對(duì)多混沌映射圖像加密算法的分析與改進(jìn)

劉祝華，袁 文

（江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌330022）

0 引 言

近年來，圖像加密技術(shù)越來越重要，學(xué)者設(shè)計(jì)出了眾多圖像加密算法［1］，而混沌系統(tǒng)由于其對(duì)初始條件和參數(shù)的敏感性及類噪聲特性，被廣泛應(yīng)用到數(shù)字圖像加密算法設(shè)計(jì)中［2］?；诘途S混沌的圖像加密算法具有混沌序列計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算機(jī)的有限精度會(huì)使混沌序列出現(xiàn)短周期的問題，且密鑰空間較小，導(dǎo)致算法的安全性不高［3－6］。與低維混沌相比，高維混沌具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和更好的隨機(jī)性，因此，許多研究者提出了各種基于超混沌的圖像加密算法［7，8］，但高維混沌系統(tǒng)計(jì)算的復(fù)雜性卻限制了其在實(shí)時(shí)環(huán)境下的應(yīng)用。采用多個(gè)低維混沌相復(fù)合構(gòu)建加密算法，可以避免高維混沌計(jì)算復(fù)雜的問題，同時(shí)又可以解決低維混沌動(dòng)力學(xué)特性簡(jiǎn)單和密鑰空間小的問題［9］，因此，越來越受到研究者的關(guān)注［10－14］。

郭曉叢等［10］提出了一種基于多混沌映射的圖像加密算法，采用3個(gè)低維混沌映射生成3個(gè)與圖像大小相等的混沌序列，視作空間中某點(diǎn)的坐標(biāo)，再按空間直角坐標(biāo)系中2點(diǎn)的距離公式，求解與圖像對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)坐標(biāo)值的距離，并作為加密因子。該算法生成加密因子的思路比較新穎，且采用多混沌映射，密鑰空間大，但也存在安全隱患。本文分析了該算法存在的缺陷，并在安全性上給出了改進(jìn)措施，提出了一種自適應(yīng)多混沌分塊圖像加密算法。理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法安全性高，且加密速度快。

1 原算法分析

1.1 原算法設(shè)計(jì)思路概述

對(duì)于M×N 的圖像I，由二維Logistic映射生成2個(gè)長(zhǎng)度為M×N 的混沌序列，并取小數(shù)點(diǎn)后13至15位，對(duì)256取模，得序列X1、Y1，由X1、Y1異或得序列L1。以相同的方法，由Hénon 映射生成序列L2，由Ikeda 映射生成序列L3。

把L1、L2和L3視作空間上點(diǎn)P 的坐標(biāo)，則P 點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y，z），其中x ∈L1，y ∈L2，z∈L3。把圖像I看成同一平面內(nèi)的M×N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（i，j，0），其中i∈［1，M］，j∈［1，N］。由空間中兩點(diǎn)距離平方公式生成加密因子

式中：mod為取模運(yùn)算。

原圖像I向左循環(huán)移動(dòng)一列，向上循環(huán)移動(dòng)一行得Icr，并和加密因子異或得到密文圖像Bi，j＝Icri，j⊕Ri，j。

1.2 原算法設(shè)計(jì)缺陷

首先，對(duì)于大小為M×N 的圖像I，每個(gè)像素點(diǎn)的坐標(biāo)值（i，j）是固定的。因此，加密因子Ri，j只與混沌映射的參數(shù)及初始值有關(guān)，因此，對(duì)于同樣大小的圖像，當(dāng)混沌映射的參數(shù)及初始值相同時(shí)，生成的加密因子是完全相同的，這使得算法極容易被選擇明文攻擊［5－6］。其次，加密因子直接與圖像明文異或，不存在擴(kuò)散過程，明文敏感性極差，極易受到差分攻擊。

1.3 原算法破譯

使用選擇明文攻擊對(duì)原算法進(jìn)行破譯。所謂選擇明文攻擊是指攻擊者有機(jī)會(huì)使用到加密系統(tǒng)，因此可選擇一些明文，并產(chǎn)生相應(yīng)的密文，通過分析明、密文對(duì)破譯算法。為了破譯原算法，選擇與待破譯密文大小M×N 相等的3個(gè)特殊明文矩陣A1、A2及A3。其中，A1為全0矩陣，A2、A3形式如下

由 （2）式可知，A2每一行的元素是相等的，而A3每一列的元素是相等的。使用文獻(xiàn) ［10］算法對(duì)矩陣Al，l∈［1，3］加密，得到密文矩陣

由于A1為全0矩陣，因此也為全0矩陣，根據(jù)式（3）不難破譯得到加密因子Ri，j＝B1，i，j。A2經(jīng)列循環(huán)移動(dòng)會(huì)保持不變，因此，Acr2與只經(jīng)過行循環(huán)移動(dòng)的結(jié)果是相同的，根據(jù)式 （3），

選擇3個(gè)特殊明文矩陣

使用文獻(xiàn) ［10］算法，獲得對(duì)應(yīng)的密文矩陣為

由上述分析可知，加密因子R＝B1，而

可見，文獻(xiàn) ［10］算法安全性很低。

2 改進(jìn)的加密算法

針對(duì)文獻(xiàn) ［10］算法存在的缺陷，提出如下改進(jìn)措施：首先，改進(jìn)加密因子的生成方法，使圖像中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與圖像明、密文相關(guān)聯(lián)，使生成的加密因子會(huì)因圖像的不同而不同；其次，改進(jìn)加密公式，除異或運(yùn)算外引入算術(shù)運(yùn)算，且使密文與明文、加密因子及相鄰密文相關(guān)；最后，使用明、密文對(duì)混沌映射的參數(shù)及初始值進(jìn)行擾動(dòng)，使算法做到 “一圖一密”。

2.1 替代與擴(kuò)散

對(duì)于上半部分圖像序列IUi，按式 （4）對(duì)每個(gè)像素進(jìn)行替代與擴(kuò)散

在生成加密因子RUi時(shí)，使用tent映射

為提高算法安全性，在生成XUi、YUi和ZUi時(shí)，使用擾動(dòng)因子t0、t1，按式 （9）、式 （10）和式 （11）分別對(duì)tent映射、kent映射和cubic映射的參數(shù)及初始值進(jìn)行擾動(dòng)

其中，k1至k7為算法密鑰，擾動(dòng)因子t0由下半部分圖像序列的代入，t1由代入。

2.2 加密步驟

加密密鑰為k0至k8。其中，k0為各混沌映射迭代首部分舍去個(gè)數(shù)，k1至k7為各混沌映射的參數(shù)和初始值，k8為加密輪次，加密步驟如下：

步驟1 輸入大小為M×N 的圖像I，M 為偶數(shù) （若不滿足，可對(duì)最后一行復(fù)制延拓）；

步驟2 使用密鑰k0、k1至k7，按2.1節(jié)方法對(duì)圖像進(jìn)行替代與擴(kuò)散；

步驟3 判斷是否達(dá)到k8次的加密次數(shù)，若達(dá)到，則加密結(jié)束，否則將加密結(jié)果作為輸入圖像轉(zhuǎn)至步驟2。

解密是加密的逆過程。密文圖像分為上、下子塊并轉(zhuǎn)換成密文序列，按

實(shí)現(xiàn)每個(gè)密文像素的反擴(kuò)散與反替代。其中，Ci為密文序列，Di為解密后的序列。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中使用1024×1024 的256 色Lena 圖，在Matlab7.6環(huán)境下仿真測(cè)試，密鑰k0＝100，k1＝0.992，k2＝0.002，k3＝0.422，k4＝0.012，k5＝3.554，k6＝2.564，k7＝0.011，k8＝2，與文獻(xiàn) ［10］和文獻(xiàn) ［14］算法進(jìn)行了比較。其中，文獻(xiàn) ［14］使用三維類仿射對(duì)圖像的像素位置及像素值進(jìn)行置亂，并按擴(kuò)散、替代、再擴(kuò)散的方式對(duì)圖像加密，每個(gè)像素替代時(shí)都要進(jìn)行多混沌映射耦合方式的選擇。

3.1 抗統(tǒng)計(jì)攻擊性能分析

使用改進(jìn)算法對(duì)Lena圖進(jìn)行2輪加密，效果如圖1所示，密文圖像與原始明文圖像的視覺效果完全不同。

圖1 Lena圖加密效果

圖2給出了原始圖像和密文圖像的直方圖。由圖2可知，原Lena圖的像素值分布非常不均勻，但加密后密文圖像的像素值呈平坦且均勻的分布，說明密文像素取各種可能值的概率趨于相等。也可用信息熵來度量圖像中灰度值的分布情況［14］，對(duì)于256級(jí)的灰度圖，信息熵最大值為8。原Lena圖像信息熵為7.219391，以上述初始密鑰為起始值，按0.000001步長(zhǎng)，連續(xù)微調(diào)密鑰k4及k7100次，加密后密文圖像信息熵如圖3 所示，均大于7.99980，而計(jì)算信息熵均值為7.999843，非常接近最大值8，調(diào)整其他密鑰可得到類似的結(jié)果。以同樣的方法，計(jì)算文獻(xiàn) ［10］密文 圖像信息熵均值為7.989682，而文獻(xiàn) ［14］ 為7.992915，均小于本文改進(jìn)算法。從直方圖及信息熵分析可知，本文改進(jìn)算法的密文圖像灰度分布十分均勻，能有效抵御統(tǒng)計(jì)攻擊。

圖2 Lena圖加密前后直方圖

圖3 Lena圖加密后信息熵

3.2 相關(guān)性分析

按文獻(xiàn) ［14］方法計(jì)算圖像中水平、垂直及對(duì)角相鄰像素的相關(guān)系數(shù)rxy，若rxy越接近于1，則相鄰像素相關(guān)性越高，越接近于0，則相關(guān)性越低。

圖4 相鄰像素相關(guān)性

原Lena圖像水平相鄰像素相關(guān)系數(shù)為0.990671，垂直為0.995407，對(duì)角為0.985479。在初始密鑰基礎(chǔ)上，按0.000001步長(zhǎng)，連續(xù)微調(diào)k1和k3100次，得到密文圖像相鄰像素相關(guān)性如圖4所示，密文圖像3個(gè)方向的相關(guān)系數(shù)最大值均不超過0.0030，而最小達(dá)到3.663405×10－8，微調(diào)其他密鑰可得到類似結(jié)果。以同樣的方法，對(duì)文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn) ［14］算法的密鑰進(jìn)行微調(diào)，并計(jì)算本文改進(jìn)算法、文獻(xiàn) ［10］算法和文獻(xiàn) ［14］算法密文圖像3 個(gè)方向相關(guān)系數(shù)的均值如表1所示。從表1可知，本文算法密文圖像3個(gè)方向相關(guān)系數(shù)的均值都為最小，且非常接近于0，表明本文算法在兩輪加密的基礎(chǔ)上，雖然沒有使用置亂操作，也能很好地破壞相鄰像素的相關(guān)性，使密文有很好的隨機(jī)性分布。

表1 相鄰像素相關(guān)系數(shù)均值

3.3 差分性能分析

好的加密算法應(yīng)該對(duì)明文變化非常敏感，而且這種敏感性越強(qiáng)，抗差分攻擊的能力就越強(qiáng)。像素變化率NPCR和像素平均強(qiáng)度變化率UACI是衡量這種敏感性的2個(gè)重要指標(biāo)，其定義可參見文獻(xiàn) ［5］。

隨機(jī)選取原Lena圖某一像素，共計(jì)100次，使其像素值加1，計(jì)算出NPCR和UACI如圖5所示，可以看出NPCR均大于0.99595，而UACI均大于0.3340，即明文1個(gè)像素的微小變化會(huì)導(dǎo)致密文99.595%以上像素的變化，而變化的強(qiáng)度在33.40%以上，這表明算法的明文敏感性很強(qiáng)，有很好的抗差分攻擊能力。為便于比較，計(jì)算NPCR均值為0.996102，UACI均值為0.334588。以同樣的方法求得文獻(xiàn)［14］算 法NPCR均值為0.990203，UACI均值為0.331201，均小于本文改進(jìn)算法。而文獻(xiàn) ［10］算法由于不存在擴(kuò)散過程，因此，明文1個(gè)像素的變化只會(huì)導(dǎo)致密文1個(gè)像素的變化，NPCR和UACI均趨于0，無法抵御差分攻擊。

圖5 差分性能分析

3.4 密鑰空間分析

本文改進(jìn)算法使用3個(gè)混沌映射，共有k1至k77個(gè)密鑰，若每個(gè)密鑰使用16位十進(jìn)制實(shí)數(shù)表示 （包括1位整數(shù)和15位小數(shù)），則密鑰空間為1016×7＝10112，若考慮混沌映射迭代舍去數(shù)k0取3位十進(jìn)制整數(shù)，加密輪次k8取1位十進(jìn)制數(shù)，則密鑰空間可達(dá)10116?？梢?，本文改進(jìn)算法具有巨大的密鑰空間，能很好地抵御窮舉攻擊。

3.5 密鑰敏感性分析

一個(gè)好的加密算法應(yīng)該對(duì)密鑰的變化非常敏感。2 個(gè)具有微小差異的加密密鑰，應(yīng)該產(chǎn)生完全不同的密文圖像；同樣，2個(gè)具有微小差異的解密密鑰，對(duì)同一密文的解密結(jié)果也應(yīng)該完全不同。

圖6 Lena圖解密密鑰敏感性測(cè)試

解密實(shí)驗(yàn)時(shí)，分別對(duì)密鑰k2、k5、k6進(jìn)行微調(diào) （加上10－15），解密結(jié)果如圖6所示，可見微小的密鑰變化都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解密結(jié)果。表2列出了微調(diào)k2、k5、k6后解密結(jié)果之間的NPCR與UACI，結(jié)果表明錯(cuò)誤的解密結(jié)果之間也完全不同，算法具有很強(qiáng)的解密密鑰敏感性，微調(diào)其他密鑰可得到類似結(jié)果。

加密實(shí)驗(yàn)時(shí)，分別微調(diào)密鑰k3、k7（加上10－15）。表3列出了初始密鑰密文、微調(diào)k3及微調(diào)k7后密文之間的NPCR與UACI，結(jié)果表明加密密鑰的微小變化會(huì)使密文圖像截然不同，算法對(duì)加密密鑰同樣非常敏感，其他密鑰的微小變化也可得到類似結(jié)果。

表2 解密密鑰敏感性

表3 加密密鑰敏感性

3.6 執(zhí)行效率

實(shí)驗(yàn)用PC機(jī)硬件配置為Intel酷睿i5 雙核2.4 GHz處理器，4 G 內(nèi)存，750 G 硬盤，軟件運(yùn)行環(huán)境為windows 7，Matlab7.6。利用本文改進(jìn)算法對(duì)一幅256×256的8位灰度圖像進(jìn)行一輪像素替代與擴(kuò)散，平均加密時(shí)間約為0.021s。文獻(xiàn) ［14］算法在相同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，對(duì)同一圖像進(jìn)行一輪加密，平均時(shí)間約為0.149s，遠(yuǎn)高于本文算法。主要原因是文獻(xiàn) ［14］在像素替代與擴(kuò)散之前，使用了三維類仿射變換對(duì)圖像像素位置和像素值進(jìn)行置亂，增加了加密時(shí)間，同時(shí)像素替代與擴(kuò)散是分開的，并按擴(kuò)散、替代、再擴(kuò)散的順序進(jìn)行，而且每個(gè)像素的替代都要進(jìn)行混沌耦合方式的選擇，增加了算法的復(fù)雜度和執(zhí)行時(shí)間。

4 結(jié)束語

文獻(xiàn) ［10］算法存在設(shè)計(jì)上的缺陷，容易受到選擇明文攻擊及差分攻擊。因此，提出了改進(jìn)措施，對(duì)圖像進(jìn)行分塊加密，使用對(duì)方塊信息擾動(dòng)多個(gè)混沌映射，并結(jié)合對(duì)方塊信息生成加密因子，使用加密因子和相鄰密文對(duì)明文進(jìn)行替代與擴(kuò)散。分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)算法很好地克服了原算法的設(shè)計(jì)缺陷，具有更高的安全性，且執(zhí)行效率高。下一步將結(jié)合并行加密模型，研究在兼顧安全性的情況下如何進(jìn)一步提高算法的執(zhí)行效率。

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