Gaussian-Hermite矩旋轉(zhuǎn)不變矩的構(gòu)建

張朝鑫 席 平 胡畢富

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京100191)

在圖像處理與模式識別中，矩及矩的方程已被證明是一種非常實用的工具［1-3］.在所有不同種類的矩中，應(yīng)用最為廣泛的是幾何矩.幾何矩及其不變矩最早在1962年由Hu［4］提出.但幾何矩不是正交矩，這也導(dǎo)致當(dāng)用幾何矩描述圖像時產(chǎn)生信息冗余，而且不能由幾何矩進(jìn)行圖像重構(gòu);另外，幾何矩是定義在連續(xù)空間上的，在數(shù)字圖像上計算時會不可避免地引入近似而導(dǎo)致離散誤差.為了解決以上第1個問題，Teague提出了正交的Legendre矩與 Zernike 矩［5］.同時，復(fù)數(shù)矩［6］以及Gaussian-Hermite(GH)矩［7］也相繼被提出.針對第2個問題，一些離散形式的正交矩也相繼被提出.Mukundan等基于Tchebichef多項式提出了離散的 Tchebichef矩［8］，Yap 等提出了離散正交的Krawtchouk 矩［9］，以及 Zhu 等提出 了離 散 的Racah 矩［10］和 Dual Hahn 矩［11］.離散正交矩在計算的時候不需要進(jìn)行近似也沒有信息冗余，因此具有一定的優(yōu)勢.在這期間，也有一些其他形式的矩被提出并應(yīng)用［12］，甚至推廣到三維空間中［13］.自從Hu基于代數(shù)的方法提出了著名的7個幾何不變矩之后，關(guān)于矩的不變矩成了研究的熱點，并被廣泛應(yīng)用到圖像處理與模式識別中.不變矩包括位移不變、旋轉(zhuǎn)不變、尺度不變和仿射不變等.在圖像處理領(lǐng)域，旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì)最為重要.有很多研究集中在幾何矩的不變矩，其中貢獻(xiàn)最大的是Flusser［14］，他通過復(fù)數(shù)矩，推導(dǎo)幾何矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集，對幾何矩的尺度不變矩也做了一定的研究［15］.Zernike矩的旋轉(zhuǎn)不變矩很容易就可以得到，因為它是定義在極坐標(biāo)下的矩.Chong等給出了推導(dǎo)Zernike矩的位移不變矩的方法［16］，還推導(dǎo)了Legendre矩的位移與尺度不變矩［17］.也有一些研究集中在離散正交矩的不變矩的推導(dǎo)上，例如，Zhu等推導(dǎo)了離散的Tchebichef矩的位移與尺度不變矩［18］.

雖然GH矩是定義在連續(xù)空間上，比起離散的正交矩，在圖像處理中，GH矩依舊有一些優(yōu)勢.GH矩基函數(shù)的過零點的分布就是一個很好的例證.GH矩基函數(shù)的過零點分布比其他矩更加均勻，例如離散的Tchebichef矩，這也就說明GH矩具有更強的圖像特征表述能力［19］.另外，從計算角度講，Tchebichef矩等基函數(shù)中存在階乘的運算，使得它們計算非常耗時，而GH矩的計算相對簡單許多.因此，對GH矩的研究具有實際應(yīng)用意義.Yang等在文獻(xiàn)［19］中嘗試推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，只說明幾何矩的旋轉(zhuǎn)不變矩形式也適合不帶歸一系數(shù)的GH矩.但他們并沒有考慮到不變矩的獨立性與完備性，而且去掉歸一系數(shù)的做法有可能使矩的計算出現(xiàn)溢出.Refregier在文獻(xiàn)［20］中定義極坐標(biāo)形式下的Hermite多項式以及“Shapelet”，并用于星云圖像分析中，但沒有研究其旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì).事實上，“Shapelet”與Shen提出的GH矩［7］是完全一樣的，只是叫法與應(yīng)用領(lǐng)域不同.本文從文獻(xiàn)［14，19-20］得到啟發(fā)，重點研究了GH矩的性質(zhì)，側(cè)重旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立性與完備性，把GH矩推廣到極坐標(biāo)下，定義極坐標(biāo)形式的GH矩，并通過極坐標(biāo)下的形式推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，給出推導(dǎo)所有GH矩旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集的方法.

1 GH矩

1.1 GH矩基函數(shù)

首先定義GH多項式:

其中，n是非負(fù)整數(shù);Hn(x)是n次Hermite多項式，一般形式為

圖1給出了GH矩前5階矩的基函數(shù)的灰度圖像.

圖1 GH矩的前5階矩的基函數(shù)Fig.1 Basic functions under order 5 of GH moments

1.2 GH矩定義

給定圖像函數(shù)f(x，y)，并由式(1)的基函數(shù)，GH矩定義為

由定義可知，事實上，GH矩是由圖1中GH矩的基函數(shù)與圖像進(jìn)行卷積運算得到.

1.3 用升降算符計算GH矩的基

事實上，GH矩的基函數(shù)是量子力學(xué)中量子諧振子的本征函數(shù)，而階數(shù)m，n即為本征函數(shù)對應(yīng)的本征值.具體階數(shù)的本征函數(shù)可以通過初始本征函數(shù)與算符的迭代作用計算得到.因此，GH矩的基函數(shù)可以通過構(gòu)建升降算符來計算.

量子諧振子的降算符和升算符分別為

其中表示共軛，它們的對易關(guān)系是［a^，a^］=1.

利用升算符，給定初始函數(shù)，以及以下的遞推關(guān)系，可以計算得到一系列本征函數(shù):

因此，所有的GH矩的基函數(shù)都可以通過(0，0)階基函數(shù)與升算符計算得到.

1.4 離散形式

GH矩是定義在連續(xù)區(qū)間(-∞，∞)上的.GH矩中存在尺度因子σ，在計算矩之前應(yīng)先設(shè)定好大小.對于不同大小的圖像，為了更方便設(shè)定尺度因子，應(yīng)把圖像坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到一個固定的區(qū)間里.因此，這里根據(jù)通常的使用習(xí)慣選擇區(qū)間［-1，1］，即對于一個定義在區(qū)間［0≤i，j≤K-1］上的數(shù)據(jù)圖像I(i，j)，圖像坐標(biāo)首先通過下面的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)換:

那么，定義在圖像I(i，j)上p+q階的GH矩就可以通過式(13)計算得到:

2 PGH矩

2.1 PGH矩的基函數(shù)

為了構(gòu)造極坐標(biāo)下的 GH矩(PGH，Polar-Gaussian-Hermite)的基函數(shù)，先定義左右降算符如下:

同樣，利用左右升算符，給定初始函數(shù)，以及以下遞推關(guān)系，可以計算得到一系列本征函數(shù):

把左右升算符轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式，由式(7)代入式(14)和式(15)，并由x=rcosθ，y=rsinθ可以得到:

那么PGH矩的基函數(shù)定義為

圖2給出了PGH矩的前5階矩的基函數(shù)的灰度圖像.

圖2 PGH矩前5階矩基函數(shù)Fig.2 Basic functions under order 5 of PGH moments

2.2 PGH矩定義

給定圖像函數(shù) f(r，θ)，并由式(20)的基函數(shù)，可以定義PGH矩為

2.3 GH矩與PGH矩的關(guān)系

前面已經(jīng)給出了GH矩和PGH矩的定義，以及它們的基函數(shù)，同時也給出了各自用升降算符來計算所有基函數(shù)的方法.

那么由遞推關(guān)系式(11)與式(16)，并聯(lián)立兩組升算符之間的關(guān)系，二項式展開，可以得到GH矩和PGH矩一一對應(yīng)的相互轉(zhuǎn)換公式:

3 GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩

由圖2a可以看出，當(dāng)p=q，即對角線上的實數(shù)部分的基函數(shù)是旋轉(zhuǎn)不變的.已經(jīng)知道，GH矩與PGH矩是一一對應(yīng)的，所以，由轉(zhuǎn)換公式(24)就可以推導(dǎo)GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的形式.但是這樣得到的GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩并不是獨立的，更重要的，僅僅只是由p=q的實數(shù)部分推導(dǎo)得到的GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩不是完備集.本文的目的是推導(dǎo)GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集.

3.1 旋轉(zhuǎn)不變的推導(dǎo)

為了推導(dǎo)GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，已經(jīng)把GH矩推導(dǎo)到極坐標(biāo)空間中，即PGH矩.而由于PGH矩是定義在極坐標(biāo)空間中，具有以下重要的旋轉(zhuǎn)性質(zhì).

定理1 假設(shè)圖像f經(jīng)過旋轉(zhuǎn)一個角度α后為 f'，f'(r，θ)=f(r，θ+ α)，f'的 PGH 矩表示為P'p，q，那么

證明是顯而易見的.

如果只是用PGH矩的模來構(gòu)造一組旋轉(zhuǎn)不變矩，并不能構(gòu)成一組完備集，遺失了很多有用的不變矩.下面的理論將構(gòu)建一組旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立的完備集.

定理 2 n ≥ 1，ki，pi，qi為非負(fù)整數(shù)，如果:

已知如何推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)不變矩，定理3將解決怎樣推導(dǎo)給定階數(shù)的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集.

定理3 考慮r≥2階以上的PGH矩，一組旋轉(zhuǎn)不變矩集構(gòu)造為

其中，p0，q0滿足 p0+q0≤r且 p0-q0=1同時Pp0，q0≠0.那么，B 就是一組對于給定的階數(shù) r的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集.

以上推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集.現(xiàn)在給出其詳細(xì)證明.

證明 集合B的完備性.使I為任意旋轉(zhuǎn)不變矩:

因此

這就證明了任意的不變矩I都可以由J推導(dǎo)出，從而證明了集合B的完備性.

集合B的獨立性.假設(shè)B是非獨立的，即存在 ω(p，q)∈B 依賴于 B-{ω(p，q)}，那么當(dāng) p=p0和q=q0時，也是成立的.也就是，在B-{ω(p，q)}中存在 ω(p1，q1)，…，ω(pn，qn)與 ω(u1，v1)，…，ω(un，vn)使得

由于上式右邊等于1，并且不同的矩之間各自獨立，所以下列等式對所有i都成立:t=s，n=m，pi=ui，qi=vi，ki=li

那么代入式(31)和式(32)得到K1=0和K2=0，矛盾.因此證明了獨立性. 證畢

3.2 GHM旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集

根據(jù)定理3，給定矩的階數(shù)，就可以得到一組獨立完備的旋轉(zhuǎn)不變矩集.以下給出前6階矩的旋轉(zhuǎn)不變矩集.

2，3 階矩:

其中，Re代表實數(shù)部分;Im代表虛數(shù)部分.

根據(jù)以上給出的形式，以及PGH矩展開成GH矩公式(24)，可以得到GHM的旋轉(zhuǎn)不變矩形式.這里給出2階矩、3階矩的6個不變矩形式如下:

4 實驗證明

本實驗是為了驗證所提出的不變矩的正確性與數(shù)字穩(wěn)健性.圖3a是原始醫(yī)學(xué)圖像，分辨率為256像素×256像素，7個不同旋轉(zhuǎn)角度的圖像是由電腦嚴(yán)格生成，分別為圖3b～圖3h.

圖3 醫(yī)學(xué)灰度圖像及其旋轉(zhuǎn)版本Fig.3 Medical image and its rotational versions

分別計算8幅圖像的旋轉(zhuǎn)不變矩.尺度因子設(shè)為0.2，尺度因子的大小只用于計算需求，并不會影響旋轉(zhuǎn)不變性.實驗數(shù)據(jù)記錄在表1中.

表1 18個不變矩的數(shù)字穩(wěn)定性實驗結(jié)果Table 1 Results of digital stability of 18 invariants

5 結(jié) 束 語

本文介紹了GH矩PGH矩，并給出了用升降算符計算GH矩與PGH矩的方法.利用GH矩與PGH矩的一一對應(yīng)關(guān)系，詳細(xì)推導(dǎo)了GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩，并給出GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的獨立完備集.從實驗結(jié)果可以看出，所提出的旋轉(zhuǎn)不變矩具有良好的數(shù)字穩(wěn)健性，GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的推導(dǎo)方法具有一般性，在推導(dǎo)其他形式的矩的旋轉(zhuǎn)不變矩時可以借鑒.但本文并未詳細(xì)研究GH矩的旋轉(zhuǎn)不變矩的應(yīng)用，例如應(yīng)用于圖像配準(zhǔn)與檢索，下一步將著手這一方面的研究.

References)

［1］ Xiao B，Ma J F，Cui J T.Combined blur，translation，scale and rotation invariant image recognition by Radon and pseudo-Fourier-Mellin transforms［J］.Pattern Recognition，2012，45(1):314-321

［2］ Papakostas G A，Koulouriotis D E，Karakasis E G，et al.Momentbased local binary patterns:a novel descriptor for invariant pattern recognition applications［J］.Neurocomputing，2013，99:358-371

［3］ Yang J，Xie S，Yoon S，et al.Fingerprint matching based on extreme learning machine［J］.Neural Computing and Applications，2013，22(3/4):435-445

［4］ Hu M K.Visual pattern recognition by moment invariants［J］.IRE Transactions on Information Theory，1962，8(2):179-187

［5］ Teague M R.Image analysis via the general theory of moments［J］.Optical Society of America，1980，70(8):920-930

［6］ Abu-Mostafa Y S，Psaltis D.Image normalization by complex moments［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1985，PAMI-7(1):46-55

［7］ Shen J.Orthogonal Gaussian-Hermite moments for image characterization［C］//Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering.Bellingham WA:SPIE，1997:224-233

［8］ Mukundan R，Ong S，Lee P A.Image analysis by Tchebichef moments［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2001，10(9):1357-1364

［9］ Yap P T，Paramesran R，Ong S H.Image analysis by Krawtchouk moments［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2003，12(11):1367-1377

［10］ Zhu H，Shu H，Liang J，et al.Image analysis by discrete orthogonal Racah moments［J］.Signal Processing，2007，87(4):687-708

［11］ Zhu H Q，Shu H Z，Zhou J，et al.Image analysis by discrete orthogonal dual Hahn moments［J］.Pattern Recognition Letters，2007，28(13):1688-1704

［12］ Zhang C X，Xi P，Dai M.Gaussian-geometric moments and its application in feature matching［J］.Advanced Materials Research，2013，718-720:2113-2119

［13］ Mangin J F，Poupon F，Rivière D，et al.3D moment invariant based morphometry［J］.Lecture Notes in Computer Science，2003，2879(Part2):505-512

［14］ Flusser J.On the independence of rotation moment invariants［J］.Pattern Recognition，2000，33(9):1405-1410

［15］ Suk T，F(xiàn)lusser J.Affine moment invariants generated by graph method［J］.Pattern Recognition，2011，44(9):2047-2056

［16］ Chong C W，Raveendran P，Mukundan R.Translation invariants of Zernike moments［J］.Pattern Recognition，2003，36(8):1765-1773

［17］ Chong C W，Raveendran P，Mukundan R.Translation and scale invariants of Legendre moments［J］.Pattern Recognition，2004，37(1):119-129

［18］ Zhu H，Shu H，Xia T，et al.Translation and scale invariants of Tchebichef moments［J］.Pattern Recognition，2007，40(9):2530-2542

［19］ Yang B，Li G，Zhang H，et al.Rotation and translation invariants of Gaussian-Hermite moments［J］.Pattern Recognition Letters，2011，32(9):1283-1298

［20］ Refregier A.Shapelets-I:a method for image analysis［J］.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2003，338(1):35-47