留數(shù)定理在積分計(jì)算中的應(yīng)用

智麗麗 李艷青

（1，2.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

積分計(jì)算不僅是高等數(shù)學(xué)的一大內(nèi)容，也是其它學(xué)科在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需要處理的一大問(wèn)題。針對(duì)各類不同形式的被積函數(shù)，往往難于求出其原函數(shù)，復(fù)變函數(shù)為我們提供了一個(gè)很重要的理論計(jì)算方法，即留數(shù)定理。

留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論,尤其對(duì)于難于用解析方法求解的部分實(shí)變函數(shù)，可將實(shí)變函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)，借助留數(shù)定理得以求解，這樣不僅可以使問(wèn)題解決，而且，整個(gè)計(jì)算過(guò)程易于理解。利用留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的基本思想是：首先，將實(shí)變函數(shù)化為復(fù)變函數(shù)沿閉合回路曲線的積分，接著，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解閉合回路內(nèi)部各個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)值，最后，利用留數(shù)定理得到被積函數(shù)的解。本文擬對(duì)留數(shù)定理做系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一重要定理在積分計(jì)算中的應(yīng)用。

1 留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)f(z)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b1,b2,...,bn外解析，在閉區(qū)域B上除b1,b2,...bn外連續(xù)，則

顯然，留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積函數(shù)在回路所圍區(qū)域上各奇點(diǎn)的留數(shù)之和。

2 留數(shù)定理在實(shí)變函數(shù)積分中的應(yīng)用及例題分析

2.1 計(jì)算類型的積分

令z=eiθ，則有，從而將三角積分轉(zhuǎn)化為復(fù)函數(shù)的回路積分：

2.2 計(jì)算類型的積分，積分區(qū)間是(-∞,+∞)

如果復(fù)變函數(shù) f(z)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的，當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上→∞時(shí)，zf(z)一致地→0。如果 f(z)是有理分式?(x)/ψ(x)，上述條件意味著ψ(x)沒(méi)有實(shí)的零點(diǎn)，ψ(x)的次數(shù)至少高于?(x)兩次。

這一積分通常理解為下列極限：

此時(shí)，構(gòu)建一個(gè)半圓形回路l

根據(jù)留數(shù)定理，上式即：

令R→∞，上式左邊趨于2πi｛f()z在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和｝，右邊第一個(gè)積分趨于所求的定積分，第二個(gè)積分是趨于零的。

證明如下：

2.3 計(jì)算類型的積分

如果偶函數(shù)F(z)和奇函數(shù)G(z)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上→∞時(shí)，F(xiàn)(z)及G(z)一致地→0。

首先，將所求積分的形式變換一下，

在右邊的第二個(gè)積分中作代換x=-y，并考慮到F(x)是偶函數(shù)，得：

將右邊第二項(xiàng)的積分變數(shù)再改為x，積分區(qū)間上下調(diào)換，前面成“+”號(hào)，則

利用留數(shù)定理得到:

3 總結(jié)

留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論,借助該理論可以有效求解一系列實(shí)變函數(shù)的積分問(wèn)題，解題思路清晰，便于理解和掌握，本文有助于定積分計(jì)算思路的擴(kuò)展，促進(jìn)實(shí)際問(wèn)題中積分計(jì)算的高效求解。