基于新型Gregory三角面片的G1 連續(xù)曲面拼接

張華陽，張志毅，楊 龍

（西北農(nóng)林科技大學 信息工程學院，陜西 楊凌712100）

0 引 言

在逆向工程、電腦動畫和地質建模等應用領域中，構造G1連續(xù)的光滑曲面是基本要求之一。通過相鄰面片間的拼接，在其公共邊界每個控制點處有相同的切平面，保證其G1連續(xù)［1］。目前最常用的拼接方法：四邊域曲面和三角域曲面。郝茹等［2］采用雙四次有理Bezier曲面拼接算法來構造G1連續(xù)光滑曲面；隨后高占恒等［3］采用B樣條曲面以及施侃樂等［4］采用周期B樣條曲面構造一階幾何連續(xù)光滑曲面；R.T.Farouki等［5］采用Coons曲面和Kouichi Konno等［6］采用Gregory面片分別對曲面進行拼接構造光滑曲面，但是他們采用的方法有一定的局限性［7］，不能滿足任意的拓撲結構。傳統(tǒng)的Gregory三角面片和Bézier三角面片［8］能夠自由、靈活地表示任意拓撲結構，但是并不能保證在任意情況下的G1連續(xù)。

在本文中，我們采用張志毅［9］提出的新雙三次Gregory三角面片對給定的數(shù)據(jù)進行插值，它不僅滿足局部性，而且滿足任意三角形［9］或者四邊形曲線曲面的拼接并能夠達到G1連續(xù)。

1 Gregory三角面片

新的Gregory三角面片的幾何定義請參考文獻 ［10］，其中G 為Gregory三角面片的控制節(jié)點或控制網(wǎng)。如圖1所示：G 中的每個點稱為控制點，例如，｛P0，P1，P2｝為角控制點， ｛P01，P10，P12，P21，P20，P02｝為邊界控制點，｛q01，q10，q12，q21，q20，q02｝為內(nèi)部控制點。所有的控制點可分為3個控制單元。

圖1 Gregory三角控制網(wǎng)格

在三角面片中，我們用GNT（u，v）表示在這個三角形重心坐標 （u，v）中各個點的位置，那么GNT（u，v）函數(shù)可表示為

其中u＋v＋w＝1，Q0，Q1，Q2同一個控制單元內(nèi)一個角控制點相應的2個內(nèi)部控制點的混合函數(shù)，它們表示為

那么Q＝wQ0＋uQ1＋vQ2。

我們利用這種新的Gregory三角面片對給定的數(shù)據(jù)進行插值，實現(xiàn)G1連續(xù)的光滑曲面［9］。

2 G1 連續(xù)性條件

一個滿足G1連續(xù)性條件的曲面具有以下特性：在這個曲面的任意一點，只有唯一一條法線。為了保證全局的G1連續(xù)性，我們需要保證2個相鄰面片的公共邊界能夠連續(xù)。

相鄰Gregory三角面片間的連續(xù)性：2個相鄰的Gregory三角面片S1和S2如圖2所示。2個相鄰面片之間的公共邊界曲線分別定義了四邊界控制點： ｛P0＝P’0，P02＝P’02，P20＝P’20，P2＝P’2｝。

圖2 兩相鄰Gregory三角面片

為了能夠更加容易、清楚的對其表述，我們將Gregory三角面片轉化為 （u，v）2個變量表達式。用Su表示u 方向的偏導數(shù)，Sv表示v方向的偏導數(shù)，那么兩相鄰Gregory三角面片S1和S2滿足G1連續(xù)的充分必要條件，即方程

要在最嚴格水資源管理制度試點工作帶動下，全面推進最嚴格水資源管理各項工作，確保各項制度有措施、能落地。一是按照“節(jié)水優(yōu)先、空間均衡、系統(tǒng)治理、兩手發(fā)力”的治水思路，以水定需，量水而行，因水制宜，嚴格水資源論證、取水許可管理和水資源有償使用制度。二是把節(jié)約用水貫穿于經(jīng)濟社會發(fā)展和群眾生活全過程，優(yōu)化用水結構，切實轉變用水方式，全面實行計劃用水管理，加快推進節(jié)水技術改造。三是全面落實 《全國重要江河湖泊水功能區(qū)劃》，從嚴核定水域納污容量，切實加強水污染防控，加強飲用水水源保護，推進水生態(tài)文明建設。四是按照最嚴格水資源管理制度考核工作要求，積極有序開展轄區(qū)內(nèi)考核工作，切實落實水資源管理責任制。

這里，k（v）和h（v）是有關v的標量函數(shù)，即公式：

式中：k0，k1，h0，h1——任意實數(shù)。

Fj，Ej，Dj稱為相鄰控制點對的向量組，F(xiàn)j，Ej為交叉切向量，Dj為公共邊界切向量。

對條件方程 （5）進行求解，可得兩三角面片間的G1連續(xù)性條件，即方程組

從式 （7）可得到，沿著公共邊界的2個相鄰三角面片的G1連續(xù)是由邊界控制點和內(nèi)部控制點確定的，只是沿著共同的邊界曲線通過調整四個內(nèi)部控制點的位置對2 個Gregory三角面片進行拼接，產(chǎn)生G1連續(xù)的光滑表面。

圖3表示2個相鄰面片的拼接，圖中垂直面片的線表示控制點所對應的法線。圖3 （a）表示2個面片在公共邊界線處具有相同起點的法線不是一致的，導致G1不連續(xù)，圖3 （b）表示2 個面片在公共邊界線處的法線是一致的，G1連續(xù)。從擴大部分可見，圖3 （a）的曲率等值面與曲面交線是不連續(xù)的，而圖3 （b）的曲率等值面與曲面交線是連續(xù)的。

圖3 2個相鄰三角面片

3 實驗結果

由于Gregory三角面片插值方法不能直接用于上述情況，需要預處理原始網(wǎng)格，將基本的三角面片［11］調整為Gregory三角面片，然后使用Gregory三角面片進行插值生成G1光滑曲面的過程［12］，即：①為每一個三角面片的控制頂點生成一個統(tǒng)一的法向量。②為三角面片的每條邊界生成邊界控制點。③計算每個面片的內(nèi)部控制點。根據(jù)G1連續(xù)條件的式 （8），可以計算出相對應的內(nèi)部控制點。④插值每個Gregory 三角面片控制網(wǎng)格。根據(jù)GNT（u，v）（式 （1））中 （u，v）步長的選擇，對形體的全局Gregory三角控制網(wǎng)格插值，并構造出G1連續(xù)的光滑形體表面。

通過上述介紹的方法對形體曲面的三角形控制網(wǎng)格進行插值，生成G1連續(xù)光滑曲面。4個實例形體的G1光滑表面重建結果如圖4～圖7所示。

圖4為cow 的Gregory三角面片的插值過程，■表示角控制點，▲表示邊界控制點，●表示內(nèi)部控制點。圖4（a）為相鄰兩三角面片的原始控制點，圖4 （b）為局部兩相鄰三角面片通過上述的步驟 （2）、步驟 （3）計算獲得邊界控制點和內(nèi)部控制點，組成相應的Gregory 三角面片，圖4 （c）為全局的控制網(wǎng)格所組成的cow 模型，圖4 （d）為插值過后得到的G1光滑曲面。

由于模型中組成三角面片的原始控制點以及通過對原始的三角面片進行預處理得到的Gregory三角面片與cow模型中（a）（b）的相似，圖5～圖7分別表示其相應的全局控制網(wǎng)格所組成的模型以及插值后得到的光滑曲面結果。

4 結束語

圖4 cow 的Gregory三角面片插值過程

圖5 sphere的Gregory三角面片插值

圖6 chess的Gregory三角面片插值

圖7 dinosaur的Gregory三角面片插值

Gregory三角面片插值方法為構造光滑連續(xù)的形體表面提供了新的途徑，隨著對三維模型形體設計要求的不斷提高，不僅要求光滑甚至要求三維模型形體表面達到一定的光滑標準，因此對形體表面造型技術的基礎研究仍然有很大需求。相比傳統(tǒng)的Gregory 三角面片，采用新雙三次Gregory三角面片插值方法構造G1連續(xù)的光滑表面，僅僅通過調整所產(chǎn)生的相鄰內(nèi)部控制點，而沒有改變原始的頂點信息。實驗結果表明了該插值方法不僅能夠重建任意拓撲結構，而且還可以使用原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生令人滿意的光滑表面。

今后的研究方向可以生成更加光滑 （二階幾何連續(xù)）的三維模型形體表面，從三維模型的形體點云和控制網(wǎng)格以及曲面的高階幾何連續(xù)拼接條件為前提，對生成高質量的形體曲面做更加深入的研究。

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