方形薄板二維駐波的研究

方奕忠，王 鋼，沈 韓，崔新圖，廖德駒，馮饒慧

（中山大學(xué) 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州510275）

1 引 言

克拉尼圖形是物理演示實(shí)驗(yàn)中的重要課題，常被作為大學(xué)預(yù)備性物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容［1］，類似的振動(dòng)問題也常見報(bào)道［2］.對(duì)于長(zhǎng)方形（或正方形）薄板的克拉尼圖形的研究，之前主要集中在低頻段（f＜1kHz）［3］，文獻(xiàn)上未見高頻段的報(bào)道.本實(shí)驗(yàn)將在高頻段從實(shí)驗(yàn)和理論兩方面研究克拉尼圖形，討論振動(dòng)源在方形板角落或任意點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)情形，并將實(shí)驗(yàn)值與理論解進(jìn)行對(duì)比.

2 實(shí)驗(yàn)原理與理論模型

考慮如圖1所示的二維長(zhǎng)方形薄銅板，假定其質(zhì)量分布均勻，厚度為2h（h很小），邊長(zhǎng)分別為a和b.在銅板的一角（設(shè)為原點(diǎn)O）有一振動(dòng)點(diǎn)源，以某一固定圓頻率ω0＝2πf垂直于銅板面作簡(jiǎn)諧振動(dòng).下面考慮其振動(dòng)問題，求出共振發(fā)生時(shí)的簡(jiǎn)正模式［4］，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)出的克拉尼圖形比較.

圖1 二維平板振動(dòng)原理

假定水平放置的薄銅板的質(zhì)量體密度為ρ，彈性模量為Q，由彈性力學(xué)或理論聲學(xué)［5］知識(shí)可知，若設(shè)其豎直方向小振動(dòng)的傳播速度（相速）為u，（x，y）點(diǎn)處（0＜x＜a，0＜y＜b）在t時(shí)刻的振動(dòng)位移（撓度）為η（x，y，t）（取靜止時(shí)的位移為零），則η滿足以下方程：

其中▽4＝▽2▽2，▽2為 Laplace算符，1／c2＝3ρ（1-s2）／（Qh2）.s是泊松比，對(duì)大多數(shù)材料，s約為0.25～0.33.類似參考文獻(xiàn)［5］，為了研究板的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，令η＝Z（x，y）e-iωt，Z的微分方程可寫為

所以Z可以是方程

或

的解，通常應(yīng)該是兩者的線形組合，此時(shí)γ相當(dāng)于簡(jiǎn)諧波的波矢k.設(shè)邊界為自由邊界，在薄板很薄，振動(dòng)很小，板所受的重力可忽略的情況下，邊界上的彎矩、扭矩及豎直方向剪力均為0，此時(shí)邊條件為［6］

考慮無(wú)初值問題，點(diǎn)O（0，0）處振源滿足

對(duì)Z分離變量，令Z＝X（x）Y（y），設(shè)式（3）的解為Z1，式（4）的解為Z2，則Z＝Z1＋Z2，其中

同理，D1，D2及ky也滿足類似的方程，只需將式中的a改為b.先考慮kx，由（9）式得

令β＝kxa／π，把容許的β由小到大排列，有β1＝1.505 6，β2＝2.499 7，β3＝3.500 0，….由此可知，當(dāng)n＞2時(shí)，βn≈n＋，有kxna＝πβn.同理，令kymb＝πβm，則當(dāng)m＝n時(shí)，有βm＝βn.若令an＝cm＝，bn＝B1，dm＝，可以證明，當(dāng)n＞2，m＞2時(shí)，有

其中

下面只考慮φn（x），后面可對(duì)φm（y）作類似處理.式（12）中

當(dāng)n＞2時(shí)，有

通過數(shù)值計(jì)算，如n＝2時(shí)，φ2（x）的節(jié)點(diǎn)為

n＝3時(shí)，φ3（x）的節(jié)點(diǎn)為

由文獻(xiàn)［5］知，φn（x）的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n＋1，注意節(jié)點(diǎn)的分布關(guān)于過薄板中心點(diǎn)且與y軸平行的直線對(duì)稱.對(duì)y方向的分析也完全類似，將式（16）中的a改為b，n改為m，x改為y，可得m＞2時(shí)，有

于是得到方程（1）在自由邊條件（5）下的解的簡(jiǎn)正模式為

通解為（18）式的線性組合.由此可看到，當(dāng)

時(shí)，可得到一系列的簡(jiǎn)正振動(dòng)：

故有k＝ω0／u＝γ.此時(shí)φnm（x，y）＝0的位置就是共振駐波波節(jié)線的位置.注意

有波速

c見式（1），為常量.由式（22）知，薄板為頻散媒質(zhì)，波速（即相速）隨頻率f變化而變化.對(duì)方形板，a＝b，波速可表示為

于是可在實(shí)驗(yàn)上分別數(shù)出x，y方向某一頻率f下共振時(shí)的克尼拉圖形中的波節(jié)數(shù)n＋1，m＋1，代入式（22）或式（23），即可求出波速u.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)選取a＝b＝200mm，厚度2h＝1mm的黃銅板，振動(dòng)源采用壓電陶瓷蜂鳴片.結(jié)果如表1所示.x方向的波節(jié)數(shù)為n＋1，y方向的波節(jié)數(shù)m＋1.可見，在各種頻率下，測(cè)出常量c的平均值為0.985m2／s.銅板的質(zhì)量體密度ρ＝8.10×103kg／m3，注意對(duì)于黃銅，s＝0.324，由 Q＝3ˉc2ρ（1-s2）／h2可求出薄銅板的彈性模量為Q＝8.44×1010kg／（m·s2）.進(jìn)一步求出｜c(diǎn)maxcmin｜／ˉc＝0.112，可見，c比較穩(wěn)定，與理論比較符合.實(shí)驗(yàn)上還可以與其他測(cè)量彈性模量的方法［7-8］進(jìn)行比較，在此暫不討論.

表1 xy方向波節(jié)數(shù)不同時(shí)的波速

由于銅板為正方形，a＝b＝200mm，由對(duì)稱性，若仔細(xì)調(diào)節(jié)振動(dòng)源的頻率，可使x，y方向的波節(jié)數(shù)相等，即n＋1＝m＋1＝l＋1，式（23）可簡(jiǎn)化為

相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，與理論也比較符合.

表2 xy方向波節(jié)數(shù)相同時(shí)的波速

4 進(jìn)一步的分析與討論

以上是振動(dòng)源在角落O（0，0）的情形.對(duì)振動(dòng)源在銅板的任何位置O′（a1，b1）（0＜a1＜a，0＜b1＜b）的情形，類似前面，同樣可以求解出其簡(jiǎn)正模式為：

存在振動(dòng)源O′（a1，b1）時(shí)，需滿足

當(dāng)

時(shí)，仍有一系列的簡(jiǎn)正振動(dòng)

此時(shí)將發(fā)生共振，在xy平面上也可產(chǎn)生二維駐波波形，即克拉尼圖形.對(duì)比式（28）和式（20）可知，不論振源在平板上的哪個(gè)位置，只要頻率不變，克拉尼圖形的波節(jié)（或波幅）的位置都相同，只是振幅發(fā)生改變.振幅需滿足

其他如波矢k、波速u等均不變.

實(shí)驗(yàn)觀測(cè)克拉尼圖形，振源難以嚴(yán)格放在a1＝0，b1＝0的位置，故實(shí)際上都是a1≠0，b1≠0.實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，左邊為有一支撐桿支撐的薄黃銅板，支撐桿靠近左下角，板上灑有白色細(xì)沙，板的底面中心附近貼有蜂鳴片，蜂鳴片通過導(dǎo)線與右邊的DDC函數(shù)信號(hào)發(fā)生器的信號(hào)輸出端相連.圖3所示為實(shí)測(cè)的n＋1＝15，m＋1＝10的二維駐波圖，對(duì)應(yīng)頻率為12.038kHz.圖4為由式（20）得出的數(shù)值模擬圖，兩者符合得很好.其中顏色越淺表示振幅越小，顏色越深振幅越大.振幅為零代表波節(jié)的位置，即圖3中細(xì)沙集中的位置.由于共振時(shí)駐波的波節(jié)位置不變，仍可應(yīng)用式（18）～（23），讀出x，y方向的波節(jié)數(shù)n＋1，m＋1，即可算出波矢k，從而求出波速u及彈性模量Q等物理量.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖3 n＋1＝15，m＋1＝10時(shí)的二維駐波圖

圖4 n＋1＝15，m＋1＝10時(shí)的數(shù)值模擬圖

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