用擺演示剛體的平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)

羅 宏

（蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

1 引 言

關(guān)于剛體或質(zhì)點(diǎn)系有很多的討論，文獻(xiàn)［1-2］討論了通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)演示在平面平行運(yùn)動(dòng)（滾動(dòng)）的情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參量對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響.文獻(xiàn)［3-4］則討論了剛體的平動(dòng)及動(dòng)點(diǎn)動(dòng)量矩定理.但是比較剛體的平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)的相關(guān)文獻(xiàn)很少.了解剛體的平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)的區(qū)別可以幫助學(xué)習(xí)者的思維方式由質(zhì)點(diǎn)情況向剛體情況進(jìn)展.

在相同傾角的斜面上，無(wú)摩擦下滑的剛體（平動(dòng)）比作純滾動(dòng)剛體（平面平行運(yùn)動(dòng)）的質(zhì)心加速度更大，經(jīng)過(guò)相同的距離耗時(shí)更短.但由于摩擦力的存在，在斜面上演示這一現(xiàn)象效果不好.本文設(shè)計(jì)了2種類似的擺，擺長(zhǎng)和懸掛的剛體都相同，只是懸掛其上的剛體分別作平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)形式不同）.通過(guò)這2種擺，可以演示剛體的平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)，并進(jìn)一步通過(guò)測(cè)量這2種擺的周期，比較運(yùn)動(dòng)形式的不同帶給觀測(cè)量的影響.平面平行運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的主要區(qū)別是，前者有繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)而后者無(wú).通過(guò)這一比較，可以讓學(xué)生直觀地了解隨剛體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)維度的增加（剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)），所觀測(cè)到的物理量（周期）的變化.是否具有內(nèi)部的轉(zhuǎn)動(dòng)維度，是剛體和質(zhì)點(diǎn)的一個(gè)重要區(qū)別.由于作平動(dòng)的剛體可以等效為質(zhì)點(diǎn)［5］，通過(guò)該演示實(shí)驗(yàn)，也可以幫助學(xué)生更好地理解剛體運(yùn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的區(qū)別，及其帶來(lái)的影響.

理論計(jì)算部分，可以選擇牛頓第二定律、能量法［6］或拉格朗日方程.當(dāng)體系約束增加時(shí)，用能量法或拉格朗日方程處理問(wèn)題會(huì)更簡(jiǎn)單（如在以下的兩擺中）.另外，隨著物理學(xué)習(xí)的深入，越來(lái)越多的問(wèn)題需要用能量的觀念來(lái)思考，所以本文選擇拉格朗日方程來(lái)計(jì)算和分析.以下的討論將只考慮擺在豎直平面內(nèi)的擺動(dòng)，并假設(shè)擺動(dòng)的角度很小.

2 2種擺的設(shè)計(jì)和理論分析

2.1 擺1

2根長(zhǎng)度同為l的不可伸長(zhǎng)輕細(xì)繩（質(zhì)量可忽略），對(duì)稱地系于勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心（中點(diǎn)）C的兩側(cè).兩繩的另一端以相同的距離系于懸掛處.細(xì)桿長(zhǎng)度為d、質(zhì)量為m.如圖1所示，O點(diǎn)為兩懸掛點(diǎn)的中點(diǎn)，OC＝l為擺長(zhǎng).將擺拉開(kāi)小角度，由靜止釋放擺，擺將往復(fù)擺動(dòng).由于兩繩的約束，細(xì)桿將始終處于水平狀態(tài)，細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)為平動(dòng).對(duì)于剛體的平動(dòng)，可以將整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)［5］，此擺可以簡(jiǎn)化為繩OC末端懸掛質(zhì)點(diǎn)m的單擺，其周期即單擺周期.但為了便于與擺2比較，仍舊寫(xiě)出其動(dòng)能及拉格朗日函數(shù).

圖1 擺1

由克尼希定理知，對(duì)于剛體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)能只有質(zhì)心動(dòng)能：

式中，IO＝ml2為細(xì)桿質(zhì)心繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωO為質(zhì)心繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，θ為擺角.系統(tǒng)的勢(shì)能為

此系統(tǒng)為理想約束下的保守系統(tǒng)，則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

建立并解得拉格朗日方程可知，擺1在小角度近似下的周期為

2.2 擺2

如圖2所示，與擺1中相同的細(xì)桿，其兩端點(diǎn)A和B各系1根相同長(zhǎng)度的不可伸長(zhǎng)輕細(xì)繩，兩繩的另一端都系于懸點(diǎn)O，C為細(xì)桿的質(zhì)心，選擇兩繩的長(zhǎng)度使擺長(zhǎng)OC＝l（與擺1相同），θ為擺角.同樣地將擺2拉開(kāi)一個(gè)小角度，由靜止釋放，擺將往復(fù)擺動(dòng)，由于兩繩的約束，細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)為平面平行運(yùn)動(dòng)，可以分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng).

圖2 擺2

細(xì)桿質(zhì)心繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωO與細(xì)桿繞自身質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωC相同.這可以通過(guò)圖3得知.圖3中，AB為當(dāng)擺角為θ時(shí)細(xì)桿的位置，A′B′為當(dāng)擺角為0時(shí)，細(xì)桿的位置（經(jīng)過(guò)平移使質(zhì)心重合），由圖容易證明當(dāng)整個(gè)擺擺動(dòng)的角度為θ時(shí)，細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也為θ，也就是說(shuō)

圖3 細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角和擺角的關(guān)系

則由克尼希定理，在擺2中細(xì)桿的動(dòng)能為

式中第一項(xiàng)為質(zhì)心繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，IO為質(zhì)心繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，此項(xiàng)與擺1相同.第二項(xiàng)為細(xì)桿繞自身質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，IC為細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

擺2的勢(shì)能與擺1相同V2＝V1.此系統(tǒng)為理想約束下的保守系統(tǒng)，由式（2），（5），（6），其拉格朗日函數(shù)為

拉格朗日方程為

在小角度近似下，化簡(jiǎn)得到：

此式為諧振動(dòng)方程，可得擺2的周期為

比較（4）式與（11）式，可見(jiàn)這2種擺的周期不同，（11）式中多出了IC項(xiàng).通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，這2種擺的擺長(zhǎng)（質(zhì)心C到懸點(diǎn)O的距離）和懸掛的剛體都相同，不同之處在于所懸掛剛體的運(yùn)動(dòng)形式，這導(dǎo)致其動(dòng)能組成不同.如果比較二者的拉格朗日函數(shù)（3）和（8）式，可以看出，二者拉格朗日函數(shù)中動(dòng)能項(xiàng)有差異.在擺1中，懸掛在擺線下的細(xì)桿作平動(dòng)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可以代表整個(gè)細(xì)桿，細(xì)桿可被等效為一質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)能為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能.而擺2中，細(xì)桿作平面平行運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)除了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)之外，還增加了剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)這一維度，由此其動(dòng)能除了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之外，還有細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.正是由于2種擺動(dòng)能組成的不同，最終表現(xiàn)出其周期的不同，（11）式比（4）式多出的IC項(xiàng)正源于其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能項(xiàng).

從定性的角度分析這2種擺對(duì)理解平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)的不同也有幫助.在擺1中，細(xì)桿作平動(dòng)，勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為質(zhì)心動(dòng)能.而在擺2中，細(xì)桿作平面平行運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能除一部分轉(zhuǎn)化為質(zhì)心動(dòng)能外，還有一部分轉(zhuǎn)化為細(xì)桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能.如果以相同的擺角θ靜止釋放二擺，這就必然導(dǎo)致在相同的位置，擺2的質(zhì)心速度小于擺1（由于部分勢(shì)能轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能），以致擺2周期較長(zhǎng).正如（4）式與（11）式所示.由此，可以更進(jìn)一步認(rèn)為，在理想約束下的機(jī)械能守恒的擺中，隨著系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)維度的增加，其質(zhì)心完成1個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間有增加的趨勢(shì).

由于作平動(dòng)的剛體可以被等效為一質(zhì)點(diǎn)，平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)的比較，可以看做是質(zhì)點(diǎn)和剛體的比較.增加了繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上的運(yùn)動(dòng)，是剛體較質(zhì)點(diǎn)的重要區(qū)別，也是擺2比擺1周期更長(zhǎng)的原因.

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IO和IC代入式（4）和（11），得到在實(shí)驗(yàn)中實(shí)際使用的周期表達(dá)式：

實(shí)驗(yàn)儀器使用常用的單擺實(shí)驗(yàn)儀改造而成.儀器頂部有一橫梁，梁上有一小孔，懸線由小孔中穿過(guò).擺2只需1臺(tái)單擺實(shí)驗(yàn)儀懸掛.擺1用2臺(tái)單擺實(shí)驗(yàn)儀懸掛，調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀的高度相等，懸點(diǎn)間距和細(xì)桿上束縛點(diǎn)的間距相等即可.細(xì)桿長(zhǎng)度和擺長(zhǎng)分別為d＝0.615m，l＝0.300m.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣冉?jīng)查表取為g＝9.80m／s2.將以上數(shù)據(jù)代入（12）和（13）式可得10倍周期的預(yù)期值，

10T1＝10.99s，10T2＝12.77s. （14）

實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，擺來(lái)回?cái)[動(dòng)10個(gè)周期測(cè)量1次時(shí)間，兩種擺各測(cè)量了10次，其測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 周期測(cè)量數(shù)據(jù)

以下分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定度，并依據(jù)實(shí)驗(yàn)的不確定度來(lái)給出細(xì)桿長(zhǎng)度和擺長(zhǎng)比例的參考范圍.一種擺周期的測(cè)量結(jié)果應(yīng)在另一種擺的測(cè)量結(jié)果不確定度之外，二者周期的區(qū)別才被認(rèn)為是明確的.因此需合理設(shè)計(jì)擺長(zhǎng)和細(xì)桿長(zhǎng)度，使二擺周期的預(yù)期值有足夠大的差別.

為保證2種擺周期具有可明顯觀察的差別，以下分析數(shù)據(jù)都會(huì)取較寬裕的值，并仍以10倍周期作為分析對(duì)象.實(shí)驗(yàn)中使用的秒表精度為0.01s，人的反應(yīng)時(shí)間一般為0.1～0.4s之間.由于人的反應(yīng)時(shí)間影響了時(shí)間測(cè)量的精度，故將B類不確定度統(tǒng)一取為uB＝0.4s.結(jié)合由表1得出的A類不確定度，可得2種擺10倍周期的合成不確定度u＝0.4s.則2種擺周期的預(yù)期值之差應(yīng)該大于2u，為增大二者區(qū)隔取其值為1s.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，則可得到如下不等式，

將（12）和（13）式代入計(jì)算可得

因此建議實(shí)際制作此演示實(shí)驗(yàn)儀時(shí)須滿足（16）式的條件.如果采用文獻(xiàn)［7，8］中所使用的較高精度的實(shí)驗(yàn)儀器，則此比值可以更小，但要依據(jù)實(shí)際的不確定度來(lái)分析.

4 結(jié)束語(yǔ)

設(shè)計(jì)了2種不同的擺，其擺長(zhǎng)相同，所懸掛剛體相同，但剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同.通過(guò)這兩種擺，演示了剛體平動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)，及其對(duì)擺周期的影響.正是擺2中剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)所具有的繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)分量，使其擺動(dòng)的周期較擺1更長(zhǎng).通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，這2種擺制作較為簡(jiǎn)單，演示效果良好.雖然實(shí)驗(yàn)中2種擺都懸掛了剛體，但其也可以等效作為演示質(zhì)點(diǎn)和剛體區(qū)別的演示實(shí)驗(yàn)裝置.

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