倒立擺系統(tǒng)的符號(hào)型自適應(yīng)模糊控制

王 琪，黃 華

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都610065）

0 引 言

倒立擺系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多典型問題，因此它被廣泛用于檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力［1］。變論域自適應(yīng)模糊控制算法是目前比較常見的倒立擺穩(wěn)定控制方法之一。

模糊控制是一種建模簡(jiǎn)單，非線性適應(yīng)性強(qiáng)的控制方法［2］。模糊控制器本質(zhì)上是一種插值器［3］。所以它適用于具有模糊環(huán)境的粗糙場(chǎng)合［4］。為了將模糊控制更好地應(yīng)用于高精度控制系統(tǒng)，李洪興在研究中提出了一種論域可變的自適應(yīng)模糊控制方案。變論域模糊控制器，就是選取合適的論域伸縮因子，以論域之變應(yīng)誤差之變，使得實(shí)際的控制規(guī)則大幅度增加［5］。實(shí)踐證明，變論域模糊控制具有較高的控制精度［6，7］。但是變論域模糊控制增加了算法的時(shí)間消耗，同時(shí)伸縮因子的選擇也是一大難題。如何同時(shí)實(shí)現(xiàn)倒立擺控制系統(tǒng)的快速性和精確性，已成為近來的研究熱點(diǎn)［8，9］。

模糊控制的實(shí)施需要對(duì)輸入論域進(jìn)行規(guī)范化處理，而符號(hào)函數(shù)可以將輸入規(guī)范至［－1，1］，同時(shí)還可以簡(jiǎn)化計(jì)算。受此啟發(fā)，本文決定將符號(hào)函數(shù)進(jìn)行改造，替代變論域模糊控制中的伸縮操作，設(shè)計(jì)一種符號(hào)型自適應(yīng)模糊控制算法。

1 倒立擺系統(tǒng)建模

單級(jí)倒立擺系統(tǒng)如圖1所示。系統(tǒng)由小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺桿組成。小車可以在水平方向上左右運(yùn)動(dòng)，擺桿可以在鉛垂平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 單級(jí)倒立擺模型

規(guī)定水平向右和順時(shí)針分別為小車和擺桿運(yùn)動(dòng)的正方向，圖1中u為系統(tǒng)作用力，M 為小車質(zhì)量，m 為擺桿質(zhì)量，l為擺桿重心到小車的距離，θ為擺桿偏離豎直方向的角度，r為小車相對(duì)初始位置的位移，I 為擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，b為小車的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。表1列出了倒立擺系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)。分別對(duì)小車和擺桿進(jìn)行受力分析［10］

表1 倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)

選取擺桿豎直向上，小車水平無位移的位置為系統(tǒng)平衡位置，在擺桿偏角不大的情況下，做下列近似處理

取狀態(tài)變量X＝［r θ r·θ·］，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程

將表1中參數(shù)帶入可得

2 符號(hào)型自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

2.1 變論域自適應(yīng)模糊控制器簡(jiǎn)介

變論域自適應(yīng)模糊控制器將論域隨著輸入的變化而變化，它變相增加了規(guī)則數(shù)量，提高了控制精度。下文簡(jiǎn)要介紹一下變論域自適應(yīng)模糊控制器的基本結(jié)構(gòu)，李洪興在研究中詳細(xì)介紹了其理論依據(jù)和實(shí)現(xiàn)形式。

考慮雙輸入單輸出模糊控制器，設(shè)X＝［－Ex，Ex］，Y＝［－Ey，Ey］，Z＝［－U，U］分別為輸入變量x，y 和輸出變量z 的論域，｛Ai｝（i＝1，2，…，m），｛Bj｝（j＝1，2，…，n）和｛Cij｝分別為論域X，Y 和Z 的模糊劃分，設(shè)｛Ai｝，｛Bj｝和｛Cij｝為語(yǔ)言變量，可以形成模糊推理規(guī)則庫(kù)

基于規(guī)則（4）的模糊控制器可以由2 元分片插值函數(shù)F（x，y）表示

所謂變論域就是論域隨著變量x，y，z的變化而變化，即

式中：αx（xi），αy（yj）和β（z）——論域X，Y 和Z 的伸縮因子。李洪興等給出了伸縮因子應(yīng)具有的性質(zhì)，通常，建議輸入變量的伸縮因子為下面兩種形式［11］

式中：ε趨近于0，λ趨近于1。伸縮因子參數(shù)的選擇直接影響控制性能，一般采用試湊的方法設(shè)計(jì)參數(shù)，這不利于實(shí)際工程應(yīng)用。

變論域模糊控制器輸出表示為

2.2 線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是個(gè)多變量系統(tǒng)，為了便于后續(xù)控制，避免 “維數(shù)災(zāi)難”問題，可以將4個(gè)狀態(tài)變量進(jìn)行線性綜合，最終得到綜合誤差E 和綜合誤差變化率EC，以下利用線性二次型最優(yōu)控制理論來為狀態(tài)方程設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)律。二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

式中：Q、R——狀態(tài)變量和控制變量的權(quán)向量，表征它們對(duì)性能指標(biāo)的重要性。在此，取Q＝diag［100 100 0 0］，R＝1，求解下列Riccati方程

可以得到最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K＝［－10 50.921－9.035 9.4273］T，取綜合系數(shù)

于是，綜合誤差E 和綜合誤差率EC 分別為

2.3 基于符號(hào)函數(shù)的調(diào)節(jié)因子設(shè)計(jì)

由于在變論域模糊控制中伸縮因子只能靠經(jīng)驗(yàn)和試湊來選擇，同時(shí)論域的實(shí)時(shí)改變?cè)黾恿讼到y(tǒng)的時(shí)間開銷，不利于實(shí)時(shí)控制。綜上所述，本文決定使用符號(hào)函數(shù)對(duì)輸入變量進(jìn)行權(quán)衡，考慮倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)為跟蹤參考輸入即靜止?fàn)顟B(tài)，為了避免系統(tǒng)在過零點(diǎn)附近產(chǎn)生振蕩，因此將傳統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)進(jìn)行如圖2所示變化。

變化后的符號(hào)函數(shù)在［－k，k］區(qū)間內(nèi)根據(jù)線性函數(shù)y＝x／k（－k＜x＜k）取值，避免了在過零點(diǎn)控制量過大而產(chǎn)生的振蕩。

圖2 符號(hào)函數(shù)變化

結(jié)合式（8）和式（13），控制器輸出為

2.4 符號(hào)型模糊控制規(guī)則設(shè)計(jì)

由于符號(hào)型調(diào)節(jié)因子實(shí)質(zhì)上為一分段函數(shù)，在符號(hào)型模糊控制規(guī)則中，將輸入變量E 和EC 的論域分別劃分為｛－1，－｜E｜／k（－k＜E＜0），0，｜E｜／k（0＜E＜k），1｝和｛－1，－｜EC｜／k（－k＜EC＜0），0，｜EC｜／k（0＜EC＜k），1｝，即當(dāng)輸入變量位于［－k，k］區(qū)間時(shí)，使用前述線性函數(shù)的值作為模糊基函數(shù)的結(jié)果參與規(guī)則運(yùn)算。

將綜合誤差E 和綜合誤差變化率EC 的論域規(guī)范為［－1，1］，基于這兩者的模糊控制規(guī)則見表2。

表2 符號(hào)型模糊控制規(guī)則

2.5 輸出調(diào)節(jié)因子設(shè)計(jì)

采用符號(hào)型自適應(yīng)模糊控制器來控制一級(jí)倒立擺，控制器的輸出為uc（t），有

其中

取U＝‖K‖2＝53.51，β按照加權(quán)積分原理來設(shè)計(jì)。

設(shè)e為綜合誤差和綜合誤差率組成的向量，利用權(quán)向量Pn將其變?yōu)闃?biāo)量e＊（t）＝eTPn，從而和e（t）的關(guān)系可以表示為

KI為比例系數(shù)，對(duì)）在（0，t）積分便有

考慮ω（E，EC）為e＊（t）在t時(shí)刻的權(quán)重，可以將上式寫為加權(quán)積分形式

式中：β（0）作為一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)實(shí)際情況來選取。

3 仿真結(jié)果

設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為［0.2－0.2 0.1 0.05］，在仿真實(shí)驗(yàn)中取β（0）＝1，KI＝5，Pn＝［5，5］T。首先，采用本文算法和變論域自適應(yīng)模糊控制算法對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其中本文算法中取k＝1，變論域自適應(yīng)模糊控制算法采用見表3的模糊規(guī)則。

表3 變論域模糊控制規(guī)則

伸縮因子如下式選取

選擇仿真時(shí)間T＝10s，仿真結(jié)果如圖3、圖4和表4所示。

圖3 小車位移曲線

圖4 擺桿角度曲線

表4 穩(wěn)態(tài)精度對(duì)比（t＝8.0s）

上述仿真結(jié)果表明，相對(duì)于傳統(tǒng)的變論域模糊控制算法，符號(hào)型自適應(yīng)模糊控制算法不但有效提高了響應(yīng)速度，縮短了過渡時(shí)間，而且還減小了穩(wěn)態(tài)誤差，提高了控制精度，同時(shí)它的控制規(guī)則少，易于實(shí)現(xiàn)。

在本文方法中，k的取值也影響控制性能，下面分別選取k＝0.8，1.0和1.1 這3 個(gè)值，在前述系統(tǒng)條件下進(jìn)行仿真，如圖5、圖6和表5所示。

圖5 小車位移曲線 （k值的影響）

圖6 擺桿角度曲線 （k值的影響）

表5 k值對(duì)穩(wěn)態(tài)精度的影響（t＝8.0s）

根據(jù)上述結(jié)果，不難看出，k值增大，可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度，但是會(huì)給暫態(tài)過程帶來較大的波動(dòng)。應(yīng)該合理選擇k值，以保證系統(tǒng)的控制性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了基于符號(hào)型自適應(yīng)模糊控制算法的單級(jí)倒立擺控制器?？刂破骼米冃魏蟮姆?hào)函數(shù)權(quán)衡輸入變量，相對(duì)改變論域范圍，避免了伸縮因子的選擇難題。該方法減少了規(guī)則數(shù)和計(jì)算量，控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以節(jié)約大量成本。本文按照此方法搭建了單級(jí)倒立擺仿真平臺(tái)，仿真結(jié)果顯示了該方法具有良好的跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)精度。但符號(hào)函數(shù)的使用給暫態(tài)過程帶來了波動(dòng)，在本文基礎(chǔ)上，如何提高暫態(tài)過程的平穩(wěn)性，還需要后續(xù)研究。

［1］Mohamed I El－Hawwary，Elshafei A L，Emara H M，et al.Adaptive fuzzy control of the inverted pendulum problem ［J］.IEEE Transactions on Control System Technology，2006，14（6）：1135－1144.

［2］ZENG Ming，CHEN Bing，YIN Zhongjun.Simulation and research of semi－active suspension of vehicle based on double fuzzy controllers［J］.Computer Engineering and Design，2009，30（3）：693－695 （in Chinese）. ［曾鳴，陳兵，尹忠俊.基于雙模糊控制器的車輛半主動(dòng)懸架仿真研究 ［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2009，30 （3）：693－695.］

［3］QIU Zhifeng，HUANG Deng，GUI Weihua，et al.Study and application of the control system based on interpolation algorithm fuzzy－PID with variable universe［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2008，29 （11）：2435－2440 （in Chinese）. ［裘智峰，黃燈，桂衛(wèi)華，等.基于變論域插值模糊PID控制系統(tǒng)的研究與應(yīng)用 ［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2008，29（11）：2435－2440.］

［4］PAN Anqi，ZHANG Kairu，CHU Xuejiao，et al.MPPT control strategy based on theory of variable universe fuzzy control［J］.Semiconductor Optoelectronics，2013，34 （2）：316－320（in Chinese）.［潘安琪，張開如，初雪嬌，等.基于變論域模糊控制的MPPT 控制策略 ［J］.半導(dǎo)體光電，2013，34 （2）：316－320.］

［5］LONG Zuqiang，LIANG Ximing，YOU Kangming，et al.Double－input and single－output fuzzy control algorithm with potentially variable universe and its convergence ［J］.Control Theory ＆ Applications，2008，25 （4）：683－687 （in Chinese）.［龍祖強(qiáng)，梁昔明，游開明，等.雙輸入單輸出潛遺傳變論域模糊控制算法及其收斂性 ［J］.控制理論與應(yīng)用，2008，25 （4）：683－687.］

［6］ZHAO Yang，QU Xinghua，LI Rui.Self－adjusting control system of temperature based on fuzzy algorithm ［J］.Journal of Tianjin University，2011，44 （1）：73－78 （in Chinese）. ［趙陽(yáng)，曲興華，李睿.基于模糊算法的自調(diào)整溫度控制系統(tǒng)［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，44 （1）：73－78.］

［7］LONG Zuqiang，LIANG Ximing，YAN Gang.Universal approximation properties of fuzzy controllers with variable universe of discourse and their approximation conditions ［J］.Journal of Central South University （Science and Technology），2012，43 （8）：3046－3052 （in Chinese）. ［龍祖強(qiáng)，梁昔明，閻綱.變論域模糊控制器的萬(wàn)能逼近性及其逼近條件 ［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2012，43 （8）：3046－3052.］

［8］WANG Di，YAN Weisheng，F(xiàn)U Jiangfeng.Fuzzy－PID control for the rudder control system of AUV ［J］.Fire Control and Command Control，2009，34 （12）：163－165 （in Chinese）.［王迪，嚴(yán)衛(wèi)生，付江鋒.模糊控制在AUV 舵機(jī)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 ［J］.火力與指揮控制，2009，34 （12）：163－165.］

［9］CHEN Fuguo，DENG Guannan，TAN Yanhua.The design of improved variable universe fuzzy controller of triple inverted pendulum ［J］.Control Theory ＆ Applications，2010，27（2）：233－237 （in Chinese）. ［陳富國(guó)，鄧冠男，譚彥華.一種改進(jìn)的三級(jí)倒立擺變論域模糊控制器設(shè)計(jì) ［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27 （2）：233－237.］

［10］WU Shanyong.Study on control method based on inverted pendulum system ［D］.Xi’an：Xidian University，2009：6－9 （in Chinese）.［吳善永.基于倒立擺系統(tǒng)的控制算法研究［D］.西安：西安電子科技大學(xué)，2009：6－9.］

［11］ZHENG Hong，XU Hongbing，ZHU Guiping.Adaptive fuzzy control based on variable universe and its application to aero engine turbine power generator［J］.Control Theory ＆Applications，2008，25 （2）：253－256 （in Chinese）.［鄭宏，徐紅兵，朱貴平.變論域自適應(yīng)模糊控制在航機(jī)發(fā)電中的應(yīng)用 ［J］.控制理論與應(yīng)用，2008，25 （2）：253－256.］