近似模型在非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼優(yōu)化中的應(yīng)用研究

王 建，龐永杰，程妍雪，楊卓懿，劉 偉

（哈爾濱工程大學(xué) 水下智能機器人技術(shù)國防科技重點實驗室，哈爾濱150001）

1 引 言

耐壓殼是潛水器的一個至關(guān)重要的構(gòu)件，起著承受水壓力，保障艙室內(nèi)部各種儀器設(shè)備正常工作的作用，同時也為潛水器提供了重要的浮力儲備。對于目前潛水器中常用的環(huán)肋圓柱耐壓殼而言，相比于球殼等其他形式的耐壓殼，環(huán)肋圓柱耐壓殼具有加工難度低，利于艙室布置，屈服強度和穩(wěn)定性比較容易滿足等優(yōu)點。但是，對于大多數(shù)環(huán)肋圓柱耐壓殼而言，屈服強度要求比較容易滿足，而穩(wěn)定性則較難滿足。為此設(shè)計者們通常使用較大厚度的殼板，以提高耐壓殼的屈曲穩(wěn)定性能，與此同時，這也導(dǎo)致結(jié)構(gòu)強度的利用率下降和成本的上升。為此，近年來有不少的學(xué)者從耐壓殼的自身結(jié)構(gòu)形式和布局著手，研究如何提高環(huán)肋圓柱耐壓殼的穩(wěn)定性。如呂春雷[1]對多種型式的肋骨加強的耐壓圓柱殼的穩(wěn)定性進(jìn)行了比較研究；朱邦俊[2]提出了半圓環(huán)形肋骨的型式以提高耐壓殼的穩(wěn)定性能；程妍雪[3-4]、Kukbin Kim[5]對肋骨等間距剛度非均勻的環(huán)肋耐壓殼的結(jié)構(gòu)強度性能進(jìn)行了研究。環(huán)肋圓柱殼一階失穩(wěn)時，沿縱向呈現(xiàn)一個正弦半波，艙段中間處的徑向失穩(wěn)位移最大[3]。因此，改變原來的圓柱耐壓殼的結(jié)構(gòu)布局，采用不等剛度不等間距分布的肋骨形式，提升艙段中間位置的剛度，將有效地提高殼體的穩(wěn)定性能。

傳統(tǒng)優(yōu)化的設(shè)計方式，根據(jù)分析結(jié)果，重復(fù)著修改模型、計算和分析的循環(huán)，不但將導(dǎo)致工作量的空前加大和難度增加，而且在某些算法上還容易使尋優(yōu)結(jié)果陷入局部最優(yōu)解[6]。在優(yōu)化過程中引入近似模型（approximation model）技術(shù)則能有效地解決上述問題。近似模型考慮了擬合精度和擬合效率[7]，能代替計算龐大的仿真計算，并且還可避免優(yōu)化過程中時常出現(xiàn)的數(shù)值噪聲和錯誤。因此，本文在潛水器的圓柱耐壓殼設(shè)計中，引入非均勻肋骨布置方案，并研究了近似模型技術(shù)在其優(yōu)化設(shè)計過程中的應(yīng)用。

2 非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼

目前，大多數(shù)的外壓圓柱殼的肋骨截面慣性矩沿圓柱殼的軸線方向是等距均勻分布的[3]。雖然，這樣的結(jié)構(gòu)布局有利于加工，降低加工工藝難度，但是從艙段總體穩(wěn)定性考慮，這并不很合理。因為環(huán)肋耐壓圓柱總體失穩(wěn)時，縱向形成半個正弦波（除非艙段中央部分的肋骨剛度即肋骨截面的慣性矩相當(dāng)大)，圓柱殼中央部分的徑向失穩(wěn)位移最大[3-4]。因此，環(huán)肋圓柱耐壓殼的肋骨，若采用非均勻的布置形式，將有效地提高耐壓殼的屈曲穩(wěn)定性能，提高材料的利用率和降低殼體和潛水器的總體重量。

圖1 非均勻環(huán)肋圓柱殼剖面圖與三維立體圖Fig.1 The profile and three-dimensional model of the non-uniform ring-frames pressure shell

本文所研究的非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼，是指均勻材料的外肋耐壓殼，其肋骨截面的慣性矩非均勻（即肋骨寬、肋骨高尺寸的不同），和肋骨間距的非均勻布置。圖1為本文所討論的非均勻環(huán)肋圓柱殼剖面圖與三維立體圖。

文獻(xiàn)[1，4]研究了等間距剛度非均勻環(huán)肋圓柱殼的穩(wěn)定性，并給出了此類環(huán)肋圓柱殼總體失穩(wěn)臨界壓力公式[4]：

式中：L為兩橫艙壁的間距；m為殼體失穩(wěn)時沿徑向上形成的半波數(shù)，通常m=1；n為殼失穩(wěn)時沿殼體周上形成的整波數(shù)，通常將n=2，3，4分別代入公式，取使臨界壓力最小的值。

由公式（1）可以計算等間距剛度非均勻環(huán)肋圓柱殼的穩(wěn)定性能，并且可知合理地布置肋骨的剛度與間距可以有效地提高耐壓殼的穩(wěn)定性。但是對于非均勻環(huán)肋圓柱殼的屈服、屈曲性能計算分析依舊比較復(fù)雜。對于潛水器而言，特別是大潛深的潛水器，其耐壓殼的半徑與厚度比值遠(yuǎn)小于20，已屬于中厚度殼體。故，本文依據(jù)《潛水系統(tǒng)與潛水器入級建造規(guī)范-1996》[8]，采用有限元分析軟件ANSYS計算耐壓殼的結(jié)構(gòu)強度。選取SOLID45單元建立參數(shù)化各向同性耐壓殼參數(shù)化有限元模型，加載外壓靜水壓力，進(jìn)行屈服屈曲強度分析。提取柱坐標(biāo)系下，耐壓殼相鄰肋骨中點處殼板的周向應(yīng)力σ1，肋骨處殼板的軸向應(yīng)力σ2，肋骨應(yīng)力σr，肋骨間殼板屈曲壓力Pcr1，艙段整體總體屈曲壓力Pcr2，作為非均勻環(huán)肋耐壓殼的強度校核準(zhǔn)則。

3 近似模型

20世紀(jì)70年代Schmit等人首次將近似模型的概念引入到結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中。近似模型技術(shù)采用數(shù)學(xué)模型的方法逼近一組輸入變量與輸出變量的方法，是試驗設(shè)計、數(shù)理統(tǒng)計和最優(yōu)化技術(shù)的綜合應(yīng)用[7]。在優(yōu)化過程中使用近似模型，不但能代替計算量龐大的仿真計算，而且還能避免優(yōu)化過程中時常出現(xiàn)的數(shù)值噪聲和錯誤。故該方法能高效地完成優(yōu)化任務(wù)，并節(jié)省大量的計算時間。目前常用的近似模型主要有二階響應(yīng)面近似模型（response surface model，RSM）和徑向基（radial basis functions，RBF）網(wǎng)絡(luò)近似模型，其原理如下。

3.1 響應(yīng)面近似模型

響應(yīng)面模型的基本思想是采用低階的多項式對輸入變量和輸出變量回歸分析，運用最小二乘法，構(gòu)造出精度較高的，能顯式表達(dá)近似函數(shù)關(guān)系。目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)值y與設(shè)計變量x之間的關(guān)系如下式所示[6]：

本文在優(yōu)化中采用的響應(yīng)面模型為二階響應(yīng)面模型，其形式如下[6]：

式中：xi為輸入變量，n為輸入變量的個數(shù)。a0，bi，cii和dij分別為常數(shù)項、一次項、二次項和交叉項的待定系數(shù)。

3.2 徑向基（RBF）網(wǎng)絡(luò)近似模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由許多神經(jīng)元組成的一類適應(yīng)系統(tǒng)，模擬了人腦的結(jié)構(gòu)和功能，能表述分析復(fù)雜的非線性問題和關(guān)系。20世紀(jì)80年代，Hopfield首次成功地將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運用于組合優(yōu)化問題中[9]。徑向基網(wǎng)絡(luò)是諸多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中最具有代表性的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

徑向基網(wǎng)絡(luò)是一種由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成的三層前向性網(wǎng)絡(luò)。其基本思想是：以待測點與樣本點之間的歐幾里德距離為自變量，即假設(shè)代表一組輸入變量為基函數(shù)，通過線性疊加的方式構(gòu)成徑向基網(wǎng)絡(luò)模型。在RBF網(wǎng)絡(luò)中，包括輸入層到隱含層非線性變換和隱含層到輸出層線性變換兩個階段，變換的參數(shù)包括基函數(shù)的中心和方差以及權(quán)值。徑向基網(wǎng)絡(luò)近似模型，無須任何數(shù)學(xué)假設(shè)，具有黑箱特點，其學(xué)習(xí)速度快，具有很強的逼近復(fù)雜非線性函數(shù)能力和極好的泛化能力[9]。

4 基于近似模型非均勻環(huán)肋耐壓殼的優(yōu)化方法

4.1 優(yōu)化模型

本文討論的非均勻加肋耐壓殼為外肋矩形截面的耐壓殼，其肋骨截面的寬度和高度尺寸均不同，和肋骨間的間距的非均勻，采用左右對稱的結(jié)構(gòu)布置形式。選取圓柱殼內(nèi)徑R，殼板厚度t，肋骨數(shù)N，相鄰兩肋骨間距Lr（i），每根肋骨的高Hr（i），寬 Br（i）（肋骨編號順序，由中間向兩端計數(shù)，左右對稱，如圖1所示），法蘭高Hf，法蘭寬Bf為設(shè)計變量。以圓柱耐壓殼的重量W為目標(biāo)函數(shù)。以柱坐標(biāo)系下，耐壓殼相鄰肋骨中點處殼板的周向應(yīng)力σ1，肋骨處殼板的軸向應(yīng)力σ2，肋骨應(yīng)力σr，肋骨間殼板屈曲壓力Pcr1，艙段整體總體屈曲壓力Pcr2的許用值為約束條件。該耐壓殼的設(shè)計深度為D=1 000 m，內(nèi)半徑R=125 mm，艙長L=1 000 mm，重W=22.37 kg。優(yōu)化模型的相關(guān)初始參數(shù)如表1所示，各設(shè)計變量的約束如表2所示。

表1 優(yōu)化模型初始參數(shù)Tab.1 The initial particular of the model

表2 優(yōu)化模型設(shè)計變量約束Tab.2 The bound of the model’s variables

4.2 基于近似模型優(yōu)化方法

直接將近似模型加載入優(yōu)化過程中是目前最常用的優(yōu)化方式。首先在設(shè)計空間內(nèi)運用試驗設(shè)計方法安排一定量的仿真計算，對輸入和輸出變量進(jìn)行分析判斷，以仿真結(jié)果為依據(jù)建立近似模型。并將檢驗合格滿足精度要求的近似模型加載到優(yōu)化過程中，利用優(yōu)化算法對設(shè)計變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)的分析，通過近似模型的計算，不斷循環(huán)迭代，最終獲得全局最優(yōu)解。本文在使用近似模型對非均勻環(huán)肋圓柱殼進(jìn)行優(yōu)化的流程如圖2所示。

圖2 基于近似模型非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼優(yōu)化流程圖Fig.2 The flow of pressure shell optimization by use approximate model

5 近似模型對比分析及優(yōu)化實例

5.1 近似模型對比分析

復(fù)相關(guān)系數(shù)R2常被用來衡量近似模型與樣本點相符合的程度[9]。其定義如下：

式中：n為模型驗證的樣本數(shù)量，yi為真實相應(yīng)值，為由近似模型得到的估計值，為真實相應(yīng)值的均值。R2越接近于1，說明近似模型的可信度就越高。

在本文建立的非均勻加肋圓柱耐壓殼的有限元分析程序中，設(shè)計參數(shù)相鄰兩肋骨間距Lr（i），每根肋骨的高Hr（i），寬 Br（i）是動態(tài)的數(shù)組，其維數(shù)隨肋骨數(shù)變化而變化，故總的設(shè)計變量的數(shù)量也是變化的，根據(jù)研究對象的設(shè)計空間，本算例最多時共有23個設(shè)計參變量。借助iSIGHT軟件集成ANASYS運用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計（optimal latin hypercube design，Opt LHD）方法分別安排300次、600次、900次、1 200次試驗設(shè)計，得到非均勻加肋耐壓殼的各設(shè)計參數(shù)與重量、應(yīng)力的樣本響應(yīng)值。并分別擬合得到耐壓殼的二次多項式RSM近似模型、和RBF近似模型。為預(yù)測近似模型的可信度，本文在設(shè)計空間內(nèi)隨機抽取96個點，計算近似模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2。表3為在各試驗次數(shù)下所擬合得到的二次多項式RSM模型和RBF近似模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2。

表3 近似模型的精度Tab.3 Precision of approximation model

由表3可知，兩種近似模型對σ2的擬合的質(zhì)量都不是很好，需要較多的試驗次數(shù)才能得到比較滿意的精度；在較低試驗次數(shù)下，RBF模型的可信度明顯高于二階RSM模型。在300次試驗設(shè)計時RBF模型的可信度除σ2之外，其他的響應(yīng)值的可信度均大于0.9為可接受的范圍，而二階RSM模型的絕大部分響應(yīng)值的可信度為0；隨著試驗設(shè)計的試驗次數(shù)增加，近似模型的可信度也逐步的提高，其中1 200次試驗設(shè)計下的近似模型質(zhì)量最好。所以，當(dāng)近似模型的可信度不滿足要求是，可以從數(shù)量、變量水平、試驗次數(shù)以及更換近似模型等方面考慮，以提高近似模型的可信度。

5.2 非均勻加肋耐壓殼優(yōu)化結(jié)果分析

借助iSIGHT軟件分別將經(jīng)1 200次試驗設(shè)計得到的二階RSM近似模型和RBF模型，結(jié)合多島遺傳算法[9，11]（multi-island genetic algorithm）按照圖2的優(yōu)化流程搭建構(gòu)成非均勻環(huán)肋耐壓殼優(yōu)化策略。其中多島遺傳算法的參數(shù)設(shè)置如下:子群規(guī)模為15，子群個數(shù)15，總進(jìn)化代數(shù)200，交叉概率pc為0.85，變異概率pm為0.01，島間遷移率為0.01，遷移的間隔代數(shù)為5。通過分析目標(biāo)函數(shù)和約束條件是否滿足要求，不斷地更新優(yōu)化變量，從而形成新的設(shè)計點，通過近似模型進(jìn)行計算，不斷循環(huán)往復(fù)直至獲得全局最優(yōu)解。通過尋優(yōu)迭代最終得到各個模型的最優(yōu)方案，如表4和表5所示。

表4 優(yōu)化后的耐壓殼尺寸Tab.4 The particular of cylindrical pressure shell after optimization

表5 耐壓殼優(yōu)化結(jié)果Tab.5 The result of optimization

分析表4，表5的優(yōu)化結(jié)果。對比各優(yōu)化方案優(yōu)化后的耐壓殼屈服強度，穩(wěn)定性和重量可知，無論是使用2階RSM模型和RBF模型進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果均與直接優(yōu)化的結(jié)果相近。在優(yōu)化過程中，使用近似模型優(yōu)化方法只須在試驗設(shè)計時調(diào)用1 200次ANSYS仿真計算，而若采用直接優(yōu)化的方法則須調(diào)用45 000次ANSYS仿真計算，這大大減少了仿真計算的次數(shù)?？梢?，使用近似模型的優(yōu)化方法能以少量的仿真計算，優(yōu)化出令設(shè)計者滿意的結(jié)果；由于RBF更能合理地擬合設(shè)計空間的樣本點，更真實地反應(yīng)優(yōu)化目標(biāo)的特性，故使用RBF近似模型的優(yōu)化結(jié)果比使用二階RSM近似模型的結(jié)果更為接近直接優(yōu)化的優(yōu)化結(jié)果。

圖3為各優(yōu)化方案優(yōu)化后耐壓殼一階失穩(wěn)模態(tài)圖。對于均勻環(huán)肋耐壓殼艙段失穩(wěn)時，為一個半波，艙段中部的位移最大。而非均勻環(huán)肋耐壓殼，通過合理對肋骨位置、剛度進(jìn)行布置，使艙段中部的結(jié)構(gòu)剛度加強，限定了失穩(wěn)時中部的位移，從而提高艙段整體的穩(wěn)定性。從失穩(wěn)模態(tài)來看，經(jīng)優(yōu)化后非均勻環(huán)肋耐壓殼的肋骨間殼板屈曲壓力Pcr1均大于15 MPa，艙段整體總體屈曲壓力Pcr2也均大于18 MPa。故所有的優(yōu)化結(jié)果均滿足1 000 m潛深對耐壓殼的結(jié)構(gòu)強度要求。結(jié)合表5可知，非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼的優(yōu)化結(jié)果與普通均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼的優(yōu)化結(jié)果相比較，無論采用何種優(yōu)化方式，非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼優(yōu)化后的重量均比普通耐壓殼輕。這表明，非均勻環(huán)肋耐壓殼是能在保證耐壓殼體的屈服和屈曲強度的前提下，通過合理的布置肋骨截面尺寸和肋骨間距，能有效地提高殼體的結(jié)構(gòu)性能，能最大限度地提高材料利用率，從而降低殼體的重量。

圖3 環(huán)肋圓柱耐壓殼優(yōu)化后一階失穩(wěn)模態(tài)Fig.3 The deformation atlas of first order instability after optimization model

6 結(jié) 語

為提高潛水器圓柱耐壓殼的穩(wěn)定性，并提高材料的利用率，本文在潛水器的圓柱耐壓殼設(shè)計中引入非均勻肋骨布置方案，并研究了近似模型技術(shù)在其優(yōu)化設(shè)計過程中的應(yīng)用。本文借助ISIGHT軟件采用拉丁超立方方法進(jìn)行試驗設(shè)計構(gòu)建出2階RSM模型和RBF模型，搭建了近似模型直接優(yōu)化策略的優(yōu)化方式，并利用多島遺傳算法法進(jìn)行優(yōu)化實現(xiàn)了對非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼的優(yōu)化，得到了令人滿意的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。經(jīng)研究得出如下結(jié)論：

（1）基于近似模型的優(yōu)化分析方法，在優(yōu)化中，運用最優(yōu)拉丁超立方的試驗設(shè)計方法，能在設(shè)計空間內(nèi)，以少量仿真計算結(jié)果就能擬合出反映整個設(shè)計空間屬性的近似分析模型。代替實際仿真計算對優(yōu)化問題進(jìn)行分析，很大程度的減少目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)評估的計算量，從而加快了設(shè)計進(jìn)程與效率。

（2）二次多項式RSM和RBF兩種近似模型構(gòu)建的非均勻環(huán)肋圓柱耐壓殼屈服和屈曲誤差表明，RBF模型的擬合誤差明顯小于多項式響應(yīng)面模型的誤差。并且能在較少的數(shù)據(jù)中擬合出輸入變量與輸出量之間的復(fù)雜關(guān)系，故在優(yōu)化中采用RBF近似模型得到的優(yōu)化結(jié)果更為真實可靠。

（3）相比于普通圓柱耐壓殼，非均勻加肋圓柱耐壓殼，通過合理的布置肋骨截面尺寸和肋骨間距，更大限度地發(fā)揮肋骨的作用，能有效地提高耐壓殼的屈服屈曲結(jié)構(gòu)性能。故在耐壓殼的設(shè)計中，采用非均勻的加肋形式，可最大限度地提高材料利用率，從而降低潛水器的重量。

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