為

圖5 3.15＜c2＜3.60時方程(2)的動力學(xué)演化行為

為了驗證上述周期切換系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的計算方法有效性，將其與分岔進(jìn)行比對.圖5a中為了更精確地得到分岔值，c2變化步長一般取為0.000 1，而最大Lyapunov指數(shù)計算程序的步長一般可以稍大，取為0.001 0.由圖5a與b可知，吸引子特性與對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)較一致.分岔圖中c2=3.175，3.225，3.267，3.331 時，最大 Lyapunov指數(shù)皆等于0，表明此時系統(tǒng)即將發(fā)生分岔.當(dāng)c2＞3.331或c2＜3.175時，切換系統(tǒng)最大 Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)作穩(wěn)定的周期運動.當(dāng)3.267＜c2＜3.331或3.175＜c2＜3.225 時，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)穿越0值(圖5b中y=0直線上方)，此時系統(tǒng)發(fā)生混沌振蕩.

5 結(jié)論

不同參數(shù)下的Chen系統(tǒng)之間，通過周期切換導(dǎo)致各種復(fù)雜振蕩行為.不同參數(shù)下，子系統(tǒng)存在不同的穩(wěn)態(tài)解，切換導(dǎo)致軌線在兩子系統(tǒng)間產(chǎn)生明顯的分界點，發(fā)生各種穩(wěn)定的周期振蕩.隨著參數(shù)變化，軌線受子系統(tǒng)不同吸引子的吸引，對應(yīng)不同的周期振蕩解.參數(shù)的變化還會導(dǎo)致切換系統(tǒng)出現(xiàn)分岔行為和混沌振蕩.利用Poincaré映射方法可以計算周期切換系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，并與相圖以及分岔圖比對，驗證了上述方法的有效性.本研究中的數(shù)值方法和機(jī)理分析對研究此類非線性復(fù)合系統(tǒng)有一定理論意義.

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