對北師大版教材《選修2—2》兩處知識點的質(zhì)疑

最近，在北師大版教材《選修2-2》第三章導數(shù)應用的教學中，有兩處頗具爭議的知識點，會誤導學生.本文展現(xiàn)出來，以期加以修正.

誤導一 極值點一定是導數(shù)為0的點

教材第61頁歸納的求極值點的步驟：“一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數(shù)f（x）的極值點，首先求導，其次解方程f′（x0）=0，然后檢驗x0左右導數(shù)符號來判斷x0是否為函數(shù)極值點”，從教材歸納求函數(shù)極值點的步驟可看出，“函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為0的點！”，這顯然是錯誤的.通過對學生的調(diào)查可知，學生普遍是這樣認為的.因為，極值點還有可能是導數(shù)不存在的點，例如，結合函數(shù)圖象知：x=0為函數(shù)y=x的極小值點，但函數(shù)y=x在x=0處的導數(shù)值不存在！導數(shù)只是研究可導函數(shù)極值的一種工具，對不可導函數(shù)求極值，導數(shù)法就失效了.

改進措施 在教材歸納求極值點的步驟前應加上條件“對可導函數(shù)而言”就完美了！容易知，教材所歸納求函數(shù)極值點的步驟是針對可導函數(shù)而言的，而教材在前一章的導數(shù)章節(jié)沒有介紹可導函數(shù).所以建議在前一章節(jié)應加上可導函數(shù)這一概念.

誤導二 函數(shù)在閉區(qū)間端點處的導數(shù)值存在

教材第66頁例4，求函數(shù)y=f（x）=x3-2x2+5在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值.教材對此題解析中的表3-6如下：

x-2（-2，0）00，434343，22f′（x）20+0-0+4y=f（x）-11↗極大值↘極小值↗5

從上表可知，f′（-2）=20，f′（2）=4，這顯然是錯誤的！因為函數(shù)在某點可導的充要條件是函數(shù)在該點的左右極限都存在且相等，也可以說是左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.因為函數(shù)y=f（x）在x=-2處的左極限不存在，故函數(shù)在x=-2處的導數(shù)值不存在；函數(shù)y=f（x）在x=2處的右極限不存在，故函數(shù)在x=2處的導數(shù)值不存在.

改進措施 上表應改進為：將表格中x=-2與x=2處的導數(shù)值空著不填，或者填上“不存在”.

反思 教材出現(xiàn)的這兩處容易誤導學生的知識，歸根結底是由于教材在沒介紹極限知識而直接研究導數(shù)所致的.故建議教材能否考慮增加一章極限內(nèi)容.我在教學中給學生補充了極限內(nèi)容，學生學起來很輕松，對可導函數(shù)問題都能透徹理解，效果很好！

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.普通高中課程標準實驗教科書——數(shù)學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008：61-66.

作者簡介 汪仁林，男，1980年11月生，陜西省商南縣人，中學一級教師.全國新青年數(shù)學教師工作室成員，主要從事數(shù)學教育與高考試題研究，發(fā)表文章80余篇，參編教輔用書3本.分別榮獲“中國教育改革優(yōu)秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數(shù)學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數(shù)學聯(lián)賽優(yōu)秀輔導教師”、“全國中學生數(shù)學能力競賽優(yōu)秀指導教師”稱號.

最近，在北師大版教材《選修2-2》第三章導數(shù)應用的教學中，有兩處頗具爭議的知識點，會誤導學生.本文展現(xiàn)出來，以期加以修正.

誤導一 極值點一定是導數(shù)為0的點

教材第61頁歸納的求極值點的步驟：“一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數(shù)f（x）的極值點，首先求導，其次解方程f′（x0）=0，然后檢驗x0左右導數(shù)符號來判斷x0是否為函數(shù)極值點”，從教材歸納求函數(shù)極值點的步驟可看出，“函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為0的點！”，這顯然是錯誤的.通過對學生的調(diào)查可知，學生普遍是這樣認為的.因為，極值點還有可能是導數(shù)不存在的點，例如，結合函數(shù)圖象知：x=0為函數(shù)y=x的極小值點，但函數(shù)y=x在x=0處的導數(shù)值不存在！導數(shù)只是研究可導函數(shù)極值的一種工具，對不可導函數(shù)求極值，導數(shù)法就失效了.

改進措施 在教材歸納求極值點的步驟前應加上條件“對可導函數(shù)而言”就完美了！容易知，教材所歸納求函數(shù)極值點的步驟是針對可導函數(shù)而言的，而教材在前一章的導數(shù)章節(jié)沒有介紹可導函數(shù).所以建議在前一章節(jié)應加上可導函數(shù)這一概念.

誤導二 函數(shù)在閉區(qū)間端點處的導數(shù)值存在

教材第66頁例4，求函數(shù)y=f（x）=x3-2x2+5在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值.教材對此題解析中的表3-6如下：

x-2（-2，0）00，434343，22f′（x）20+0-0+4y=f（x）-11↗極大值↘極小值↗5

從上表可知，f′（-2）=20，f′（2）=4，這顯然是錯誤的！因為函數(shù)在某點可導的充要條件是函數(shù)在該點的左右極限都存在且相等，也可以說是左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.因為函數(shù)y=f（x）在x=-2處的左極限不存在，故函數(shù)在x=-2處的導數(shù)值不存在；函數(shù)y=f（x）在x=2處的右極限不存在，故函數(shù)在x=2處的導數(shù)值不存在.

改進措施 上表應改進為：將表格中x=-2與x=2處的導數(shù)值空著不填，或者填上“不存在”.

反思 教材出現(xiàn)的這兩處容易誤導學生的知識，歸根結底是由于教材在沒介紹極限知識而直接研究導數(shù)所致的.故建議教材能否考慮增加一章極限內(nèi)容.我在教學中給學生補充了極限內(nèi)容，學生學起來很輕松，對可導函數(shù)問題都能透徹理解，效果很好！

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.普通高中課程標準實驗教科書——數(shù)學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008：61-66.

作者簡介 汪仁林，男，1980年11月生，陜西省商南縣人，中學一級教師.全國新青年數(shù)學教師工作室成員，主要從事數(shù)學教育與高考試題研究，發(fā)表文章80余篇，參編教輔用書3本.分別榮獲“中國教育改革優(yōu)秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數(shù)學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數(shù)學聯(lián)賽優(yōu)秀輔導教師”、“全國中學生數(shù)學能力競賽優(yōu)秀指導教師”稱號.

最近，在北師大版教材《選修2-2》第三章導數(shù)應用的教學中，有兩處頗具爭議的知識點，會誤導學生.本文展現(xiàn)出來，以期加以修正.

誤導一 極值點一定是導數(shù)為0的點

教材第61頁歸納的求極值點的步驟：“一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數(shù)f（x）的極值點，首先求導，其次解方程f′（x0）=0，然后檢驗x0左右導數(shù)符號來判斷x0是否為函數(shù)極值點”，從教材歸納求函數(shù)極值點的步驟可看出，“函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為0的點！”，這顯然是錯誤的.通過對學生的調(diào)查可知，學生普遍是這樣認為的.因為，極值點還有可能是導數(shù)不存在的點，例如，結合函數(shù)圖象知：x=0為函數(shù)y=x的極小值點，但函數(shù)y=x在x=0處的導數(shù)值不存在！導數(shù)只是研究可導函數(shù)極值的一種工具，對不可導函數(shù)求極值，導數(shù)法就失效了.

改進措施 在教材歸納求極值點的步驟前應加上條件“對可導函數(shù)而言”就完美了！容易知，教材所歸納求函數(shù)極值點的步驟是針對可導函數(shù)而言的，而教材在前一章的導數(shù)章節(jié)沒有介紹可導函數(shù).所以建議在前一章節(jié)應加上可導函數(shù)這一概念.

誤導二 函數(shù)在閉區(qū)間端點處的導數(shù)值存在

教材第66頁例4，求函數(shù)y=f（x）=x3-2x2+5在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值.教材對此題解析中的表3-6如下：

x-2（-2，0）00，434343，22f′（x）20+0-0+4y=f（x）-11↗極大值↘極小值↗5

從上表可知，f′（-2）=20，f′（2）=4，這顯然是錯誤的！因為函數(shù)在某點可導的充要條件是函數(shù)在該點的左右極限都存在且相等，也可以說是左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.因為函數(shù)y=f（x）在x=-2處的左極限不存在，故函數(shù)在x=-2處的導數(shù)值不存在；函數(shù)y=f（x）在x=2處的右極限不存在，故函數(shù)在x=2處的導數(shù)值不存在.

改進措施 上表應改進為：將表格中x=-2與x=2處的導數(shù)值空著不填，或者填上“不存在”.

反思 教材出現(xiàn)的這兩處容易誤導學生的知識，歸根結底是由于教材在沒介紹極限知識而直接研究導數(shù)所致的.故建議教材能否考慮增加一章極限內(nèi)容.我在教學中給學生補充了極限內(nèi)容，學生學起來很輕松，對可導函數(shù)問題都能透徹理解，效果很好！

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.普通高中課程標準實驗教科書——數(shù)學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008：61-66.

作者簡介 汪仁林，男，1980年11月生，陜西省商南縣人，中學一級教師.全國新青年數(shù)學教師工作室成員，主要從事數(shù)學教育與高考試題研究，發(fā)表文章80余篇，參編教輔用書3本.分別榮獲“中國教育改革優(yōu)秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數(shù)學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數(shù)學聯(lián)賽優(yōu)秀輔導教師”、“全國中學生數(shù)學能力競賽優(yōu)秀指導教師”稱號.