三次樣條法估計利率期限結構的加權方式比較研究

許寧+高涓

摘要：利率期限結構的靜態(tài)估計是驗證動態(tài)模型以及進行動態(tài)變化分析的基礎。本文介紹了三次樣條法的基本模型結構，指出了傳統(tǒng)三次樣條法使用久期倒數(shù)作為估計誤差權重的邏輯錯誤，并據(jù)此提出了“準久期”加權以及成交量排名加權的概念；通過對比多個樣本時間點的估計結果，發(fā)現(xiàn)成交量排名加權方法無論在樣本內的模型估計還是樣本外模型預測方面均優(yōu)于久期以及準久期倒數(shù)加權方法。

關鍵詞：三次樣條法；久期加權；成交量加權；期限結構

中圖分類號：F830 文獻標識碼：A

一、文獻綜述

所謂利率期限結構是指某一時刻無風險利率和其對應的到期期限構成的關系。期限結構的靜態(tài)估計是驗證動態(tài)模型以及進行動態(tài)分析的基礎。通過對期限結構變化的分析，還可以對經(jīng)濟活動進行預測，因此期限結構估計的精度和效率成為金融領域研究的一個重要部分。通常，我們用不同期限的貼現(xiàn)國債收益率來衡量利率期限結構。但是，絕大多數(shù)經(jīng)濟體發(fā)行的中長期債券均為付息債券，因此我們不能通過收益率曲線（Yield Curve）來表述利率期限結構。自20世紀70年代以來，學者們在估計期限結構領域取得了豐碩的成果，建立了各種估計期限結構的理論和方法。這些方法主要分為兩大類：一類是直接從付息債券價格和現(xiàn)金流的信息中計算出期限結構的息票剝離法；另一類方法的基本思路是首先預設期限結構的函數(shù)表達式，然后利用當前的債券價格估計表達式的參數(shù)。

所謂息票剝離法，就是將息票從債券中進行剝離并在此基礎上估計無息票債券利率水平的一種方法。Fama & Bliss（1987）將息票從債券中進行剝離并在此基礎上估計了無息票債券利率水平，其核心思想就是利用當前債券價格信息，通過從短期到長期利率的迭代運算來計算利率期限結構。楊寶臣和李彪（2004）用主干點附近平均收益率數(shù)據(jù)來代替原始主干點收益率，并利用三次樣條插值估計期限結構，形成了廣義的息票剝離法。盡管該方法能解決傳統(tǒng)息票剝離法的一些缺點，但是其待估計的參數(shù)個數(shù)太多，估計的效率很低，而且它建立在臨近（0.1年）時間點的利率相同的基礎上，沒有很好地實現(xiàn)估計精度和估計效率的平衡。

NSS模型最早由Nelson Siegel提出。為了彌補NS模型不能推導出形狀更為復雜的利率曲線、提高曲線對短期和中期利率的擬合程度的缺陷，Svensson（1994）通過引入一個新的參數(shù)（β3），提出了一個對NS模型的擴展形式，即假定0時刻在θ時間的瞬時遠期利率方程為：

f（0，θ）=β0+β1·exp（-[SX（]θ[]τ1[SX）]）+β2·（-[SX（]θ[]τ1[SX）]）·exp（-[SX（]θ[]τ1[SX）]）+β3·（-[SX（]θ[]τ2[SX）]）·exp（-[SX（]θ[]τ2[SX）]）

由遠期利率和利率期限的關系式R（0，θ）=[SX（]1[]θ[SX）]∫0θf（0·s）ds，利用付息債券價格信息，即可以得到期限結構方程。該模型的最大優(yōu)點是參數(shù)較少，同時參數(shù)的經(jīng)濟含義明確，因此在理論研究領域有較為廣泛的運用。

朱世武和陳健恒（2003）選取2003年3月28日上交所15只付息債券為樣本，對NSS和三次樣條法模型進行了估計和對比，結果顯示NSS模型估計的利率期限形成的曲度較小，擬合優(yōu)度低于三次樣條法，尤其是在遠端。但是，根據(jù)朱世武和陳健恒（2003）當時估計的結果，期限結構的長期部分是向上的，他們認為：“多項式樣條法擬合的曲線在遠端是呈冪級數(shù)上升的，如果將到期期限延長的話，即期利率在遠端是十分大的，這種上升的趨勢導致遠期利率在遠端以更快的速度上升，而這是不符合期限結構理論的”，并由此得出結論，NSS模型比多項式樣條法更符合上交所的實際情況，適合作為相應的期限結構估計方法。但是我們看到，朱世武和陳健恒（2003）的估計選用的樣本債券到期期限較短，最長的不到20年，因此其遠端利率估計和預測的誤差會很大。而且，他們僅僅選用一天的交易信息和估計結果來評判兩種模型的優(yōu)劣，這存在較大的偶然性。如果基于另外一天數(shù)據(jù)的估計結果顯示，遠端利率曲線向下，則朱世武和陳健恒（2003）批駁多項式樣條法的上述論據(jù)就不復存在。因此，我們有必要對多項式樣條法進行更加深入的分析。

二、多項式樣條估計利率期限結構的模型

對于任何固定票面利率債券或者貼現(xiàn)債券，其理論價格都可以表示為未來現(xiàn)金流（Cash Flaw CF）的現(xiàn)值之和。即：

公式（1）中，CF（ti）表示債券在ti時刻的現(xiàn)金流，D（ti）為ti到現(xiàn)在時刻的貼現(xiàn)因子。通過估計假設的貼現(xiàn)函數(shù)D（t），并利用R（t）=-ln（D（t））/t，即可計算出期限結構的表達式。

多項式樣條法假設貼現(xiàn)因子D（ti）為一個分段多項式函數(shù)，根據(jù)期限結構理論，該函數(shù)應該是連續(xù)的。同時，為保證期限結構函數(shù)R（0，t）和遠期瞬時利率函數(shù)f（0，t）連續(xù)，需要貼現(xiàn)函數(shù)一階和二階導數(shù)連續(xù)。由于三次樣函數(shù)即可滿足以上要求，且可以擬合幾乎任何形態(tài)的期限結構，而階數(shù)大于3不僅將增加模型參數(shù)個數(shù)，且驗證其高階導數(shù)連續(xù)性存在困難，故在使用多項式樣條法估計靜態(tài)期限結構時，我們通常選定三次多項式形式。

設定T1，T2…TJ為給定的節(jié)點，且滿足0

如此一來，我們可以將待估計參數(shù)減少到為J+3個，其中bi為第i個節(jié)點的系數(shù)。如果樣本個數(shù)為L，則模型自由度為L-（J+3）。如果期限節(jié)點數(shù)量J選擇過大，會造成模型自由度較低；如果J選擇過小，則對于期限結構的擬合優(yōu)度偏低。為此，McCulloch（1977）提出了選擇節(jié)點的“大拇指法則”：節(jié)點個數(shù)J等于樣本數(shù)平方根的正數(shù)部分，同時盡可能保證每個期限區(qū)間內的樣本數(shù)量相同。而Fan & Yao（2003）則提出通過節(jié)點逐點剔除方法來確定個數(shù)。由于銀行間市場樣本數(shù)量僅有10多個，節(jié)點太多將導致自由度太低，不適合采用節(jié)點逐點剔除法，本文采用“大拇指法則”選擇確定節(jié)點的個數(shù)和位置。

對于付息債券，到期期限不同其對利率水平變化的敏感度相差較大，這就造成到期期限較長的債券其定價誤差較大。為解決這一問題，傳統(tǒng)的三次樣條估計使用久期的倒數(shù)作為估計方程的誤差權重，即目標函數(shù)為：

上式中，tm、Lm分別表示第i只債券現(xiàn)金流支付的時間和現(xiàn)金流支付的次數(shù)。盡管QDur和久期Dur數(shù)值相差較小，但是其在估計利率期限結構中更具有意義。

另外，在銀行間市場，不同債券的成交量相差較大，從微觀經(jīng)濟學的角度考慮，一只成交量大的債券，說明買賣雙方對于其價格的認同度更高，因此可以認為擁有較大成交量的債券，其定價的誤差更小。所以，為更好地擬合真實的期限結構，在估計模型時，利用成交量進行加權是必要的。由于各債券成交量相差甚大（2009年11月16日，不同債券成交量相差最多達到165倍），本文將嘗試用歸一化的成交量對數(shù)值（Ln（Volume））以及成交量排名（VolumeS）作為權重，第i只債券的VolumeS定義為該債券成交量在樣本中從小到大排名順序（成交量相同，排名名次相同）與所有排名順序之和的商。

綜上所述，三次樣條法估計期限結構就是估計下面的模型：

（一）樣本選擇

我國債券交易存在兩個相互分割的銀行間債券市場和證券交易所債券市場，盡管從2011年二季度開始，銀行可以通過租用交易所會員交易單位參與債券交易，但是銀行間市場的成交量明顯大于交易所市場的成交量，故本文選擇銀行間債券市場的數(shù)據(jù)作為樣本。

本文首先將通過單一交易日數(shù)據(jù)，對三次樣條估計模型做初步認識和了解，然后再利用多個樣本數(shù)據(jù)對不同加權方法的模型進行對比分析。

（二）不同加權方法靜態(tài)估計能力的比較

本文選擇我國經(jīng)濟增速上升時期中的2009年11月16日銀行間債券市場作為靜態(tài)估計的樣本。樣本債券基本信息見表1。

從表1可以看出，樣本債券數(shù)量L為11，債券最長剩余期限為28.95年。根據(jù)“大拇指規(guī)則”，將節(jié)點個數(shù)設定為3，將期限區(qū)間分為三段，分段點T1=3， T2=8，T3=15。待估計參數(shù)個數(shù)為6。傳統(tǒng)久期倒數(shù)加權和成交量排名加權的估計結果如圖1和表2所示。

從圖1可以直觀地看出，各加權方法估計的期限結構曲線相差不大，尤其久期和準久期加權方法幾乎沒有差別。下面從量化估計結果進一步分析各模型的差別。

從表2可以看，各模型估計的R2均接近1，說明整體擬合效果很好。DurW加權和QDurW加權的回歸殘差平方和SSE顯著地大于成交量排名加權（VolSW）和成交量對數(shù)加權（LnVolW）。各模型的回歸系數(shù)接近，系數(shù)的P值也相差不大，只有VolSW方法的系數(shù)P值總體上略小。另外，各模型中遠端回歸系數(shù)（b2，b3）的P 值均低于10%，說明對于8年以后的期限，利率估值更可靠。由于Dur加權與QDur加權、VolSW與LnVol加權估計結果幾乎完全相同，本文以下部分僅就QDurW和VolSW模型進行對比。

單一樣本估計結果的優(yōu)劣可能存在一定的偶然性，下面將采用較多的樣本時間點來對比估計模型的優(yōu)劣。本文選擇2011-2013年每個月15日前后的銀行間市場數(shù)據(jù)作為樣本（如果15日為非交易日，則優(yōu)先依次選擇14日、16日數(shù)據(jù)）。之所以選擇15日前后數(shù)據(jù)，主要出于兩方面的考慮：第一，15日前后，我國主要經(jīng)濟數(shù)據(jù)已經(jīng)公布，債券價格對經(jīng)濟數(shù)據(jù)已經(jīng)做出了充分的反映，這為今后研究宏觀金融模型做好鋪墊；第二，15日避免了月末、或者季度末利率季節(jié)性上升的影響。由于這36個樣本時間內的樣本債券剩余期限分布相差較大，為便于進行程序化的運算，本文將節(jié)點數(shù)均定為3，同時將節(jié)點時間確定為該日樣本內債券剩余期限的中位數(shù)以及中位數(shù)加減3。36個樣本模型估計效果參數(shù)的中位數(shù)如表3所示。

從多個樣本時間點的估計效果看，成交量加權（VolSW）方法無論是擬合優(yōu)度還是殘差平方和均優(yōu)于準久期倒數(shù)加權（QDurW）。

（三）不同模型樣本外預測能力比較

盡管VolSW加權在靜態(tài)估計方面優(yōu)于QDurW加權，但是我們還需要認識到，目標函數(shù)SSE的最小化不一定能保證利率期限結構估計的經(jīng)濟合理性。一個數(shù)學上優(yōu)良的估計模型不一定具有良好的經(jīng)濟性能，它完全可能將某只債券獨特的價格變化信息包含在模型中， 從而導致估計中的數(shù)據(jù)過擬（Over-fitting）現(xiàn)象。一個優(yōu)良的利率期限結構估計模型更為重要的是能夠反映當前國債的交易價格，而又不反映國債交易中的非利率因素對國債定價的影響。評價一個模型優(yōu)劣，還需要評估其樣本外預測的能力，一個重要的檢驗方法就是考察模型估計獲得的利率期限結構能否準確反映未參與期限結構估計的國債的定價。

由于樣本債券數(shù)量僅有10多只，本文采用一只債券作為樣本外數(shù)據(jù)，并且每次進行利率期限結構估計時先將某只國債剔除， 然后用估計獲得的利率期限結構對剔除債券進行定價。在某一天的利率期限結構估計中， 對當天樣本中的債券依次進行剔除， 獲得每天所有國債的樣本外定價絕對誤差。同樣，為排除某一交易日模型估計優(yōu)劣的偶然性，本文選用2013年下半年每個月月中某一日交易數(shù)據(jù)作為樣本時間（分別為7月15日，8月15日，9月16日，10月15日，11月15日，12月16日）。每個樣本時間點內的樣本外估計誤差統(tǒng)計量見表4。

從表4可以發(fā)現(xiàn)，在6個不同樣本點共計143次預測結果中，成交量排名加權（VolSW）方法的預測效果要優(yōu)于準久期加權（QDurW）方法。

（四）樣本債券期限分布對于模型估計的影響

無論是何種方法，當樣本內數(shù)據(jù)不包括最大剩余期限債券時，對其進行的預測都會產(chǎn)生較大的預測誤差，尤其是當日債券剩余期限分布極不均勻時，會產(chǎn)生巨大的誤差。這是因為，根據(jù)樣本內數(shù)據(jù)進行模型的估計，所得到的參數(shù)在擬合樣本內最長剩余期限內的期限結構表現(xiàn)較好，而更長期限的利率，由于沒有樣本數(shù)據(jù)，因此無法保證估計結果的精確性，所以會造成巨大的預測誤差。例如，2013年12月16日的樣本點數(shù)據(jù)， 23只樣本債券的剩余期限分布情況如圖2所示。當剩余期限為30年的債券130025.IB′作為樣本外數(shù)據(jù)時，模型估計出的期限結構曲線如圖3所示。顯然，10年之后的期限結構明顯與事實不符，造成如此結果的原因正是由于債券樣本數(shù)據(jù)較少，且剩余期限分布不均。由于交易所市場和銀行間市場交易的國債品種相同，因此即使綜合這兩個市場的交易數(shù)據(jù)，仍不能解決這個問題。

鑒于此，在目前國內債券交易品種有限，且期限分布不均勻的背景下，在利用三次樣條法進行期限結構靜態(tài)估計及動態(tài)變化分析時，預測利率的期限一定要在樣本內債券的最長剩余期限之內，否則會產(chǎn)生較大的偏誤。

四、結論

利用多項式樣條法估計利率期限結構，因其采用最小二乘法，能夠實現(xiàn)估計效率和精度的平衡。通過對比2011-2013年抽取的36個樣本時間點的估計效果，本文建立的成交量排名加權方法在擬合優(yōu)度以及殘差平方和指標方面均優(yōu)于久期和準久期加權。在模型樣本外預測能力方面，2013年下半年的6個樣本時間點共計143次樣本外預測結果同樣證實成交排名加權優(yōu)于久期類加權方法。值得注意的是：由于我國債券市場品種不夠豐富，在進行三次樣條估計時，節(jié)點數(shù)量和位置的選擇對于模型估計精度有較大的影響，因而基于我國債券市場現(xiàn)狀的節(jié)點設定方法還有待進一步研究。

參考文獻：

[1] Bolder D， Stréliski D. Yield Curve Modeling At the Bank of Canada[J].Available at SSRN 1082845， 1999.

[2] Diebold F X， Li C. Forecasting the Term Structure of Government Bond yields[J].Journal of econometrics， 2006， 130（2）： 337-364.

[3] Estrella A， Hardouvelis G A. The Term Structure as a Predictor of Real Economic Activity[J].The Journal of Finance， 1991， 46（2）： 555-576.

[4] Fan J，Yao Q， Nonlinear Times Series： Nonparametric and Parametric Method[M].New York Springer-Verlag 2003.

[5] McCulloch J H. Measuring the Term structure of Interest Rates[J].Journal of Business， 1971，44（1）：19.

[6] Steeley J M. Estimating the Gilt-edged Term Structure： Basis Splines and Confidence intervals[J].Journal of Business Finance & Accounting， 1991，18（4）：513-529.

[7] Vasicek O A， Fong H G. Term Structure Modeling Using Exponential Splines[J].The Journal of Finance， 1982，37（2）： 339-348.

[8] 李熠熠， 潘婉彬， 繆柏其. 基于三次樣條的利率期限結構估計中的節(jié)點選擇 [J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐，2009（4）.

[9] 仝曉燕， 程希駿.基于B樣條對國債利率期限結構的實證研究 [J].系統(tǒng)工程， 2007（3）.

[10]楊寶臣，李彪.基于廣義息票剝離法的國債收益率曲線的估計[J].中國管理科學，2004，12（6）：1-5.

[11]朱世武，陳健恒.交易所國債利率期限結構實證研究 [J].金融研究，2003（10）：63-73.

A Comparative Study on Different Weight Methods while Estimating

Interest Rate Term Structure Using Polynomial Spline Model

XU Ning1， GAO Juan2

（1.School of Economics， Liaoning University， Shenyang 110036， China；

2. Dongwu Business School， Soochow University， Suzhou 205006， China）

Abstract：Static analysis of interest rate term structure is the basis for verifying the dynamic model and dynamic analysis. In this article， we introduce the basic polynomial spline model， finding that there are some logic mistakes in traditional model error weight method. Therefore，we propose a concept of quasi duration and volume sort weight method. Based on estimation results of multi samples， we consider that the volume sort weight is better than duration weight in the aspect of model estimation and out sample prediction.

Key words：polynomial spline model； duration weight； volume weight； term structure

（責任編輯：張曦）

鑒于此，在目前國內債券交易品種有限，且期限分布不均勻的背景下，在利用三次樣條法進行期限結構靜態(tài)估計及動態(tài)變化分析時，預測利率的期限一定要在樣本內債券的最長剩余期限之內，否則會產(chǎn)生較大的偏誤。

四、結論

利用多項式樣條法估計利率期限結構，因其采用最小二乘法，能夠實現(xiàn)估計效率和精度的平衡。通過對比2011-2013年抽取的36個樣本時間點的估計效果，本文建立的成交量排名加權方法在擬合優(yōu)度以及殘差平方和指標方面均優(yōu)于久期和準久期加權。在模型樣本外預測能力方面，2013年下半年的6個樣本時間點共計143次樣本外預測結果同樣證實成交排名加權優(yōu)于久期類加權方法。值得注意的是：由于我國債券市場品種不夠豐富，在進行三次樣條估計時，節(jié)點數(shù)量和位置的選擇對于模型估計精度有較大的影響，因而基于我國債券市場現(xiàn)狀的節(jié)點設定方法還有待進一步研究。

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[10]楊寶臣，李彪.基于廣義息票剝離法的國債收益率曲線的估計[J].中國管理科學，2004，12（6）：1-5.

[11]朱世武，陳健恒.交易所國債利率期限結構實證研究 [J].金融研究，2003（10）：63-73.

A Comparative Study on Different Weight Methods while Estimating

Interest Rate Term Structure Using Polynomial Spline Model

XU Ning1， GAO Juan2

（1.School of Economics， Liaoning University， Shenyang 110036， China；

2. Dongwu Business School， Soochow University， Suzhou 205006， China）

Abstract：Static analysis of interest rate term structure is the basis for verifying the dynamic model and dynamic analysis. In this article， we introduce the basic polynomial spline model， finding that there are some logic mistakes in traditional model error weight method. Therefore，we propose a concept of quasi duration and volume sort weight method. Based on estimation results of multi samples， we consider that the volume sort weight is better than duration weight in the aspect of model estimation and out sample prediction.

Key words：polynomial spline model； duration weight； volume weight； term structure

（責任編輯：張曦）

鑒于此，在目前國內債券交易品種有限，且期限分布不均勻的背景下，在利用三次樣條法進行期限結構靜態(tài)估計及動態(tài)變化分析時，預測利率的期限一定要在樣本內債券的最長剩余期限之內，否則會產(chǎn)生較大的偏誤。

四、結論

利用多項式樣條法估計利率期限結構，因其采用最小二乘法，能夠實現(xiàn)估計效率和精度的平衡。通過對比2011-2013年抽取的36個樣本時間點的估計效果，本文建立的成交量排名加權方法在擬合優(yōu)度以及殘差平方和指標方面均優(yōu)于久期和準久期加權。在模型樣本外預測能力方面，2013年下半年的6個樣本時間點共計143次樣本外預測結果同樣證實成交排名加權優(yōu)于久期類加權方法。值得注意的是：由于我國債券市場品種不夠豐富，在進行三次樣條估計時，節(jié)點數(shù)量和位置的選擇對于模型估計精度有較大的影響，因而基于我國債券市場現(xiàn)狀的節(jié)點設定方法還有待進一步研究。

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[8] 李熠熠， 潘婉彬， 繆柏其. 基于三次樣條的利率期限結構估計中的節(jié)點選擇 [J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐，2009（4）.

[9] 仝曉燕， 程希駿.基于B樣條對國債利率期限結構的實證研究 [J].系統(tǒng)工程， 2007（3）.

[10]楊寶臣，李彪.基于廣義息票剝離法的國債收益率曲線的估計[J].中國管理科學，2004，12（6）：1-5.

[11]朱世武，陳健恒.交易所國債利率期限結構實證研究 [J].金融研究，2003（10）：63-73.

A Comparative Study on Different Weight Methods while Estimating

Interest Rate Term Structure Using Polynomial Spline Model

XU Ning1， GAO Juan2

（1.School of Economics， Liaoning University， Shenyang 110036， China；

2. Dongwu Business School， Soochow University， Suzhou 205006， China）

Abstract：Static analysis of interest rate term structure is the basis for verifying the dynamic model and dynamic analysis. In this article， we introduce the basic polynomial spline model， finding that there are some logic mistakes in traditional model error weight method. Therefore，we propose a concept of quasi duration and volume sort weight method. Based on estimation results of multi samples， we consider that the volume sort weight is better than duration weight in the aspect of model estimation and out sample prediction.

Key words：polynomial spline model； duration weight； volume weight； term structure

（責任編輯：張曦）