基于SL0算法的快速局部稀疏多徑信道估計

劉 婷，周 杰，2＋

（1.南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京210044；2.日本國立新瀉大學 工學部電氣電子工學科，新瀉950－2181）

0 引 言

未來無線移動通信在數(shù)據(jù)傳輸速率、系統(tǒng)性能以及系統(tǒng)容量等方面的要求日益增長，目前已由傳統(tǒng)的單輸入單輸出系統(tǒng)（single input single output，SISO）發(fā)展到多輸入多輸出（multi input multi output，MIMO）系 統(tǒng)。采 用MIMO多天線發(fā)送和接收技術(shù)，可用充分利用空間分集的方法在空間域上獲得更大的信道容量增益，從而滿足高傳輸速率、高傳輸性能以及高頻譜利用率［1］。MIMO 系統(tǒng)接收信道均衡和相關(guān)檢測都需要精確的信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI）。所以，信道估計已經(jīng)成為一個重要的研究方向。只有對CSI的準確估計，才能夠進一步研究時延，多普勒頻移以及相關(guān)衰落的空間多樣性［2］?，F(xiàn)在一般采用基于訓練序列的多徑信道估計方法［3］，這樣接收端可以及時掌握信號的數(shù)據(jù)量、頻率等有效信息，從而更好地獲知CSI信息。傳統(tǒng)的信道估計方法，均假定無線多徑信道是密集型的，導致頻譜利用率低。隨著研究的逐步深入，可以發(fā)現(xiàn)無線信道的稀疏性［4］，所以挖掘稀疏信道的特性并加以利用可以大大提高頻譜資源的利用率?，F(xiàn)已在圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮、雷達等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［5］。研究表明，之前關(guān)于信道的估計一般都是假定信道是純密集型或純稀疏型信道，但是在實際信道估計時，往往都是混合型信道，即局部稀疏信道。局部稀疏信道由兩部分組成，一是密集型沖激響應(yīng)，二是稀疏型沖激響應(yīng)。密集型沖激響應(yīng)是由很多密集的非零抽頭系數(shù)組成的，而稀疏型沖激響應(yīng)只有很少的非零抽頭系數(shù)，絕大多數(shù)抽頭系數(shù)為零［6］。基于以上研究，本文采用局部稀疏信道模型，同時結(jié)合最優(yōu)化SL0算法［7］，對信道狀態(tài)信息進行了相關(guān)估計，分析了信噪比（signal noise ratio，SNR）、迭代次數(shù)、信道的壓縮程度對重構(gòu)原始信號誤差的影響。隨后文中分析了SL0算法與其它相關(guān)算法的重構(gòu)信號匹配度以及運算時間的大小，并通過數(shù)值仿真得到了驗證。研究結(jié)果表明快速平滑的L0（SL0）算法，可以很好地對稀疏信道進行估計。SL0算法準確度高，計算復雜度低，對噪聲不敏感，速度快，具有較好的魯棒性。所以，在實際信道估計中，采用SL0 算法，能夠高效精確地獲知CSI，從而能夠精確重構(gòu)出原始信號。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知的思想就是對稀疏信號以遠低于奈奎斯特采樣定律要求的頻率進行全局測量，將采樣和壓縮合二為一，然后選取重構(gòu)算法把壓縮信號恢復成原始信號。假定y＝［y（1），y（2），y（3），…，y（N）］T是一維離散信號，并且可用正交基組 ｛φi｝Ni＝1表示為

式中：h——y關(guān)于正交基的權(quán)重系數(shù)向量，若h 中只有K（K＜＜N）個系數(shù)遠大于零，其余系數(shù)都近似為零，則認為h具有稀疏特性。

1.2 信號重構(gòu)

根據(jù)以上介紹可知，h是Ψ 基下的K 稀疏信號，通過M（M＜＜N）個不同的觀測向量 ｛｝mj＝1對信號壓縮處理，計算h和每個觀測向量的內(nèi)積從而得到觀測值，由于M＜＜N，這就得到了壓縮信號s

但是由于h的K－稀疏性，可以采用適當?shù)闹貥?gòu)算法得到稀疏解＾h，進而得到估計信號＾x，可表示如下

1.3 測量矩陣的設(shè)計

一個非常重要的設(shè)計原則就是Θ 要滿足RIP （限制等距）性 質(zhì)［8］

當δi＜1，則認為矩陣Θ 滿足限制等距條件，這就使得K－稀疏信號h 的歐氏距離保持不變，防止h 在Θ 的零空間中，出現(xiàn)無窮解的情況。并且，隨著δi的減小，恢復出原始信號的失真程度也就越低。

1.4 壓縮感知算法研究

Candes等人證明了信號的重構(gòu)可以通過轉(zhuǎn)化為求解最小L0范式問題來獲取h的精確或近似逼近，從而恢復信號

式中：‖h‖0——h的0階范數(shù)，即h中非零元素的個數(shù)。

現(xiàn)在關(guān)于壓縮感知的算法主要有三大類：松弛方法、貪婪方法、非凸方法。以BP算法為代表的松弛方法，計算復雜度較高，稀疏系數(shù)位置不明確。貪婪算法，以（MP，OMP）［9］最為典型，在信噪比較高時，可以獲得較好的MSE估計性能，但在信噪比不高的情況下，估計效果非常不穩(wěn)定。非凸方法，迭代重加權(quán)LS算法和FOCUSS算法，算法計算量相對簡單，但是只有在待估計變量的稀疏度較高時，才能保證估計結(jié)果的準確性。

對于線性欠定系統(tǒng)方程（2），本文采用的信道估計算法，是基于過完備稀疏分解的，能直接最小化L0范數(shù)。這個方法在求解稀疏解時更加快速，估計精度高，計算量低；并且對信噪比SNR 的變化不敏感，可以獲得穩(wěn)健的稀疏估計量。

2 局部稀疏信道模型

假定訓練序列s（n）是服從高斯隨機分布的，h（n）表示稀疏信道沖激響應(yīng)，訓練序列通過稀疏信道后，在接收天線處，得到采樣數(shù)據(jù)樣本y（n）為

式中：m——稀疏信道響應(yīng)延遲，z（n）——零均值的圓對稱加性白高斯噪聲，式（7）用矩陣形式表示如下

縮寫形式為y＝SH＋Z。S 是Toeplitz矩陣，能夠滿足RIP性質(zhì)［10］。在實際信道估計中，有些直達波可能會先行到行程密集的脈沖，而經(jīng)過多次散射和反射的波，由于衰減等原因，會導致信道的稀疏性。從而我們可以得到局部稀疏多徑信道的一般表達式為h＝［hd，hs］T，hd代表Ld×1維的密集信道沖擊響應(yīng)，hs代表（L－Ld）×1維的稀疏信道沖擊響應(yīng)，二者構(gòu)成了本文所提出的局部稀疏信道

式中：hiexp（－jθi）——信道系數(shù)，Δm——采樣率，信道長度L＝mmax／Δm，信道稀疏度K＝｛｜hi｜＞0，i∈L｝。

本文采用的局部稀疏信道模型如圖1所示，密集型沖擊響應(yīng)由很多非零抽頭組成，稀疏型沖擊響應(yīng)只有為數(shù)不多的非零抽頭，二者共同組成了局部稀疏信道。同時非零信號的沖激響應(yīng)是以近似聚類的形式分布的。

圖1 局部稀疏信道沖擊響應(yīng)采樣

假設(shè)信道h由C 個塊狀沖擊響應(yīng)級聯(lián)構(gòu)成，每塊包含d 個信道抽頭，則局部稀疏信道h可表示如下

式中：L＝Cd。由于信道中不可避免會存在噪聲，所以本文擴展到有噪環(huán)境下進行考慮，從而信道h 的稀疏測量可表示為以下形式

其中

式中：μ——噪底，在噪聲環(huán)境下，通過觀測超過噪底的沖激響應(yīng)，就可得到局部稀疏信道的稀疏度。

3 快速平滑的SL0信道估計算法

由于高斯函數(shù)的可分辨性，本文采用零均值高斯函數(shù)來定義信道H，定義如下

由文獻 ［11］可知，基于壓縮感知的最優(yōu)局部稀疏信道估計可由以下式子表示

正則化系數(shù)λPSCA＞0，是兩項的權(quán)重

由此可以規(guī)定

從而可將信道h的L0范式的平滑估計轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)u的平滑估計研究。

定理 稀疏信道估計：Fσ（h）取最大值，s.t.y＝XH＋Z。

（1）當σ →∞，代表y＝XH＋Z 的L2范式估計，此時h＝XH（XXH）－1y；

（2）當σ→0，代表y＝XH＋Z 的L0范式估計。

基于以上定理，采用SL0進行稀疏信道估計。

輸入：訓練序列X，接收信號y，信道方差遞減序列σ＝｛σ1，…，σk｝，信道的初始估計值‖hPSCA‖0。

輸出：稀疏信道估計值hPSCA。

——初始化

y＝XH＋Z 中信道L2范式的最小逼近，此時信道可以通過偽逆的形式表現(xiàn)出來。

選擇σ的適當遞減序列σ＝｛σ1，…，σk｝。

——當k＝1，…，K；

（1）令σ＝σk；

（2）采用最速下降法，得到Fσ（h）的最大值，即信道H的最小化估計。

·初始化：hPSCA＝uk－1

·當n＝1，…，N 時（循環(huán)L 次）：

2）令hPSCA←hPSCA－μΔhPSCA，μ是步長；

3）hPSCA←hPSCA－XT（XXT）－1（XHPSCA－y）；

（3）令uk＝hPSCA，

——最終結(jié)果可以表示為hPSCA＝un。

4 結(jié)果與分析

4.1 仿真環(huán)境設(shè)置

本文主要采用了LS，OMP，CoSaMP以及最優(yōu)SL0對局部稀疏信道進行估計。信道服從頻率選擇性衰落，功率譜分布滿足高斯分布。訓練序列采用的是長度為100的復Toeplitz矩陣，信道長度為500，其中非零抽頭的個數(shù)為20。

4.2 SL0算法的相關(guān)性能

如表1所示，隨著迭代次數(shù)的增加，σ逐漸降低，SNR和匹配度Mat都逐漸增大，MSE 隨之減小。實際的信道估計中，應(yīng)選取適當?shù)牡螖?shù)和σ 值，以使SNR，MSE，Mat維持在一個較好的平衡狀態(tài)。

4.3 信道估計性能分析

4.3.1 估計值與真實之間的MSE

本文在正則化系數(shù)λ 取不同值的情況下，對局部稀疏信道模型和純稀疏信道模型做了比較分析。如圖2 所示，較之于純稀疏信道，局部稀疏信道的歸一化均方誤差更低。

表1 SL0的相關(guān)性能圖

圖2 不同模型下的正則化系數(shù)λ－RMSE比較

同時，相比于OMP以及CoSaMP算法，SL0算法具有更好的MSE 性能。從圖3 中可以看出，當信噪比超過15dB時，CoSaMP 的MSE 要明顯低于OMP，精度較高。但是，和SL0相比，它們只是次優(yōu)化的。SL0在整個SNR的比較范圍內(nèi)，都比OMP和CoSaMP兩個算法的MSE 要低出很多，基本能夠達到信號的精確重構(gòu)。

圖3 不同算法下的SNR－MSE 比較

4.3.2 MSE 的收斂性分析

本文采用的收斂性分析公式為

式中：m——試驗次數(shù)，n——迭代次數(shù)。收斂性越好，可明顯抑制噪聲的干擾，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定度。

從圖4中可以看出，在相同的迭代次數(shù)下，SL0算法的MSE 要明顯低于LS，OMP 與CoSaMP，隨著迭代次數(shù)的增加，SL0算法的收斂性能也遠遠優(yōu)于LS，OMP 以及CoSaMP的收斂性能。在使用較少迭代次數(shù)的情況下，相比LS，OMP 和CoSaMP，SL0 能夠取得相對更為精確的值。從而可以得到，SL0 算法對噪聲不敏感，具有較強的抗干擾能力，估計量穩(wěn)健。

圖4 算法收斂性比較

4.3.3 重構(gòu)初始信號的匹配度分析

傳統(tǒng)的信號重建質(zhì)量衡量標準包括信噪比、誤差等的分析比較。但是這些衡量標準并沒有一個固定的范圍，針對這種缺陷，本文采用一種新的重建質(zhì)量的衡量標準，即匹配度（matching rate，Mat）

匹配度是一個介于（0，1）的值，當匹配度越接近于1時，說明重構(gòu)信號和原始信號越接近。

圖5中，隨著c值的上升，匹配度呈上升趨勢。同時，在壓縮程度相同的情況下SL0 算法的匹配程度最高，當c值高于120時，匹配度Mat基本與1吻合，遠遠高于OMP和CoSaMP，可以完成信號的精確重構(gòu)。特別在c 為145時，SL0的匹配度高達0.999986，而CoSaMP 的匹配度為0.879144，OMP的匹配度僅僅為0.2106。

4.3.4 重構(gòu)精度分析

圖5 不同壓縮程度下的重構(gòu)算法匹配度

假設(shè)觀測矩陣是c×d 維的隨機矩陣，c／d 為采樣率。c值越小，壓縮程度越大，對信號處理、存儲、傳輸帶來的好處也就相應(yīng)增大。但是，壓縮程度越大，接收端重構(gòu)信號的難度也就隨之增大，精確度也會有所降低，所以要根據(jù)實際信道情況選取適當?shù)腸值，以保證系統(tǒng)的性能。本文在討論信號壓縮程度時，系統(tǒng)采用的信噪比SNR 是20dB，其重構(gòu)精度如圖6所示。當c取110時，MSE 較小，基本可以重構(gòu)出原始信號。但是，當c值繼續(xù)降低時，整個系統(tǒng)的重構(gòu)誤差就會有所上升，所以本次實驗環(huán)境，信號的極限壓縮程度為110。在c值一定的情況下，SL0算法的MSE 最低，與原信號吻合度最高。

圖6 不同壓縮程度下的算法重構(gòu)精度

4.3.5 算法的計算復雜度

本文通過計算4種算法的CPU 運算時間，可以得到各自的復雜度。盡管CPU 運算時間并不能完全反映各個算法進行信道估計的復雜度，但可以從中粗略得到算法的計算量。圖7中，SL0算法在進行稀疏信道估計時，所用時間都維持在0.05s以下，而CoSaMP 算法的運算時間遠大于0.2s，并且隨著壓縮程度的增大，有緩慢增加的趨勢。至于OMP，計算時間要高于CoSaMP與SL0，同時計算時間隨著c值的增大明顯上升，這就增加了系統(tǒng)的負擔。而LS算法的復雜度雖然較低，但是誤差很大，信號恢復效果不是很理想。

圖7 計算復雜度比較

可以看出，對于基于壓縮感知的局部稀疏信道估計，采用SL0算法的計算復雜度要比其它算法低很多，節(jié)約了時間，提高了整個系統(tǒng)的效率。

5 結(jié)束語

本文對局部稀疏信道進行了詳細的分析與估計。不同于純密集型信道或者純稀疏型信道，局部稀疏信道能夠更精確地恢復出初始信號中的信息。另外，采用新穎的SL0算法，充分利用稀疏信道的稀疏特性，獲得了較好的信道估計效果。相比較于LS，OMP，CoSaMP，SL0 算法具有更好的估計精度，與原信號匹配度高，計算量低，時間快，對噪聲不敏感，同時估計量穩(wěn)健，具有很好的魯棒性。

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