亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬的實(shí)驗(yàn)研究

呂家琪,牛孔貞,李訓(xùn)譜

(南開(kāi)大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

1 引 言

約150年前，亥姆霍茲(Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz)為了測(cè)量聲音的頻率，創(chuàng)造了歷史上第一個(gè)聲音“頻譜分析器”——亥姆霍茲共振器[1]，實(shí)現(xiàn)了對(duì)于聲音頻率的測(cè)定. 在其后的很長(zhǎng)一段時(shí)間里亥姆霍茲共振器一直是放大、擴(kuò)聲、吸聲而且不用電子技術(shù)的設(shè)備[2]. 隨著理論與技術(shù)的發(fā)展，如今亥姆霍茲共振器在樂(lè)器制造、噪聲控制[3]、工業(yè)技術(shù)優(yōu)化[4]等方面依然發(fā)揮著重大作用. 亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬就是在其共振過(guò)程中產(chǎn)生的一個(gè)有趣的聲-動(dòng)能轉(zhuǎn)化現(xiàn)象.

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 亥姆霍茲共振器共振原理

所謂亥姆霍茲共振簡(jiǎn)言之就是空腔內(nèi)的氣體共振現(xiàn)象. 圖1為亥姆霍茲共振器早期作為測(cè)定頻率的裝置的圖片. 當(dāng)向空腔口吹氣時(shí)，在適當(dāng)情況下會(huì)發(fā)出較大的嗡嗡聲，這就是亥姆霍茲共振現(xiàn)象. 當(dāng)在共振器的口部施加空氣壓力時(shí)，共振器內(nèi)的氣體將被壓縮，假設(shè)口部氣體體積不改變，只是空腔內(nèi)的空氣體積被壓縮，由于聲音的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于共振器的尺寸，故可以簡(jiǎn)化成為彈簧振子模型. 此時(shí)腔內(nèi)氣體就相當(dāng)于被壓縮的彈簧，腔頸氣體相當(dāng)于振子，當(dāng)撤去外界施壓后，彈簧將彈起，而此時(shí)的腔頸內(nèi)氣體將向共振器外射出. 當(dāng)膨脹過(guò)程到達(dá)極限時(shí)，由于分子之間的作用力，排出的氣體又會(huì)回到共振器內(nèi)，周而復(fù)始，便產(chǎn)生振動(dòng). 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，依據(jù)環(huán)境條件和共振器的性質(zhì)參量計(jì)算出共振器的共振頻率為

其中Le=L+1.5r，v為聲速，A為腔口橫截面積，r為腔口橫截面半徑，L為腔頸長(zhǎng)度，V為空腔體積[5].

圖1 亥姆霍茲共振器

2.2 亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬的運(yùn)動(dòng)機(jī)理

亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬的基本結(jié)構(gòu)是將2個(gè)相同的亥姆霍茲共振器反向?qū)ΨQ(chēng)固定于長(zhǎng)度、重量適宜的桿的兩端，并在桿的中間位置用細(xì)的針頂起或是用細(xì)繩懸掛. 當(dāng)外加的聲音與亥姆霍茲共振器的共振頻率相同時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生共振，即相當(dāng)于共振器內(nèi)的氣體被施加以周期性外力. 根據(jù)亥姆霍茲共振器原理，當(dāng)氣體壓縮達(dá)到極限后，氣體將如彈簧產(chǎn)生反彈，部分氣體被排出. 氣體排出裝置，腔內(nèi)氣體將變稀薄，當(dāng)?shù)竭_(dá)極限時(shí)，氣體又會(huì)由于分子間的作用力返回到空腔內(nèi). 由于空氣分子的平均間距在10-9m的量級(jí)，此時(shí)氣體分子與氣體分子之間、氣體分子與空腔壁之間的引力很小，故在此彈簧模型中彈簧的壓縮反彈過(guò)程比膨脹恢復(fù)過(guò)程提供動(dòng)力的效果更明顯，故可認(rèn)為整個(gè)裝置總體上向外排氣. 根據(jù)火箭運(yùn)動(dòng)原理，裝置將會(huì)沿著腔頸口指向腔底的方向轉(zhuǎn)動(dòng).

3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

3.1 亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，亥姆霍茲共振器是飲料瓶，用帶底座的針頭作為旋轉(zhuǎn)支點(diǎn)，以輕質(zhì)木條作為旋轉(zhuǎn)臂. 聲音通過(guò)外放音箱提供，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)錄像之后對(duì)視頻文件逐幀測(cè)量來(lái)得到.

圖2 亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬實(shí)驗(yàn)裝置

3.2 共振頻率確定實(shí)驗(yàn)

以2.5 L可樂(lè)瓶為例，得到其共振頻率的方法是：在飲料瓶口吹氣，當(dāng)聽(tīng)到較大的嗡嗡聲即共振時(shí)，用錄音筆錄下產(chǎn)生的聲音信號(hào)，并對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，得到頻譜圖如圖3所示. 在譜線上可以找到幾個(gè)明顯的峰值頻率 ：93.75，187.50，281.20，359.30，484.30，671.80 Hz. 接下來(lái)在其他條件(響度、波形)相同的情況下，分別以這些頻率為聲音信號(hào)施加在亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬上，觀察現(xiàn)象，看在什么頻率下裝置才會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng).

圖3 聲音頻譜圖

實(shí)驗(yàn)表明，只有頻率在93.75 Hz時(shí)，裝置才產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng). 但是由于在頻譜線上的取值并不很精確，于是在控制其他條件(響度、波形)不變的情況下在93.75 Hz周?chē)扛?.25 Hz取1個(gè)點(diǎn)，從93.25 Hz取到95.00 Hz，測(cè)其周?chē)l率點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)快慢. 當(dāng)裝置每轉(zhuǎn)過(guò)弧度π時(shí)記錄1次時(shí)間，根據(jù)時(shí)間與轉(zhuǎn)過(guò)角度的關(guān)系計(jì)算角加速度進(jìn)而比較快慢. 在其他條件相同的情況下，不同頻率下轉(zhuǎn)過(guò)的角度與時(shí)間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

根據(jù)表1做出不同頻率下的θ-t曲線，并做多項(xiàng)式擬合. 以角加速度最大的93.75 Hz為例，θ-t

表1 不同頻率下轉(zhuǎn)過(guò)的角度與時(shí)間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

曲線見(jiàn)圖4，θ=0.006 0t2+0.07t-2.4,R=0.998 98,發(fā)現(xiàn)其為擬合度很高的勻加速運(yùn)動(dòng)關(guān)系. 根據(jù)得出的擬合方程，可以計(jì)算出不同頻率下的角加速度. 將角加速度和頻率的關(guān)系做出曲線如圖5所示，并與實(shí)驗(yàn)所用的93.75Hz的聲音信號(hào)頻譜圖像(如圖6)作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者形態(tài)基本相同. 由此可得2.5 L可樂(lè)瓶作為亥姆霍茲共振器的實(shí)際共振頻率即為單頻93.75 Hz.

圖4 θ-t曲線

圖曲線

圖6 93.75 Hz聲音信號(hào)頻譜圖

3.3 長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)最終狀態(tài)

亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬的轉(zhuǎn)動(dòng)從能量角度來(lái)看是聲波振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化為了裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能. 由于聲源穩(wěn)定，能量必存在上限值，裝置在長(zhǎng)時(shí)間的情況下不可能一直進(jìn)行勻加速運(yùn)動(dòng)，而會(huì)逐漸到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài). 基于這樣的考慮，把實(shí)驗(yàn)時(shí)間擴(kuò)展到5 min(93.75 Hz，正弦波，響度固定)，并觀察其現(xiàn)象. 結(jié)果發(fā)現(xiàn)裝置先是加速運(yùn)動(dòng)(如圖A段)，其后一段時(shí)間速度穩(wěn)定為勻速(B段)，到120 s以后開(kāi)始減速(C段)，并在169 s時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 為了與能量建立更直接的關(guān)系，取轉(zhuǎn)動(dòng)路程為縱坐標(biāo)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為橫坐標(biāo)，記錄數(shù)據(jù)，做出運(yùn)動(dòng)時(shí)間與路程關(guān)系圖(L-t圖)，如圖7所示. 然后通過(guò)觀察加速度變化分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

圖7 L-t關(guān)系圖

這一過(guò)程與理論分析相吻合：氣體向外排出是主要過(guò)程，而氣體吸入則是次要過(guò)程. 這也就是說(shuō)氣體排出的量要大于氣體的吸入量，氣體要不斷流失，這既是裝置得以運(yùn)動(dòng)的原因，又是裝置最終會(huì)靜止的原因. 由于腔內(nèi)氣體整體上呈排出狀態(tài)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律裝置將會(huì)沿遠(yuǎn)離腔口的方向運(yùn)動(dòng). 同時(shí)腔內(nèi)氣體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將逐漸稀薄，此時(shí)撞向瓶底獲得反向速度的氣體分子數(shù)也將越來(lái)越少，排氣過(guò)程逐漸減弱，排氣量和排氣速度都不斷降低，最終由于存在外界阻力，裝置將變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)進(jìn)而變?yōu)闇p速運(yùn)動(dòng)直至靜止. 在裝置運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)把手放在腔口時(shí)也能感受到3個(gè)不同階段排出裝置的氣流強(qiáng)度逐漸減弱的變化.

3.4 波形影響實(shí)驗(yàn)

就不同波形對(duì)亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的影響做了研究. 在其他條件不變的情況下改變外加聲音的波形，觀察并測(cè)量、計(jì)算裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度. 采用的波形有：正弦波、半正弦波、三角波、方波，得出了波形為方波時(shí)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度明顯最大的結(jié)論(數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)曲線從略). 這一現(xiàn)象可以從能量角度加以分析：由方波的傅里葉展開(kāi)可知，方波在其基頻上的展開(kāi)系數(shù)相比其他幾種波形要大[7]，也就是說(shuō)聲能量更大，又由于本實(shí)驗(yàn)裝置是依靠單一共振頻率驅(qū)動(dòng)，所以方波對(duì)共振時(shí)的能量輸入更多. 故在其他條件相同的情況下，方波信號(hào)驅(qū)動(dòng)下裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度明顯最大.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)用自行設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)易實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬的聲-動(dòng)能轉(zhuǎn)化現(xiàn)象進(jìn)行觀察、分析和討論，加深了對(duì)這一有趣物理現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)一步感受到物理世界的奧妙，激發(fā)了對(duì)物理學(xué)習(xí)的興趣. 通過(guò)本實(shí)驗(yàn)所測(cè)定的共振器共振頻率與用理論公式計(jì)算得到的結(jié)果基本相符，說(shuō)明了用比較角加速度大小的方法研究亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)木馬是一種簡(jiǎn)便可行的方法. 本實(shí)驗(yàn)還對(duì)旋轉(zhuǎn)的全過(guò)程及波形對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的影響進(jìn)行了有益探索.

參考文獻(xiàn)：

[1] 馬大猷. 亥姆霍茲共鳴器的發(fā)展[J]. 物理,1993(8):452-456.

[2] 馬大猷. 亥姆霍茲共鳴器[J]. 聲學(xué)技術(shù)，2002(Z1):1-3.

[3] 晏偉成，景曉東. 基于主動(dòng)亥姆霍茲共振器的噪聲控制實(shí)現(xiàn)[A]. 自動(dòng)化及先進(jìn)集成技術(shù)大會(huì)論文集(二)[C]，2007:333-335.

[4] 孔德鵬，李宏楷，劉云磊，等. 基于亥姆霍茲共振腔的香味自動(dòng)排放裝置設(shè)計(jì)[J]. 電腦知識(shí)與技術(shù)，2012(31):7589-7591.

[5] Tom Irvine. Beverage Bottles as Helmholtz Resonators. [EB/OL]. vibrationdata.com. 2004:1-13.

[6] 郭立群，吳波，黃艷芳，等. 聲速隨溫度變化的智能測(cè)試研究實(shí)驗(yàn)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2013，33(6):20-22.

[7] 劉光旭，張效成，賴學(xué)堅(jiān). 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社，2008:308-309.