巖溶區(qū)地基極限承載力上限有限元數(shù)值模擬分析

趙明華，邱志博，張 銳

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南長(zhǎng)沙 410082)

我國(guó)疆域遼闊，碳酸鹽巖系分布廣泛，在水的溶蝕或潛蝕作用下，地層中常發(fā)育大小不一的溶洞或土洞，在下文中統(tǒng)稱為地下空洞。當(dāng)基礎(chǔ)下方存在地下空洞時(shí)，地基實(shí)際承載力將受到重要影響，若處理不當(dāng)可能給工程帶來(lái)極大的安全隱患和經(jīng)濟(jì)損失［1］。為了選取合適的基礎(chǔ)形式并制定合理的地基處理方案，需對(duì)地下空洞影響下的巖溶區(qū)地基承載力問題進(jìn)行全面分析。為此，本文針對(duì)考慮地下空洞影響的巖溶區(qū)地基極限承載力確定及影響因素分析開展研究工作，具有重要的工程意義。

目前，對(duì)地層中含空洞的巖溶區(qū)地基承載力問題進(jìn)行了大量的研究工作，主要從模型試驗(yàn)、有限元分析和理論研究3個(gè)方面展開。在模型試驗(yàn)方面，Kiyosumi M等［2］利用水泥土混合材料模擬堅(jiān)硬地層，對(duì)堅(jiān)硬地層中存在地下空洞時(shí)上部條形基礎(chǔ)的承載力進(jìn)行模型試驗(yàn)與分析，并觀察地基破壞機(jī)制;劉庭金等［3］對(duì)含空洞粘土地基的破壞過(guò)程進(jìn)行室內(nèi)模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究。有限元分析法是評(píng)估地下空洞影響常用的方法，陽(yáng)軍生等［4］、胡 慶 國(guó) 等［5］利 用 有 限 元 軟 件 (ABAQUS 和ANSYS)，分別研究巖溶地區(qū)圓形和條形基礎(chǔ)下方溶洞頂板的穩(wěn)定性與承載力問題;彭芳樂等［6］利用PLAXIS分析空洞位置、形狀、大小以及地基土的類型等諸因素對(duì)淺基礎(chǔ)承載力與沉降的影響。在理論研究方面，劉之葵等［7］根據(jù)彈性理論，利用莫爾-庫(kù)侖屈服準(zhǔn)則，對(duì)巖溶區(qū)土洞地基進(jìn)行安全穩(wěn)定性判別;WANG.MC等［8］、劉輝等［9］利用上限分析解析法推導(dǎo)條形基礎(chǔ)下伏圓形空洞的地基極限承載力上限法解析公式，得到極限承載力的確定方法和確定圖表。

綜上所述，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)巖溶區(qū)地基承載力課題研究取得了許多富有成效的研究成果，但尚未取得統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，因此，進(jìn)一步對(duì)巖溶區(qū)地基承載特性開展研究工作是十分必要的。本文將基于一種新型巖土工程數(shù)值方法——上限分析有限元法，對(duì)考慮地下空洞影響的巖溶區(qū)地基極限承載力確定及影響因素分析作進(jìn)一步探討。

1 上限分析有限元法

上限法因具有概念明確、計(jì)算簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，已成為一種常用的巖土工程穩(wěn)定性分析方法，廣泛用于求解地基承載力、擋土墻土壓力和邊坡穩(wěn)定性等問題［10，11］。對(duì)簡(jiǎn)單的問題，傳統(tǒng)上限定理解析法通過(guò)構(gòu)造機(jī)動(dòng)相容的速度場(chǎng)獲得對(duì)極限荷載的近似估計(jì);但對(duì)于復(fù)雜荷載條件、幾何邊界、速度邊界和非均質(zhì)材料等問題，人為構(gòu)建機(jī)動(dòng)相容的速度場(chǎng)十分困難，上限法的應(yīng)用因而受到了限制。為克服上述困難，上限分析有限元法應(yīng)運(yùn)而生，其核心思想是:利用有限元對(duì)速度場(chǎng)進(jìn)行離散化，然后依據(jù)上限定理的相關(guān)要求建立相應(yīng)的約束條件和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，得到一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，最后采用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法求解該模型，從而搜索出連續(xù)體破壞時(shí)的速度場(chǎng)和極限荷載值。通過(guò)將上限定理化歸為一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，上限有限元法使得復(fù)雜速度場(chǎng)的構(gòu)建可以交由計(jì)算機(jī)處理，極大地拓寬了上限法在復(fù)雜問題中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的具體形式如下:

上限分析有限元法的計(jì)算過(guò)程可概括為如下四個(gè)主要步驟:計(jì)算網(wǎng)格的生成、優(yōu)化模型的建構(gòu)、優(yōu)化模型的求解和計(jì)算數(shù)據(jù)的可視化(圖1)。因篇幅所限，上限分析有限元法的相關(guān)理論本文不作贅述，詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［12～15］。

圖1 上限分析有限元法求解流程圖Fig．1 Solving flowchart of finite element upper bound limit analysis method

2 計(jì)算假定與數(shù)值計(jì)算模型

2．1 計(jì)算假定

如圖2所示，假定基礎(chǔ)寬度為B，其下方存在一直徑為D的地下空洞，基礎(chǔ)底面與空洞頂部之間的垂直距離為H，地基巖土體的粘聚力、內(nèi)摩擦角和重度分別為c、φ、γ，則由以上計(jì)算參數(shù)可以看出，考慮地下空洞影響的巖溶區(qū)地基極限承載力的確定所涉及的影響因素眾多，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。為了簡(jiǎn)化分析計(jì)算過(guò)程，并突出主要影響因素的作用，提出如下計(jì)算假定:

(1)將地下空洞的形狀概化為圓形空洞，其位置處于基礎(chǔ)的正下方，按平面應(yīng)變狀態(tài)計(jì)算;

(2)視基礎(chǔ)為完全剛性體且底面光滑，基礎(chǔ)與土體的接觸面上可發(fā)生相對(duì)位移;

(3)地基巖土體為均質(zhì)各向同性的理想彈塑性材料，滿足關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則;

(4)基礎(chǔ)埋置深度為零，不考慮洞內(nèi)充填物的影響。

需要說(shuō)明的是，溶洞在漫長(zhǎng)的溶蝕發(fā)育過(guò)程中，其自重應(yīng)力場(chǎng)處于天然平衡狀態(tài)，故其破壞主要由外加荷載引起，為此本文在計(jì)算中主要研究外加荷載的作用效應(yīng)。

圖2 基礎(chǔ)及地下空洞簡(jiǎn)化基本模型Fig．2 Simplified model of footing and cavity

2．2 上限分析有限元法數(shù)值計(jì)算模型

根據(jù)計(jì)算假定及簡(jiǎn)化基本模型，提出由H/B、D/B和φ共同確定的巖溶區(qū)地基極限承載力Pu無(wú)量綱公式:

式中:H/B——空洞埋深與其基礎(chǔ)寬度之比;

D/B——空洞直徑與基礎(chǔ)寬度之比。

為全面分析主要影響因素H/B、D/B和φ對(duì)巖溶區(qū)基礎(chǔ)極限承載力的影響，本文在上限分析有限元數(shù)值計(jì)算時(shí)，計(jì)算參數(shù)取值如下:基礎(chǔ)寬度取單位長(zhǎng)度，而深度和空洞洞徑取基礎(chǔ)尺寸的倍數(shù)，考慮5種空洞洞徑(D/B=1，1.5，2，2.5，3)，不同的空洞埋置深度(H/B=1，2，3，4，5)，土體參數(shù)取 c＇=1，φ =0，5，…，35°。為了便于對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)基礎(chǔ)下方無(wú)空洞的情況亦進(jìn)行計(jì)算，分析工況全部通算共有208個(gè)工況。

因基本模型沿基礎(chǔ)中線對(duì)稱，只需取模型的一半進(jìn)行計(jì)算，圖3給出了D/B=2、H/B=2時(shí)的上限分析有限元法計(jì)算所用網(wǎng)格與邊界條件，有限元離散選用線性三角形單元，每個(gè)單元含6個(gè)節(jié)點(diǎn)速度分量和3個(gè)應(yīng)力分量。如圖3所示有限元網(wǎng)格共計(jì) 2432個(gè)單元和 2588個(gè)速度間斷線。因每一分析工況的洞徑和空洞埋置深度有所差異，相應(yīng)的單元及間斷面數(shù)也稍有不同。

圖3 上限分析有限元法計(jì)算網(wǎng)格Fig．3 The mesh of finite element upper bound limit analysis method

3 地基極限承載力計(jì)算結(jié)果及討論

3．1 地基極限承載力上限解

根據(jù)上述數(shù)值計(jì)算模型，對(duì)208個(gè)工況進(jìn)行上限分析有限元法數(shù)值計(jì)算，得到巖溶區(qū)基礎(chǔ)下伏空洞的地基極限承載力上限解Pu/c，將其按同一洞徑，不同空洞埋深和內(nèi)摩擦角繪制地基極限承載力圖表，如表1所示，表中符號(hào)“-”表示該工況下地基極限承載力等于前一埋置深度的承載力。為便于分析空洞存在的影響，在表中亦給出無(wú)空洞時(shí)地基極限承載力值作對(duì)比。

3．2 地基極限承載力影響因素分析

對(duì)比表1中有無(wú)空洞工況地基極限承載力值可知，基礎(chǔ)下方存在地下空洞時(shí)地基極限承載力普遍比無(wú)空洞小，表明地下空洞的存在對(duì)地基極限承載力產(chǎn)生一定的削弱作用。在同一洞徑條件下，地基極限承載力隨H/B的增加逐漸增大;當(dāng)H/B增加到某深度后，地基極限承載力增長(zhǎng)漸趨于穩(wěn)定，接近或達(dá)到無(wú)地下空洞條件的承載力水平。此時(shí)，認(rèn)為地基極限承載力不受空洞存在的影響，并將該深度視為地下空洞不影響地基極限承載力的臨界埋置深度。

表1 D/B=1時(shí)地基極限承載力上限解Table 1 Upper bound solution of ultimate bearing capacities when D/B=1

由圖4可看出，地基極限承載力隨φ變大而增大，且當(dāng)φ≥10°時(shí)，H/B對(duì)地基極限承載力影響顯著;當(dāng)含空洞極限承載力曲線與無(wú)空洞重合時(shí)，說(shuō)明已達(dá)到臨界埋置深度要求。進(jìn)一步分析可看出，當(dāng)D/B=1時(shí)，在H/B=3深度條件下取任意φ值均達(dá)到臨界埋置深度要求;但洞徑D/B=3時(shí)，取φ=0～20°時(shí)空洞的臨界埋置深度為H/B=4，取φ=20～35°時(shí)空洞的臨界埋置深度為H/B=5，說(shuō)明空洞的臨界埋置深度受D/B和φ的影響。

圖4 不同D/B值時(shí)地基極限承載力與φ的關(guān)系曲線Fig．4 Relation curves of ultimate bearing capacities and φ of different D/B

當(dāng)H/B=2，3時(shí)，地基極限承載力與φ關(guān)系曲線如圖5所示。從圖5中可看出，保持H/B不變，地基極限承載力隨洞徑D/B的增大而降低，且洞徑越大時(shí)，地下空洞存在對(duì)地基極限承載力削弱越明顯;當(dāng)φ≤10°時(shí)，D/B的增大對(duì)地基極限承載力的影響較小，當(dāng)φ＞10°時(shí)，D/B的增大對(duì)地基極限承載力產(chǎn)生顯著影響，且φ值越大洞徑增加對(duì)地基極限承載力降低越明顯。分析表明:當(dāng)空洞具有一定埋置深度時(shí)，因巖土體φ值較小，地基極限承載力也較小，地基應(yīng)力僅在地基淺層土體分布，尚未傳至地基深處，地基深處地下空洞大小變化不影響地基極限承載力。而內(nèi)摩擦角較大時(shí)，地基極限承載力隨著變大，應(yīng)力擴(kuò)散范圍變大逐漸傳至地下空洞區(qū)域，地下空洞大小將對(duì)地基極限承載力產(chǎn)生影響。

圖5 不同H/B值時(shí)空洞洞徑與極限承載力的關(guān)系曲線Fig．5 Relation curves of ultimate bearing capacities and void of different H/B

4 算例分析

4．1 計(jì)算參數(shù)及結(jié)果

本文采用文獻(xiàn)［9］的算例，選取基礎(chǔ)寬度為B，空洞直徑D/B=1～5，空洞埋置厚度H/B=1.0～5.0，c=0.55 MPa，φ =24°，γ =20 kN/m3。按照上述數(shù)值計(jì)算方法，利用在Matlab平臺(tái)已編制的計(jì)算機(jī)程序，對(duì)包括無(wú)空洞情況下不同空洞埋置深度和直徑的地基極限承載力進(jìn)行計(jì)算，將本文計(jì)算所得上限解與文獻(xiàn)［9］上限解作對(duì)比，如表2所示。

4．2 討論

由表2可知:①采用本文方法計(jì)算得到的上限解與文獻(xiàn)［9］采用上限分析解析法所獲得的上限解很接近;②本文上限解均比文獻(xiàn)［9］的上限解小，由塑性理論上限定理可知，本文上限解是一個(gè)更接近巖溶區(qū)地基極限承載力真實(shí)值的上限解。

上述算例對(duì)比分析表明，本文運(yùn)用上限分析有限元法計(jì)算得到關(guān)于巖溶區(qū)地基極限承載力上限解是合理的。通過(guò)對(duì)算例計(jì)算及將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有研究成果對(duì)比分析，論證了表1巖溶區(qū)地基極限承載力上限解對(duì)巖溶區(qū)類似實(shí)際工程的參考價(jià)值。在本文方法中無(wú)需人為構(gòu)造機(jī)動(dòng)相容速度場(chǎng)，且能獲得較嚴(yán)格上限解，體現(xiàn)了本文方法較現(xiàn)有分析方法的優(yōu)越性。

表2 地基極限承載力計(jì)算結(jié)果(MPa)Table 2 Results of foundation ultimate bearing capacities(MPa)

5 結(jié)論

(1)利用上限分析有限元法研究考慮地下空洞影響的巖溶區(qū)地基極限承載力確定方法，算例驗(yàn)證了本文方法的合理性，數(shù)值計(jì)算得出三種因素影響下的地基極限承載力上限解成果數(shù)表可為巖溶區(qū)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)和施工中地基極限承載力的確定提供參考。

(2)通過(guò)對(duì)巖溶區(qū)地基極限承載力影響因素分析表明，地基極限承載力受地下空洞埋置深度、洞徑和內(nèi)摩擦角共同影響;地基極限承載力隨D/B增大而減小，隨H/B和φ增大而增大;且φ越大，H/B和D/B對(duì)地基極限承載力影響效果越顯著。

(3)地下空洞在地基中存在一個(gè)臨界埋置深度，當(dāng)空洞的埋深超過(guò)此臨界埋置深度時(shí)，可忽略地下空洞對(duì)地基極限承載力的影響，該臨界埋置深度的大小與D/B和φ有關(guān)。

［1］ 常士驃，張?zhí)K民.工程地質(zhì)手冊(cè)［M］.4版.北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2006.［CHANG S B，ZHANG S M.Manual of engineering geology［M］.4th ed.Beijing:China Architecture and Building Press，2006.(in Chinese)］

［2］ Kiyosumi M，Kusakabe O，Ohuchi M.Model Tests and Analyses of Bearing Capacity of Strip Footing on Stiff Ground with Voids［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2011，137(4):363-375.

［3］ 劉庭金，李元海.有空洞地基破壞過(guò)程的試驗(yàn)和數(shù)值模擬［J］.土工基礎(chǔ)，2008，22(2):43-46.［LIU T J，LI Y H.Experimental and Numerical Test on Progressive Failure Process of Clay Foundation with Cavity Below ［J］.Soil Eng.And Foundation，2008，22(2):43-46.(in Chinese)］

［4］ 陽(yáng)軍生，張軍，張起森，等.溶洞上方圓形基礎(chǔ)地基極限承載力有限元分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24(2):296-301.［YANG J S，ZHANG J，ZHANG Q S，et al.Finite element analysis of ultimate bearing capacity of circular footing above karst cave［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24(2):296-301.(in Chinese)］

［5］ 胡慶國(guó)，張可能，陽(yáng)軍生.溶洞上方條形基礎(chǔ)地基極限承載力有限元分析［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，36(4):694-697.［HU Q G，ZHANG K N，YANG J S.Finite element analysis of ultimate bearing capacity of strip footing above Karst cave［J］.Journal of Central South University(Science and Technology)，2005， 36(4):694-697.(in Chinese)］

［6］ 彭芳樂，清住真，高偉，等.空洞的存在對(duì)淺基礎(chǔ)承載力與沉降影響分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，26(6):1123-1131.［PENG F L，Kiyosumi Makoto，GAO W，et al.Study on bearing capacity and settlement of shallow foundation with void［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2007，26(6):1123-1131.(in Chinese)］

［7］ 劉之葵，梁金城，朱壽增，等.巖溶區(qū)土洞地基穩(wěn)定性分析［J］.水文地質(zhì)工程地質(zhì)，2003，30(3):24-28.［LIU Z K，LIANG J C，ZHU S Z，et al.Stability analysis of soil cave foundation in karst area［J］.Hydrogeology＆ Engineering Geology，2003，30(3):24-28.(in Chinese)］

［8］ WANG M C，Hsieh C W.Collapse load of strip footing above circular void［J］. Journal of geotechnical engineering，1987，113(5):511-515.

［9］ 劉輝，楊峰，陽(yáng)軍生.空洞上方淺基礎(chǔ)地基破壞模式與極限承載力分析［J］.巖土力學(xué)，2010，31(11):3373-3378.［LIU H，YANG F，YANG J S.Failure mechanism and ultimate bearing capacity of strip footing above void［J］.Rock and Soil Mechanics，2010，31(11):3373-3378.(in Chinese)］

［10］ CHEN W F.Limit analysis and soil plasticity［M］.Amsterdam:Elsevier Science，1975.

［11］ 姜玉平，陳征宙，畢港，等.基于極限分析法的邊坡臨界高度及穩(wěn)定性研究［J］.水文地質(zhì)工程地質(zhì)，2012，39(2):43-46.［JIANG Y P，CHEN Z Z，BI G，et al.Research on critical height and stability of slopes based on upperbound limit analysis method［J］.Hydrogeology ＆ Engineering Geology，2012，39(2):43-46.(in Chinese)］

［12］ Lyamin A V，Sloan S W.Upper bound limit analysis using linear finite elements and non-linear programming［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2002，26(2):181-216.

［13］ LYAMIN A V，SLOAN S W.Mesh generation for lowerbound limitanalysis ［J］. Advances in Engineering Software，2003，34(6):321～338.

［14］ Krabbenhoft K，Lyamin A V，Hjiaj M，et al.A new discontinuous upper bound limit analysis formulation［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2005，63(7):1069-1088.

［15］ 王均星，王漢輝，張優(yōu)秀，等.非均質(zhì)土坡的有限元塑性極限分析［J］.巖土力學(xué)，2004，25(3):415-421.［WANG J X，WANG H H，ZHANG Y X，et al.Plastic limit analysis of heterogeneous soil slope using finite elements［J］.Rock and Soil Mechanics，2004，25(3):415-421.(in Chinese)］