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    解題過程的正確性源于數(shù)學理解的準確性

    2014-11-29 16:34:32劉希棟
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2014年6期
    關(guān)鍵詞:值域等價中學數(shù)學

    劉希棟

    在解決含x型的問題時,將數(shù)學式子兩邊平方是常見的一個變形,但由于“a=b”與“a2=b2”不等價,因此關(guān)注變形前后數(shù)學式子的等價性往往都引起師生的關(guān)注,但教學實踐中發(fā)現(xiàn),如何準確把握其中的等價性,師生在行為方面常常落后于意識方面(宏觀層面)的情況時有發(fā)生,究其原因,不難發(fā)現(xiàn),關(guān)鍵在于沒有精準弄清這種變形中造成等價性的具體所在(微觀層面),而這正是教學應(yīng)關(guān)注之處.本文擬對發(fā)生在高中教學實踐與研究中的幾個問題加以解析,以期對“等價性”教學有所幫助.1 教師的困惑

    對于問題“若直線y=x+b與曲線y=1-x2有且僅有兩個公共點,則實數(shù)b的取值范圍是( ).

    A.(-2,2) B.[1,2)

    C.[1,2]D.(-1,1)”正確答案B.

    文[1]對下面的解法感到困惑:

    “直線y=x+b與曲線y=1-x2有且僅有兩個公共點方程組y=x+b,

    y=1-x2,有兩個不同實數(shù)解方程x+b=1-x2有兩個不同實數(shù)解方程2x2+2bx+b2-1=0在[-1,1]內(nèi)有兩個不同的解,令f(x)=2x2+2bx+b2-1,則問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象在[-1,1]內(nèi)與x軸有兩個交點,結(jié)合圖象知:

    Δ=(2b)2-4×2×(b2-1)>;0,

    -1<;b2<;1,

    f(-1)≥0,

    f(1)≥0,-2<;b<;2,

    -2<;b<;2,

    b∈R,

    b∈R,-2<;b<;2,應(yīng)選A.”

    解析 將x+b=1-x2“兩邊平方”,誰的取值范圍會變化?唯有x+b,故上述解題中“方程x+b=1-x2有兩個不同的實數(shù)解方程2x2+2bx+b2-1=0在[-1,1]內(nèi)有兩個不同的解”這一步是錯的,應(yīng)該是:

    “方程x+b=1-x2有兩個不同的實數(shù)解”“x+b≥0,

    2x2+2bx+b2-1=0,有兩個不同的解”,即2x2+2bx+b2-1=0在[-b,+∞)內(nèi)有兩個不同的解.

    這樣可令f(x)=2x2+2bx+b2-1,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象在[-b,+∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點,結(jié)合圖形知:

    Δ=(2b)2-4×2×(b2-1)>;0,

    -b2>;-b,

    f(-b)≥0,得-2<;b<;2,

    b>;0,

    b≥1或b≤-1,,故1≤b<;2,選B.

    需要說明的是:方程2x2+2bx+b2-1=0,即(x+b)2=1-x2,只要該方程有兩個不同的實數(shù)解,由于自身隱含1-x2=(x+b)2≥0,其解必都在[-1,1]內(nèi),刻意標注“兩個實數(shù)解都在[-1,1]內(nèi)”,既會干擾,又是多余.在解題過程中,方程變形的這一步(x+b)2=1-x2不要省去.其次,方程兩邊平方導致x+b=1-x2與2x2+2bx+b2-1=0不等價,務(wù)必注意一定利用x+b≥0這一限制因素.2 學生的不足

    文[2]從不同途徑,活用解題理論,研究問題(2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第2題)函數(shù)y=x2+1x-1的值域.片斷如下:

    “擬定計劃:

    教師:函數(shù)與方程有著緊密的聯(lián)系,能否對此提出你的思考?

    學生:以前我們經(jīng)常將分式函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題,用判別式法解決,本題平方后未知數(shù)的次數(shù)正好是二次,我覺得可以試一試.

    實現(xiàn)計劃:

    學生:y=x2+1x-1等價于y(x-1)=x2+1,

    x≠1,

    y(x-1)≥1.

    第一個式子兩邊平方整理得(y2-1)x2-2y2x+y2-1=0,若y2-1=0,則x=0,此時,y=-1成立;若y2-1≠0,則Δ≥0,即4y4-4(y2-1)2≥0,得y≤-22或y≥22.檢驗:當x<;1時,y<;0;當x>;1時,y>;1.

    所以函數(shù)的值域為(-∞,-22]∪(1,+∞).

    解題回顧與解題感受:

    學生:上述求解是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程,但要特別注意變形前后的限制范圍,否則問題可能不等價,因此學習過程中我們必須養(yǎng)成細心謹慎的習慣.”

    解析 從“y=x2+1x-1等價于y(x-1)=x2+1,

    x≠1,

    y(x-1)≥1.”變形中可以看出學生對等價變形謹慎有余,這一步變形是去分母,應(yīng)該是:y=x2+1x-1等價于y(x-1)=x2+1,

    x≠1.,注意到x2+1≥1,也就是y=x2+1x-1等價于y(x-1)=x2+1,平方后等價變形為(y2-1)x2-2y2x+y2-1=0,

    y(x-1)≥0.

    即“存在x滿足y2-1=0,

    (y2-1)x2-2y2x+y2-1=0,

    y(x-1)≥0. 或y2-1≠0,

    (y2-1)x2-2y2x+y2-1=0,

    y(x-1)≥0.”

    前者解得x=0,y=-1;后者為y2-1≠0,

    Δ=8y2-4≥0,

    y·1+2y2-12(y2-1)≥0或y·1-2y2-12(y2-1)≥0.

    注意到y(tǒng)·1-2y2-12(y2-1)=-y1+2y2-1,解得y>;1或y≤-22且y≠-1.

    綜上可得y的取值范圍是(-∞,-22]∪(1,+∞),此即函數(shù)的值域.

    學生“檢驗”階段可以理解為依據(jù)原始式子y=x2+1x-1,但顯得粗糙不足.

    3 滑過的教學

    文[3]中用“利用方程有解條件法”求函數(shù)值域,引發(fā)學生創(chuàng)新,主觀意識是值得肯定的,但例6解題“過程”留下遺憾,摘錄如下:

    “例6求函數(shù)y=4-x+2x-4的值域.

    解:此函數(shù)定義域是2≤x≤4,設(shè)t=4-x,則x=4-t2(0≤t≤2),

    原函數(shù)式可化為y=t+4-2t2(0≤t≤2),視為關(guān)于t的方程,它等價于(y-t)2=4-2t2,

    y-t≥0,

    0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0,

    y-t≥0,

    0≤t≤2.②

    設(shè)f(t)=3t2-2yt+y2-4,其對稱軸為t=y3,關(guān)于t的方程②在[0,2]上有解的充要條件是

    Δ=4y2-12(y2-4)≥0,

    0<;y3<;2,

    f(0)=y2-4≥0.③或4y2-12(y2-4)≥0,

    0<;y3<;2,

    f(2)=y2-22y+2≥0.④

    解得2≤y≤6.所求函數(shù)的值域為[2,6]”.

    解析 上述所求值域的結(jié)論是正確的,但過程錯了.錯在認為“關(guān)于t的方程②在[0,2]上有解的充要條件是③或④”.

    實際上,上述不等式組求解的情況是這樣的,由③可得2≤y≤6,由④可得0<;y≤6,故③與④的并集是(0,6].

    認為本題中對稱軸t=y3應(yīng)該位于區(qū)間[0,2]是導致錯誤產(chǎn)生的原因之一.其實,研究方程②在[0,2]上有解的充要條件必須解決好y-t≥0這個問題.這也是本題用“利用方程有解條件法”求值域關(guān)鍵所在.

    正確解法 方程②在[0,2]上有解的充要條件是(Δ=48-8y2≥0時先用求根公式解方程求出t):

    0≤y+12-2y23≤2,

    y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2,

    y≥y-12-2y23.⑥

    解⑤時,可先解y≥y+12-2y23,進而求得2≤y≤6,

    解⑥時,可先解0≤y-12-2y23≤2,進而求得2≤y≤6.

    ⑤與⑥的并集是[2,6],所求函數(shù)的值域為[2,6].

    結(jié)語 誠如文[2]所言:數(shù)學教學是一個既要“結(jié)果”,更要“過程”的思維活動,數(shù)學解題要從引導學生主動擬定解題方案開始,獨立思考,自主實踐,合作交流,探究問題的解答”.發(fā)現(xiàn)并矯正解題過程中的錯誤,是一種深刻的思想教育和行為規(guī)范,有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴謹性,提高學生參與的積極性,同時讓學生體驗數(shù)學學習的“快樂”.

    參考文獻

    [1]汪仁林.爭鳴·問題225[J].數(shù)學通訊,2013(05,下)。

    [2]李紅春.活用解題理論打造高效課堂[J].中學數(shù)學(高中版),2014(4)。

    [3]蔡永明.在求函數(shù)值域的教學中引發(fā)學生創(chuàng)新[J].中學數(shù)學教學,2001(1).

    3 滑過的教學

    文[3]中用“利用方程有解條件法”求函數(shù)值域,引發(fā)學生創(chuàng)新,主觀意識是值得肯定的,但例6解題“過程”留下遺憾,摘錄如下:

    “例6求函數(shù)y=4-x+2x-4的值域.

    解:此函數(shù)定義域是2≤x≤4,設(shè)t=4-x,則x=4-t2(0≤t≤2),

    原函數(shù)式可化為y=t+4-2t2(0≤t≤2),視為關(guān)于t的方程,它等價于(y-t)2=4-2t2,

    y-t≥0,

    0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0,

    y-t≥0,

    0≤t≤2.②

    設(shè)f(t)=3t2-2yt+y2-4,其對稱軸為t=y3,關(guān)于t的方程②在[0,2]上有解的充要條件是

    Δ=4y2-12(y2-4)≥0,

    0<;y3<;2,

    f(0)=y2-4≥0.③或4y2-12(y2-4)≥0,

    0<;y3<;2,

    f(2)=y2-22y+2≥0.④

    解得2≤y≤6.所求函數(shù)的值域為[2,6]”.

    解析 上述所求值域的結(jié)論是正確的,但過程錯了.錯在認為“關(guān)于t的方程②在[0,2]上有解的充要條件是③或④”.

    實際上,上述不等式組求解的情況是這樣的,由③可得2≤y≤6,由④可得0<;y≤6,故③與④的并集是(0,6].

    認為本題中對稱軸t=y3應(yīng)該位于區(qū)間[0,2]是導致錯誤產(chǎn)生的原因之一.其實,研究方程②在[0,2]上有解的充要條件必須解決好y-t≥0這個問題.這也是本題用“利用方程有解條件法”求值域關(guān)鍵所在.

    正確解法 方程②在[0,2]上有解的充要條件是(Δ=48-8y2≥0時先用求根公式解方程求出t):

    0≤y+12-2y23≤2,

    y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2,

    y≥y-12-2y23.⑥

    解⑤時,可先解y≥y+12-2y23,進而求得2≤y≤6,

    解⑥時,可先解0≤y-12-2y23≤2,進而求得2≤y≤6.

    ⑤與⑥的并集是[2,6],所求函數(shù)的值域為[2,6].

    結(jié)語 誠如文[2]所言:數(shù)學教學是一個既要“結(jié)果”,更要“過程”的思維活動,數(shù)學解題要從引導學生主動擬定解題方案開始,獨立思考,自主實踐,合作交流,探究問題的解答”.發(fā)現(xiàn)并矯正解題過程中的錯誤,是一種深刻的思想教育和行為規(guī)范,有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴謹性,提高學生參與的積極性,同時讓學生體驗數(shù)學學習的“快樂”.

    參考文獻

    [1]汪仁林.爭鳴·問題225[J].數(shù)學通訊,2013(05,下)。

    [2]李紅春.活用解題理論打造高效課堂[J].中學數(shù)學(高中版),2014(4)。

    [3]蔡永明.在求函數(shù)值域的教學中引發(fā)學生創(chuàng)新[J].中學數(shù)學教學,2001(1).

    3 滑過的教學

    文[3]中用“利用方程有解條件法”求函數(shù)值域,引發(fā)學生創(chuàng)新,主觀意識是值得肯定的,但例6解題“過程”留下遺憾,摘錄如下:

    “例6求函數(shù)y=4-x+2x-4的值域.

    解:此函數(shù)定義域是2≤x≤4,設(shè)t=4-x,則x=4-t2(0≤t≤2),

    原函數(shù)式可化為y=t+4-2t2(0≤t≤2),視為關(guān)于t的方程,它等價于(y-t)2=4-2t2,

    y-t≥0,

    0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0,

    y-t≥0,

    0≤t≤2.②

    設(shè)f(t)=3t2-2yt+y2-4,其對稱軸為t=y3,關(guān)于t的方程②在[0,2]上有解的充要條件是

    Δ=4y2-12(y2-4)≥0,

    0<;y3<;2,

    f(0)=y2-4≥0.③或4y2-12(y2-4)≥0,

    0<;y3<;2,

    f(2)=y2-22y+2≥0.④

    解得2≤y≤6.所求函數(shù)的值域為[2,6]”.

    解析 上述所求值域的結(jié)論是正確的,但過程錯了.錯在認為“關(guān)于t的方程②在[0,2]上有解的充要條件是③或④”.

    實際上,上述不等式組求解的情況是這樣的,由③可得2≤y≤6,由④可得0<;y≤6,故③與④的并集是(0,6].

    認為本題中對稱軸t=y3應(yīng)該位于區(qū)間[0,2]是導致錯誤產(chǎn)生的原因之一.其實,研究方程②在[0,2]上有解的充要條件必須解決好y-t≥0這個問題.這也是本題用“利用方程有解條件法”求值域關(guān)鍵所在.

    正確解法 方程②在[0,2]上有解的充要條件是(Δ=48-8y2≥0時先用求根公式解方程求出t):

    0≤y+12-2y23≤2,

    y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2,

    y≥y-12-2y23.⑥

    解⑤時,可先解y≥y+12-2y23,進而求得2≤y≤6,

    解⑥時,可先解0≤y-12-2y23≤2,進而求得2≤y≤6.

    ⑤與⑥的并集是[2,6],所求函數(shù)的值域為[2,6].

    結(jié)語 誠如文[2]所言:數(shù)學教學是一個既要“結(jié)果”,更要“過程”的思維活動,數(shù)學解題要從引導學生主動擬定解題方案開始,獨立思考,自主實踐,合作交流,探究問題的解答”.發(fā)現(xiàn)并矯正解題過程中的錯誤,是一種深刻的思想教育和行為規(guī)范,有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴謹性,提高學生參與的積極性,同時讓學生體驗數(shù)學學習的“快樂”.

    參考文獻

    [1]汪仁林.爭鳴·問題225[J].數(shù)學通訊,2013(05,下)。

    [2]李紅春.活用解題理論打造高效課堂[J].中學數(shù)學(高中版),2014(4)。

    [3]蔡永明.在求函數(shù)值域的教學中引發(fā)學生創(chuàng)新[J].中學數(shù)學教學,2001(1).

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